Espacio vectorial topológico completo

Un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectorial topológico (TVS) con la propiedad de que cada vez que los puntos se acercan progresivamente entre sí, existe algún punto hacia el que todos se acercan. La noción de "puntos que se acercan progresivamente" se vuelve rigurosa mediante las redes de Cauchy o filtros de Cauchy , que son generalizaciones de secuencias de Cauchy , mientras que "punto hacia el cual todas se acercan" significa que esta red o filtro de Cauchy converge a la noción de completitud. para TVS utiliza la teoría de espacios uniformes como marco para generalizar la noción de completitud para espacios métricos . Pero a diferencia de la integridad de la métrica, la integridad de TVS no depende de ninguna métrica y se define para todos los TVS, incluidos aquellos que no son metrizables o Hausdorff . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

La integridad es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico. Las nociones de completitud para espacios normados y TVS metrizables , que comúnmente se definen en términos de completitud de una norma o métrica particular, pueden reducirse a esta noción de completitud TVS, una noción que es independiente de cualquier norma o métrica particular. . Un espacio vectorial topológico metrizable con una métrica invariante de traducción ^{[nota 1]} está completo como TVS si y solo si es un espacio métrico completo , lo que por definición significa que toda secuencia de Cauchy converge a algún punto en Ejemplos destacados de TVS completos que son También metrizables incluyen todos los espacios F y, en consecuencia, también todos los espacios de Fréchet , los espacios de Banach y los espacios de Hilbert . Ejemplos destacados de TVS completos que (típicamente) no son metrizables incluyen espacios LF estrictos , como el espacio de funciones de prueba con su topología LF canónica, el espacio dual fuerte de cualquier espacio de Fréchet no normable , así como muchas otras topologías polares. en espacio dual continuo u otras topologías en espacios de mapas lineales . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$

Explícitamente, un espacio vectorial topológico (TVS) está completo si cada red , o equivalentemente, cada filtro , es decir Cauchy con respecto a la uniformidad canónica del espacio necesariamente converge en algún punto. Dicho de otra manera, un TVS es completo si su uniformidad canónica es una uniformidad completa . La uniformidad canónica en un TVS es la uniformidad única ^{[nota 2]} invariante de traducción que induce en la topología . Esta noción de "integridad de TVS" depende únicamente de la resta de vectores y la topología del TVS; en consecuencia, se puede aplicar a todos los TVS, incluidos aquellos cuyas topologías no se pueden definir en términos de métricas o pseudométricas . Un primer TVS contable está completo si y sólo si cada secuencia de Cauchy (o equivalentemente, cada filtro de Cauchy elemental ) converge en algún punto. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Todo espacio vectorial topológico, incluso si no es metrizable o no es de Hausdorff , tiene una terminación , que por definición es un TVS completo en el que se puede incrustar TVS como un subespacio vectorial denso . Además, cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo de TVS . Sin embargo, como se analiza a continuación, todos los TVS tienen infinitas terminaciones que no son de Hausdorff y que no son TVS isomorfas entre sí. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones

Esta sección resume la definición de un espacio vectorial topológico (TVS) completo en términos de redes y prefiltros . Puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre filtros en topología .

Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo con identidad bajo suma y la uniformidad canónica de un TVS se define completamente en términos de resta (y por tanto suma); La multiplicación escalar no está involucrada y no se necesita estructura adicional.

Uniformidad canónica

La diagonal de es el conjunto ^[1] ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}}$$

${\displaystyle N\subseteq X,}$séquito canónicoalrededores es el ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,y)\in X\times X~:~x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\&=\Delta _{X}+(N\times \{0\})\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle 0\in N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(\{0\})=\Delta _{X}.}$

Si es un conjunto simétrico (es decir, si ), entonces es simétrico , lo que por definición significa que se cumple donde y además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle \left(\Delta _{X}(N)\right)^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(y,x):(x,y)\in \Delta _{X}(N)\right\},}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z)\in X\times X~:~{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\right\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\&=\Delta _{X}+(N\times N).\end{alignedat}}}$$

Si hay alguna base de vecindad en el origen, entonces la familia de subconjuntos de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X:}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\Delta _{X}(N):N\in {\mathcal {L}}\right\}}$$

prefiltrofiltro de vecindadbase de entornosestructura uniforme^[2]el ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(0)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X}$La uniformidad canónica inducidapor ${\displaystyle X}$^[2]filtropor el prefiltro anterior ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle X\times X}$

$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{S\subseteq X\times X~:~N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(0){\text{ and }}\Delta _{X}(N)\subseteq S\right\}}$$

cierre hacia arriba ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}^{\uparrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{{\mathcal {N}}_{\tau }(0)}}$ ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\tau }}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

red cauchy

La teoría general de los espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Para que la uniformidad canónica de estas definiciones se reduzca a las que se dan a continuación. ${\displaystyle X,}$

Supongamos que es un neto en y es un neto en El producto se convierte en un conjunto dirigido al declarar si y sólo si y Entonces ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}}$ ${\displaystyle j\leq j_{2}.}$

$${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$

cartesianored de producto ${\textstyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i},x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}.}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$suma^[3]

$${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$

la diferencia ${\displaystyle (x,y)\mapsto x-y}$

$${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}-\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I^{2}}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(x_{i}-x_{i}\right)_{i\in I}=(0)_{i\in I}}$

Una red en un TVS se llama red de Cauchy ^[4] si ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0\quad {\text{ in }}X.}$$

base de vecindadsecuencia de Cauchy ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle i\geq i_{0}}$ ${\displaystyle j\geq i_{0}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Si entonces en y entonces la continuidad del mapa de resta de vectores que está definido por garantiza que en dónde y Esto prueba que toda red convergente es una red de Cauchy. Por definición, un espacio se considera completo si lo contrario también es siempre cierto. Es decir, está completo si y sólo si se cumple lo siguiente: ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle S:X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S(x,y)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~x-y,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)\to S(x,x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S\left(x_{\bullet }\times x_{\bullet }\right)=\left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(x,x)=x-x=0.}$ ${\displaystyle X}$

siempre que una red en entonces converge (hasta algún punto) en si y sólo si en ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0}$ ${\displaystyle X.}$

Una caracterización similar de integridad se cumple si se utilizan filtros y prefiltros en lugar de redes.

Una serie se llama ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$Serie Cauchy (respectivamente, unaserie convergente ) si la secuencia desumas parciales es unasecuencia de Cauchy(respectivamente, unasecuencia convergente). ^[5]Toda serie convergente es necesariamente una serie de Cauchy. En un TVS completo, cada serie de Cauchy es necesariamente una serie convergente. ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$

Filtro Cauchy y prefiltro Cauchy

Un prefiltro en un espacio vectorial topológico se denomina prefiltro de Cauchy ^[6] si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en ${\displaystyle X.}$
   • La familia es un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
   • Explícitamente, significa que para cada vecindad del origen existen tales que ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-C\subseteq N.}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$en ${\displaystyle X.}$
   • La familia es un prefiltro equivalente a ( la equivalencia significa que estos prefiltros generan el mismo filtro en ). ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
   • Explícitamente, significa que para cada vecindad del origen existe algo tal que ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
3. Para cada vecindad del origen en contiene algún conjunto pequeño (es decir, existe algo tal que ). ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$
   • Un subconjunto se llama -pequeño o ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle N}$pequeño de orden ${\displaystyle N}$ ^[6]si ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$
4. Para cada vecindad del origen existe alguna y alguna tal que ^[6] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$
   • Esta afirmación sigue siendo cierta si " " se reemplaza por " " ${\displaystyle B\subseteq x+N}$ ${\displaystyle x+B\subseteq N.}$
5. Cada vecindad del origen en contiene algún subconjunto de la forma donde y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+B}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

Es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier vecindad dada en Un filtro de Cauchy es un prefiltro de Cauchy que también es un filtro en ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$

If es un prefiltro en un espacio vectorial topológico y if entonces en if y solo si y es Cauchy. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Subconjunto completo

Para cualquier prefiltro es necesariamente un subconjunto de ; eso es, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto de un TVS se llama ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$subconjunto completo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Si es Hausdorff, entonces todos los prefiltros activados convergerán como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos de Lo mismo ocurre con las redes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Cada red de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjuntos de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando está dotado de la uniformidad inducida en él por la uniformidad canónica de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

El subconjunto se llama ${\displaystyle S}$subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en(o equivalentemente, cada filtro/prefiltro elemental de Cauchy en) converge a al menos un punto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Es importante destacar que la convergencia a puntos fuera de no impide que un conjunto esté completo ${\displaystyle S}$ : si no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy converge a algún punto, entonces estará completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy también convergen a puntos. En resumen, no existe ningún requisito de que estos prefiltros de Cauchy converjan sólo en puntos en. Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$

Como consecuencia, si un TVS no es Hausdorff, entonces cada subconjunto de la clausura de in es completo porque es compacto y todo conjunto compacto es necesariamente completo. En particular, si es un subconjunto adecuado, como por ejemplo, entonces estaría completo aunque cada red de Cauchy en (y también cada prefiltro de Cauchy en ) converja a cada punto al incluir aquellos puntos que no pertenecen a Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (y de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un TVS que no sea de Hausdorff pueden no cerrarse. Por ejemplo, si entonces si y sólo si está cerrado en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$

Espacio vectorial topológico completo

Un espacio vectorial topológico se llama ${\displaystyle X}$espacio vectorial topológico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un espacio uniforme completo cuando está dotado de su uniformidad canónica.
   • En la teoría general de los espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy converge a algún punto de la topología inducida por la uniformidad. Cuando es un TVS, la topología inducida por la uniformidad canónica es igual a la topología dada (por lo que la convergencia en esta topología inducida es solo la convergencia habitual en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$es un subconjunto completo de sí mismo.
3. Existe una vecindad del origen que también es un subconjunto completo de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Esto implica que cada TVS localmente compacto está completo (incluso si el TVS no es Hausdorff).
4. Cada prefiltro de Cauchy converge hacia al menos un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si es Hausdorff, entonces todos los prefiltros activados convergerán como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos de Lo mismo ocurre con las redes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
5. Cada filtro de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
6. Cada red de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

donde, si además es pseudometrizable o metrizable (por ejemplo, un espacio normado ), entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle X}$está secuencialmente completo.

Un espacio vectorial topológico es ${\displaystyle X}$completar secuencialmente si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.
2. Cada secuencia de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Cada prefiltro elemental de Cauchy converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Cada filtro de Cauchy elemental converge en al menos un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Unicidad de la uniformidad canónica.

La existencia de la uniformidad canónica quedó demostrada anteriormente al definirla. El siguiente teorema establece que la uniformidad canónica de cualquier TVS es la única uniformidad que es (1) invariante en la traducción y (2) genera en la topología. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Teorema ^[7]  (Existencia y unicidad de la uniformidad canónica)  :  la topología de cualquier TVS se puede derivar de una uniformidad única invariante en la traducción. Si alguna vecindad es la base del origen, entonces la familia es la base de esta uniformidad. ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$ ${\displaystyle \left\{\Delta (N):N\in {\mathcal {N}}(0)\right\}}$

Esta sección está dedicada a explicar los significados precisos de los términos involucrados en esta declaración de unicidad.

Espacios uniformes y uniformidades invariantes de traducción.

Para cualquier subconjunto , sea ^[1] ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X,}$

$${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x)~:~(x,y)\in \Phi \}}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi \circ \Psi ~&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \right\}\\&=~\bigcup _{y\in X}\{(x,z)~:~(x,y)\in \Psi {\text{ and }}(y,z)\in \Phi \}\end{alignedat}}}$$

${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$base de séquitossistema fundamental de séquitosprefiltro ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\times X}$

1. Todo conjunto contiene la diagonal de como subconjunto; es decir, por cada Dicho diferente, el prefiltro se fija en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta _{X}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(x,x):x\in X\}\subseteq \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Delta _{X}.}$
2. Por cada existe alguno tal que ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Phi \subseteq \Omega .}$
3. Por cada existe alguno tal que ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Omega ^{\operatorname {op} }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{(y,x):(x,y)\in \Omega \}.}$

Auniformidad oLa estructura uniforme esunfiltrogeneradopor alguna base de séquitos,en cuyo caso decimos quees unabase de séquitos para ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Para un grupo aditivo conmutativo a ${\displaystyle X,}$El sistema fundamental de séquitos invariante a la traducción ^[7]es un sistema fundamental de séquitostal que para cadasi y sólo sipara todosUna uniformidadse llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in \Phi }$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$uniformidad invariante a la traducción ^[7]si tiene una base de entornos que es invariante a la traducción. La uniformidad canónica en cualquier TVS es invariante a la traducción. ^[7]

El operador binario satisface todo lo siguiente: ${\displaystyle \;\circ \;}$

• ${\displaystyle (\Phi \circ \Psi )^{\operatorname {op} }=\Psi ^{\operatorname {op} }\circ \Phi ^{\operatorname {op} }.}$
• Si y entonces ${\displaystyle \Phi \subseteq \Phi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi \subseteq \Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Phi \circ \Psi \subseteq \Phi _{2}\circ \Psi _{2}.}$
• Asociatividad: ${\displaystyle \Phi \circ (\Psi \circ \Omega )=(\Phi \circ \Psi )\circ \Omega .}$
• Identidad: ${\displaystyle \Phi \circ \Delta _{X}=\Phi =\Delta _{X}\circ \Phi .}$
• Cero: ${\displaystyle \Phi \circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \Phi }$

Séquitos simétricos

Llame simétrico a un subconjunto si que es equivalente a Esta equivalencia se deriva de la identidad y del hecho de que si entonces si y solo si Por ejemplo, el conjunto siempre es simétrico para cada Y porque si y son simétricos entonces también lo es ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Phi .}$ ${\displaystyle \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)^{\operatorname {op} }=\Phi }$ ${\displaystyle \Psi \subseteq X\times X,}$ ${\displaystyle \Phi \subseteq \Psi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\subseteq \Psi ^{\operatorname {op} }.}$ ${\displaystyle \Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Phi }$ ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X.}$ ${\displaystyle (\Phi \cap \Psi )^{\operatorname {op} }=\Phi ^{\operatorname {op} }\cap \Psi ^{\operatorname {op} },}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi \cap \Psi .}$

Topología generada por una uniformidad.

Parientes

Sean arbitrarias y sean las proyecciones canónicas sobre la primera y segunda coordenadas, respectivamente. ${\displaystyle \Phi \subseteq X\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {Pr} _{1},\operatorname {Pr} _{2}:X\times X\to X}$

Para cualquier definición ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle S\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{y\in X:\Phi \cap (S\times \{x\})\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{2}(\Phi \cap (S\times X))}$$

$${\displaystyle \Phi \cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:\Phi \cap (\{x\}\times S)\neq \varnothing \}~=~\operatorname {Pr} _{1}(\Phi \cap (X\times S))=S\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$

parientes izquierdosderechos ${\displaystyle \Phi \cdot S}$ ${\displaystyle S\cdot \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S=\{p\}}$ ${\displaystyle p\in X}$

$${\displaystyle p\cdot \Phi ~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{p\}\cdot \Phi ~=~\{y\in X:(p,y)\in \Phi \}}$$

$${\displaystyle \Phi \cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\Phi \cdot \{p\}~=~\{x\in X:(x,p)\in \Phi \}~=~p\cdot \left(\Phi ^{\operatorname {op} }\right)}$$

el derecho se distribuye ${\displaystyle \Phi ,\Psi \subseteq X\times X}$ ${\textstyle (\Phi \circ \Psi )\cdot S=\Phi \cdot (\Psi \cdot S).}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$ ${\displaystyle R,S\subseteq X}$ ${\displaystyle (R\cup S)\cdot \Phi ~=~(R\cdot \Phi )\cup (S\cdot \Phi )}$ ${\displaystyle (R\cap S)\cdot \Phi ~\subseteq ~(R\cdot \Phi )\cap (S\cdot \Phi ).}$

Barrios y decorados abiertos

Dos puntos y son -cercanos si y un subconjunto se llama -pequeño si ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (x,y)\in \Phi }$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle S\times S\subseteq \Phi .}$

Sea una base de séquitos en The ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X\times X)}$ ${\displaystyle X.}$El prefiltro de vecindad en un puntoy, respectivamente, en un subconjuntoson lasfamilias de conjuntos: ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot p~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {B}}\cdot \{p\}=\{\Phi \cdot p:\Phi \in {\mathcal {B}}\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {B}}\cdot S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot S:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$

${\displaystyle X}$filtro de vecindario ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cdot x~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\Phi \cdot x:\Phi \in {\mathcal {B}}\}}$$

definición de vecindad de "conjunto abierto"topologíainducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$topología inducida ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {B}}\cdot u}$ ${\displaystyle N\subseteq U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi \cdot u~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x\in X:(x,u)\in \Phi \}\subseteq U.}$

El cierre de un subconjunto en esta topología es: ${\displaystyle S\subseteq X}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(\Phi \cdot S)=\bigcap _{\Phi \in {\mathcal {B}}}(S\cdot \Phi ).}$$

Prefiltros Cauchy y uniformidades completas

Un prefiltro en un espacio uniforme con uniformidad se llama prefiltro de Cauchy si para cada entorno existe algo tal que ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {U}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\times F\subseteq N.}$

Un espacio uniforme se llama ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$espacio uniforme completo (respectivamente, unespacio uniforme secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (respectivamente, cada prefiltro de Cauchy elemental) convergea al menos un punto decuandoestá dotado de la topología inducida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

Caso de un espacio vectorial topológico

Si es un espacio vectorial topológico entonces para cualquiera y ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X,}$

$${\displaystyle \Delta _{X}(N)\cdot S=S+N\qquad {\text{ and }}\qquad \Delta _{X}(N)\cdot x=x+N,}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Continuidad uniforme

Seamos TVS y seamos un mapa. Entonces es uniformemente continua si para cada vecindad del origen existe una vecindad del origen tal que para todos si entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Supongamos que es uniformemente continuo. Si hay una red de Cauchy, entonces hay una red de Cauchy. Si hay un prefiltro de Cauchy (lo que significa que es una familia de subconjuntos de eso es Cauchy ), entonces hay un prefiltro de Cauchy. Sin embargo, si hay un filtro de Cauchy activado, entonces, aunque será un prefiltro de Cauchy , será un filtro de Cauchy si y sólo si es sobreyectivo. ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\circ x_{\bullet }=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$

Completitud de TVS versus integridad de (pseudo)métricas

Preliminares: espacios pseudométricos completos

Se revisan las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos. Recuerde que toda métrica es una pseudométrica y que una pseudométrica es una métrica si y sólo si implica. Así, todo espacio métrico es un espacio pseudométrico y un espacio pseudométrico es un espacio métrico si y sólo si es una métrica. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$

Si es un subconjunto de un espacio pseudométrico , entonces el diámetro de se define como ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \operatorname {diam} (S)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\sup _{}\{d(s,t):s,t\in S\}.}$$

Un prefiltro en un espacio pseudométrico se llama prefiltro de Cauchy o simplemente prefiltro de Cauchy si para cada real existe alguno tal que el diámetro de sea menor que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r.}$

Supongamos que es un espacio pseudométrico. Una red se llama red de Cauchy o simplemente red de Cauchy si es un prefiltro de Cauchy, lo que ocurre si y solo si ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$

para cada hay algo tal que si con y entonces ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle j,k\in I}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle k\geq i}$ ${\displaystyle d\left(x_{j},x_{k}\right)<r}$

o de manera equivalente, si y solo si en Esto es análogo a la siguiente caracterización de la convergencia de a un punto: si entonces en si y solo si en ${\displaystyle \left(d\left(x_{j},x_{k}\right)\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \left(x_{i},x\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Una secuencia de Cauchy es una secuencia que también es una red de Cauchy. ^{[nota 3]}

Cada pseudométrica en un conjunto induce la topología canónica habitual que denotaremos por ; también induce una uniformidad canónica sobre la cual denotaremos por La topología inducida por la uniformidad es igual a Una red en es Cauchy con respecto a si y solo si es Cauchy con respecto a la uniformidad El espacio pseudométrico es completo ( resp. un espacio pseudométrico secuencialmente completo) si y solo si es un espacio uniforme completo (resp. secuencialmente completo). Además, el espacio pseudométrico (resp. el espacio uniforme ) está completo si y sólo si está secuencialmente completo. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}}$ ${\displaystyle \tau _{p}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}.}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {U}}_{p}\right)}$

Un espacio pseudométrico (por ejemplo, un espacio métrico ) se llama completo y se denomina pseudométrico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. La declaración anterior pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".
3. Cada red de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Si es una métrica, entonces cualquier punto límite es necesariamente único y lo mismo ocurre con los límites de los prefiltros de Cauchy en ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
4. Cada secuencia de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Por lo tanto, para demostrar que es completo, basta con considerar únicamente las secuencias de Cauchy (y no es necesario considerar las redes de Cauchy más generales). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle X}$
5. La uniformidad canónica inducida por la pseudométrica es una uniformidad completa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

Y si la suma es una métrica, entonces podemos agregar a esta lista: ${\displaystyle d}$

6. Cada secuencia decreciente de bolas cerradas cuyos diámetros se reducen tiene una intersección no vacía. ^[8] ${\displaystyle 0}$

Pseudometría completa y TVS completos.

Cada espacio F y, por tanto, también cada espacio de Fréchet , espacio de Banach y espacio de Hilbert es un TVS completo. Tenga en cuenta que cada espacio F es un espacio de Baire , pero hay espacios normados que son Baire pero no Banach. ^[9]

Se dice que una pseudométrica en un espacio vectorial es una ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$traducción pseudométrica invariante sipara todos los vectores ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$

Supongamos que es un TVS pseudometrizable (por ejemplo, un TVS metrizable) y que es cualquier pseudométrico tal que la topología inducida por es igual a Si es invariante de traducción, entonces es un TVS completo si y solo si es un espacio pseudométrico completo. ^[10] Si no es invariante en la traducción, entonces es posible que sea un TVS completo pero no un espacio pseudométrico completo ^[10] (consulte esta nota al pie ^{[nota 4]} para ver un ejemplo). ^[10] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,p)}$

Teorema ^{[11] [12]}  ( Klee )  -  Sea cualquier ^{[nota 5]} métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por on se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo, entonces es un TVS completo. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Normas completas y normas equivalentes.

Dos normas en un espacio vectorial se llaman equivalentes si y sólo si inducen la misma topología. ^[13] Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial , entonces el espacio normado es un espacio de Banach si y sólo si es un espacio de Banach. Consulte esta nota al pie para ver un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[nota 6] [13]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y cada espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^[14] Cada espacio de Banach es un TVS completo. Un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica canónica inducida por normas está completa) si y sólo si está completo como espacio vectorial topológico. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

Terminaciones

Una finalización ^[15] de un TVS es un TVS completo que contiene un subespacio vectorial denso que es isomorfo a TVS. En otras palabras, es un TVS completo en el que se puede incrustar TVS como un subespacio vectorial denso . Cada incrustación de TVS es una incrustación uniforme . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$

Todo espacio vectorial topológico tiene una terminación. Además, cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo de TVS . Sin embargo, todos los TVS, incluso aquellos que son Hausdorff, (ya) completos y/o metrizables, tienen infinitas terminaciones que no son Hausdorff y que no son TVS-isomorfas entre sí.

Ejemplos de terminaciones

Por ejemplo, el espacio vectorial que consta de funciones simples con valores escalares para las cuales (donde esta seminorma se define de la manera habitual en términos de integración de Lebesgue ) se convierte en un espacio seminormado cuando se le dota de esta seminorma, lo que a su vez lo convierte en un espacio pseudométrico . espacio y un TVS incompleto que no es de Hausdorff; cualquier terminación de este espacio es un espacio seminormado completo no Hausdorff que cuando se cociente por el cierre de su origen (para obtener un TVS de Hausdorff ) da como resultado (un espacio linealmente isométrico-isomorfo a) el habitual espacio completo de Hausdorff (dotado con la norma completa habitual ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|_{p}<\infty }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

Como otro ejemplo que demuestra la utilidad de las completaciones, las completaciones de productos tensoriales topológicos , como productos tensoriales proyectivos o productos tensoriales inyectivos , del espacio de Banach con un TVS localmente convexo de Hausdorff completo dan como resultado un TVS completo que es TVS-isomorfo a un " espacio generalizado" que consta de funciones con valores escalares en (donde este TVS "generalizado" se define de manera análoga al espacio original de funciones con valores escalares en ). De manera similar, la finalización del producto tensorial inyectivo del espacio de funciones de prueba con valores escalares con un TVS de este tipo es TVS-isomorfa a las TVS definidas de manera análoga de funciones de prueba con valores . ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S;Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C^{k}}$

No unicidad de todas las terminaciones.

Como muestra el siguiente ejemplo, independientemente de si un espacio es Hausdorff o ya está completo, cada espacio vectorial topológico (TVS) tiene infinitas terminaciones no isomorfas. ^[dieciséis]

Sin embargo, cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo de TVS. ^[16] Sin embargo, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas terminaciones no isomorfas que no son de Hausdorff.

Ejemplo ( No unicidad de terminaciones ): ^[15] Denotemos cualquier TVS completo y denotemos cualquier TVS dotado de la topología indiscreta , que al recordarlo se convierte en un TVS completo. Dado que ambos y son TVS completos, también lo es su producto. Si y son subconjuntos abiertos no vacíos de y respectivamente, entonces y muestra que es un subespacio denso de Por lo tanto, por definición de "compleción", es una compleción de (no asunto que ya está completo). Entonces, al identificarse con if es un subespacio vectorial denso de then tiene tanto y como terminaciones. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle U=I}$ ${\displaystyle (U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\neq \varnothing ,}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C}$

Terminaciones de Hausdorff

Cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo de TVS. ^[16] Sin embargo, como se muestra arriba, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas terminaciones no isomorfas que no son de Hausdorff.

Propiedades de las terminaciones de Hausdorff ^[17]  —  Supongamos que y son TVS de Hausdorff con terminaciones. Supongamos que se trata de una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de Entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E:X\to C}$ ${\displaystyle C.}$

Propiedad universal : para cada mapa lineal continuo en un TVS de Hausdorff completo existe un mapa lineal continuo único tal que ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle F:C\to Z}$ ${\displaystyle f=F\circ E.}$

Si un TVS se incrusta en un subespacio vectorial denso de un TVS de Hausdorff completo que tiene la propiedad universal anterior, entonces existe un isomorfismo de TVS único (biyectivo) tal que ${\displaystyle E_{2}:X\to C_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle I:C\to C_{2}}$ ${\displaystyle E_{2}=I\circ E.}$

Corolario ^[17]  -  Supongamos que es un TVS de Hausdorff completo y es un subespacio vectorial denso de Entonces, cada mapa lineal continuo en un TVS de Hausdorff completo tiene una extensión lineal continua única a un mapa ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\to Z.}$

Existencia de terminaciones Hausdorff

Un filtro Cauchy en un TVS se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$Filtro de Cauchy mínimo ^[17]sinoexiste un filtro de Cauchyque sea estrictamente más grueso que(es decir, "estrictamente más grueso que" significa contenido como un subconjunto adecuado de). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Si hay un filtro Cauchy activado, entonces el filtro generado por el siguiente prefiltro: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \left\{B+N~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$

Sea el conjunto de todos los filtros mínimos de Cauchy y sea el mapa definido enviando al filtro de vecindad de en Dotar con la siguiente estructura de espacio vectorial: Dado y un escalar , denotemos (resp. ) el único filtro mínimo de Cauchy contenido en el filtro generado por (resp. ). ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \mathbb {M} }$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}+{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left\{B+C:B\in {\mathcal {B}},C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle \{sB:B\in {\mathcal {B}}\}}$

Para cada vecindad equilibrada del origen en let ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \mathbb {U} (N)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {M} ~:~{\text{ there exist }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and a neighborhood }}V{\text{ of the origin in }}X{\text{ such that }}B+V\subseteq N\right\}}$$

Si es Hausdorff, entonces la colección de todos los conjuntos como rangos sobre todas las vecindades equilibradas del origen forma una topología vectorial al convertirse en un TVS de Hausdorff completo. Además, el mapa es una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de ^[17] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {U} (N),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} .}$

Si es un TVS metrizable , entonces se puede construir una terminación de Hausdorff utilizando clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en lugar de filtros mínimos de Cauchy. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Terminaciones que no son de Hausdorff

Esta subsección detalla cómo cada TVS que no sea de Hausdorff puede integrarse en un subespacio vectorial denso de un TVS completo. La prueba de que cada TVS de Hausdorff tiene una terminación Hausdorff está ampliamente disponible, por lo que este hecho se utilizará (sin pruebas) para demostrar que cada TVS que no es de Hausdorff también tiene una terminación. Estos detalles a veces son útiles para extender los resultados de TVS de Hausdorff a TVS que no son de Hausdorff. ${\displaystyle X}$

Denotemos el cierre del origen en donde está dotado de su topología subespacial inducida por (de modo que tiene la topología indiscreta ). Dado que tiene una topología trivial, se muestra fácilmente que todo subespacio vectorial de que es un complemento algebraico de in es necesariamente un complemento topológico de in ^{[18] [19]} Denotemos cualquier complemento topológico de in que es necesariamente un TVS de Hausdorff (ya que es TVS-isomorfo al cociente TVS ^{[nota 7]} ). Dado que es la suma directa topológica de y (lo que significa que en la categoría de TVS), el mapa canónico ${\displaystyle I=\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X=I\oplus H}$

$${\displaystyle I\times H\to I\oplus H=X\quad {\text{ given by }}\quad (x,y)\mapsto x+y}$$

^{[19][prueba 1]} ${\displaystyle A~:~X=I\oplus H~\to ~I\times H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=I+U.}$

El TVS de Hausdorff se puede incrustar en TVS, digamos a través del mapa en un subespacio vectorial denso de su finalización. Dado que y están completos, también lo es su producto. Denotemos el mapa de identidad y observemos que el mapa del producto es una incrustación de TVS cuya imagen es densa. en Definir el mapa ^{[nota 8]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:H\to C,}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}:I\to I}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}:I\times H\to I\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$

$${\displaystyle B:X=I\oplus H\to I\times C\quad {\text{ by }}\quad B~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\operatorname {Id} _{I}\times \operatorname {In} _{H}\right)\circ A}$$

${\displaystyle X=I\oplus H}$ ${\displaystyle I\times C.}$ ${\displaystyle I\times C}$ ${\displaystyle I\times \{0\},}$ ${\displaystyle I\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times C}$ ${\displaystyle I\times C.}$

En resumen, ^[19] dado cualquier complemento algebraico (y por lo tanto topológico) de in y dada cualquier finalización del TVS de Hausdorff tal que entonces la inclusión natural ^[20] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subseteq C,}$

$${\displaystyle \operatorname {In} _{H}:X=I\oplus H\to I\oplus C}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I\oplus C}$

$${\displaystyle X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.}$$

Topología de una terminación

Teorema ^{[7] [21]}  (Topología de una terminación)  :  sea un TVS completo y un subespacio vectorial denso de If es cualquier base vecina del origen en entonces el conjunto ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(0)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}_{X}(0)\right\}}$$

es un barrio del origen en la terminación de ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$

Si es localmente convexo y es una familia de seminormas continuas que generan la topología de entonces la familia de todas las extensiones continuas de todos los miembros de es una familia generadora de seminormas para ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C.}$

Dicho de otra manera, si es una terminación de un TVS con y si es una base vecinal del origen en entonces la familia de conjuntos ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N~:~N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$

^[3] ${\displaystyle C.}$

Teorema ^[22]  (Compleciones de cocientes)  —  Sea un espacio vectorial topológico metrizable y un subespacio vectorial cerrado de Supongamos que es una compleción de Entonces la compleción de es TVS-isomorfa a Si además es un espacio normado, entonces esto El isomorfismo TVS también es una isometría. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle C/\operatorname {cl} _{C}N.}$ ${\displaystyle M}$

Teorema de completitud de Grothendieck

Denotemos el ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$compactología equicontinua en el espacio dual continuoque, por definición, consta de todoslos subconjuntos absolutamente convexosequicontinuosdébiles-* cerradosy débiles-*acotadosde^[23](que son necesariamente subconjuntos compactos débiles-* de). Supongamos que cadaestá dotado de latopología débil-*. Se dice queunfiltroactivado ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$convergen continuamente asi existe algúncontenido(es decir,) tal que el rastro deenel cual está la familiaconverge aen(es decir, siestá en la topología débil-* dada). ^[24] El filtroconverge continuamentesi y solo siconverge continuamente al origen, lo que sucede si y solo si para cadafiltroen el campo escalar (que eso) dondedenota cualquier base de vecindad en el origen endenota elemparejamiento de dualidad, ydenota el filtro generado por^[24]Se dice que un mapaen un espacio topológico (comoo ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }\in {\mathcal {E}}\cap {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle E^{\prime },}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{B\cap E^{\prime }:B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle E^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{E^{\prime }}\to x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-x^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle \to \langle x^{\prime },x\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}},x+{\mathcal {N}}\rangle }$ ${\displaystyle \{\langle B,x+N\rangle ~:~B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}\}.}$ ${\displaystyle f:X^{\prime }\to T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$-continuo si cada vez que un filtroconvergecontinuamente aentonces^[24] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f\left(x^{\prime }\right).}$

Teorema de completitud de Grothendieck ^[24]  : sies un espacio vectorial topológico de Hausdorff, entonces su compleción es linealmente isomorfa al conjunto de todas las funciones lineales continuas γ {\displaystyle \gamma } ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Propiedades preservadas por terminaciones.

Si un TVS tiene alguna de las siguientes propiedades, también lo tiene su finalización: ${\displaystyle X}$

• Hausdorff
• Localmente convexo
• Pseudometrizable ^[16]
• Metrizable ^[16]
• seminormable
• normal
  • Además, si es un espacio normado, entonces se puede elegir que la terminación sea un espacio de Banach de modo que la incrustación de TVS en sea una isometría. ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (B,q)}$
• Hausdorff anterior a Hilbert . Es decir, un TVS inducido por un producto interno . ^[25]
• nucleares ^[26]
• Con cañón ^[27]
• Mackey ^[28]
• Espacio DF ^[29]

Terminaciones de espacios de Hilbert

Todo espacio de producto interno tiene una terminación que es un espacio de Hilbert, donde el producto interno es la extensión continua única del producto interno original. La norma inducida por es también la extensión continua única de la norma inducida por ^{[25] [21]} ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$ ${\displaystyle \left({\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\overline {H}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$

Otras propiedades conservadas

Si es un TVS de Hausdorff , entonces el espacio dual continuo de es idéntico al espacio dual continuo de la terminación de ^[30] La terminación de un espacio bornológico localmente convexo es un espacio en forma de barril . ^[27] Si y son espacios DF, entonces el producto tensorial proyectivo , así como su terminación, de estos espacios es un espacio DF. ^[31] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La terminación del producto tensorial proyectivo de dos espacios nucleares es nuclear. ^[26] La finalización de un espacio nuclear es TVS-isomorfa con un límite proyectivo de espacios de Hilbert . ^[26]

Si (lo que significa que el mapa de suma es un isomorfismo TVS) tiene una terminación de Hausdorff, entonces Si además es un espacio producto interno y y son complementos ortogonales entre sí en (es decir, ), entonces y son complementos ortogonales en el espacio de Hilbert ${\displaystyle X=Y\oplus Z}$ ${\displaystyle Y\times Z\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {cl} _{C}Y\right)+\left(\operatorname {cl} _{C}Z\right)=C.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle Y,Z\rangle =\{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{C}Z}$ ${\displaystyle C.}$

Propiedades de mapas conservados por extensiones hasta su finalización.

Si es un operador lineal nuclear entre dos espacios localmente convexos y si es una terminación de entonces tiene una extensión lineal continua única para un operador lineal nuclear ^[26] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to Y.}$

Sean y sean dos televisores Hausdorff completos. Sea una finalización de Denotemos el espacio vectorial de operadores lineales continuos y denotemos el mapa que envía cada a su única extensión lineal continua en Entonces es un isomorfismo del espacio vectorial (sobreyectivo). Además, asigna familias de subconjuntos equicontinuos entre sí. Supongamos que está dotado de una topología G {\displaystyle {\mathcal {G}}} y que denota los cierres de conjuntos en Entonces el mapa también es un isomorfismo TVS. ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle f\in L(X;Y)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle I:L(X;Y)\to L(C;Y)}$ ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle I:L_{\mathcal {G}}(X;Y)\to L_{\mathcal {H}}(C;Y)}$

Ejemplos y condiciones suficientes para un TVS completo

Teorema  -  ^[11] Sea cualquier métrica (que no se supone que sea invariante en la traducción) en un espacio vectorial tal que la topología inducida por on se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo, entonces es un TVS completo. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

• Cualquier TVS dotado de topología trivial está completo y cada uno de sus subconjuntos está completo. Además, cada TVS con topología trivial es compacto y, por tanto, localmente compacto. Por lo tanto, un TVS completo seminormable localmente convexo y localmente compacto no necesita ser de dimensión finita si no es Hausdorff.
• Un producto arbitrario de TVS completos (respectivamente, secuencialmente completos, cuasi completos) tiene la misma propiedad. Si todos los espacios son de Hausdorff, entonces lo contrario también es cierto. ^[32] Un producto de las terminaciones de Hausdorff de una familia de TVS (Hausdorff) es una terminación de Hausdorff de su producto TVS. ^[32] De manera más general, un producto arbitrario de subconjuntos completos de una familia de TVS es un subconjunto completo del producto TVS. ^[33]
• El límite proyectivo de un sistema proyectivo de TVS completos de Hausdorff (resp. secuencialmente completos, cuasi completos) tiene la misma propiedad. ^[32] Un límite proyectivo de terminaciones de Hausdorff de un sistema inverso de TVS (Hausdorff) es una terminación de Hausdorff de su límite proyectivo. ^[32]
• Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo , entonces el espacio cociente está completo. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M}$
• Supongamos que es un subespacio vectorial completo de un TVS metrizable. Si el espacio cociente está completo, entonces también lo es ^{[3] [34]} Sin embargo, existe un TVS completo que tiene un subespacio vectorial cerrado tal que el cociente TVS no está completo. ^[17] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$
• Cada espacio F , espacio Fréchet , espacio Banach y espacio Hilbert es un TVS completo.
• Los espacios LF estrictos y los espacios LB estrictos están completos. ^[35]
• Supongamos que es un subconjunto denso de un TVS. Si cada filtro de Cauchy converge en algún punto, entonces está completo. ^[34] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El espacio de Schwartz de funciones suaves está completo.
• Los espacios de distribuciones y funciones de prueba están completos.
• Supongamos que y son TVS localmente convexos y que el espacio de aplicaciones lineales continuas está dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de If es un espacio bornológico y if es completo, entonces es un TVS completo. ^[35] En particular, el fuerte dual de un espacio bornológico está completo. ^[35] Sin embargo, no tiene por qué ser bornológico. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$
• Todo espacio DF cuasi completo está completo. ^[29]
• Sean y sean topologías TVS de Hausdorff en un espacio vectorial tal que si existe un prefiltro tal que sea una base de vecindad en el origen para y tal que cada sea un subconjunto completo de entonces es un TVS completo. ^[6] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega \subseteq \tau .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\omega ),}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Propiedades

TVS completos

Cada TVS tiene una terminación y cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff. ^[36] Cada TVS completo es un espacio cuasi completo y secuencialmente completo . ^[37] Sin embargo, lo contrario de las implicaciones anteriores son generalmente falsas. ^[37] Existe un TVS localmente convexo secuencialmente completo que no es cuasi completo . ^[29]

Si un TVS tiene una vecindad completa del origen, entonces está completo. ^{[38] Cada} TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no escaso). ^[39] La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable. ^[19]

Redes Cauchy y prefiltros

Cualquier base de vecindad de cualquier punto en un TVS es un prefiltro de Cauchy.

Cada red convergente (respectivamente, prefiltro) en un TVS es necesariamente una red de Cauchy (respectivamente, un prefiltro de Cauchy). ^[6] Cualquier prefiltro que esté subordinado a (es decir, más fino que) un prefiltro de Cauchy es necesariamente también un prefiltro de Cauchy ^[6] y cualquier prefiltro más fino que un prefiltro de Cauchy también es un prefiltro de Cauchy. El filtro asociado con una secuencia en un TVS es Cauchy si y sólo si la secuencia es una secuencia de Cauchy. Todo prefiltro convergente es un prefiltro de Cauchy.

Si es un TVS y si es un punto de agrupación de una red de Cauchy (respectivamente, prefiltro de Cauchy), entonces esa red de Cauchy (respectivamente, ese prefiltro de Cauchy) converge en [ ^3] Si un filtro de Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación , entonces converge a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Los mapas uniformemente continuos envían redes de Cauchy a redes de Cauchy. ^[3] Una secuencia de Cauchy en un TVS de Hausdorff , cuando se considera como un conjunto, no es necesariamente relativamente compacta (es decir, su cierre en no es necesariamente compacto ^{[nota 9]} ) aunque es precompacto (es decir, su cierre en la terminación de es compacto). ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cada secuencia de Cauchy es un subconjunto acotado , pero esto no es necesariamente cierto para la red de Cauchy. Por ejemplo, tengamos el orden habitual, denotemos cualquier pedido anticipado en el TVS no indiscreto (es decir, que no tenga la topología trivial ; también se supone que ) y extiendamos estos dos pedidos anticipados a la unión declarando que es válido para cada y Let se define por si y en caso contrario (es decir, si ), que es un neto en ya que el conjunto preordenado está dirigido (este preorden en también es un orden parcial (respectivamente, un orden total ) si esto es cierto para ). Esta red es una red de Cauchy porque converge al origen, pero el conjunto no es un subconjunto acotado de (porque no tiene la topología trivial). ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\cap \mathbb {N} =\varnothing }$ ${\displaystyle I~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\cup \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x\leq n}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle f:I\to X}$ ${\displaystyle f(i)=i}$ ${\displaystyle i\in X}$ ${\displaystyle f(i)=0}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{f(i):i\in I\}=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos que es una familia de TVS y que denota el producto de estos TVS. Supongamos que para cada índice hay un prefiltro activado. Entonces el producto de esta familia de prefiltros es un filtro de Cauchy activado si y sólo si cada uno es un filtro de Cauchy activado ^[17] ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Mapas

Si es un homomorfismo topológico inyectivo de un TVS completo a un TVS de Hausdorff, entonces la imagen de (es decir, ) es un subespacio cerrado de ^[34] Si es un homomorfismo topológico de un TVS metrizable completo a un TVS de Hausdorff, entonces el rango de es un subespacio cerrado de ^[34] Si es un mapa uniformemente continuo entre dos TVS de Hausdorff, entonces la imagen debajo de un subconjunto totalmente acotado de es un subconjunto totalmente acotado de ^[40] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Extensiones uniformemente continuas

Supongamos que es un mapa uniformemente continuo de un subconjunto denso de un TVS a un TVS de Hausdorff completo. Entonces tiene una extensión única uniformemente continua a todos ^[3] Si además es un homomorfismo, entonces su extensión única uniformemente continua también es un homomorfismo. ^[3] Esto sigue siendo cierto si "TVS" se reemplaza por "grupo topológico conmutativo". ^[3] No es necesario que el mapa sea un mapa lineal y que no es necesario que sea un subespacio vectorial de ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$

Extensiones lineales uniformemente continuas

Supongamos que es un operador lineal continuo entre dos TVS de Hausdorff. Si es un subespacio vectorial denso de y si la restricción a es un homomorfismo topológico, entonces también es un homomorfismo topológico. ^[41] Entonces, si y son terminaciones de Hausdorff de y respectivamente, y si es un homomorfismo topológico, entonces la extensión lineal continua única de es un homomorfismo topológico. (Tenga en cuenta que es posible que sea sobreyectivo pero no inyectivo). ^[41 ] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{M}:M\to Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle F:C\to D}$

Supongamos que y son TVS de Hausdorff, es un subespacio vectorial denso de y es un subespacio vectorial denso de Si son y son subgrupos aditivos topológicamente isomórficos a través de un homomorfismo topológico, entonces lo mismo se aplica a y a través de la extensión única uniformemente continua de (que también es una homeomorfismo). ^[42] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Subconjuntos

Subconjuntos completos

Cada subconjunto completo de un TVS está secuencialmente completo . Un subconjunto completo de un TVS de Hausdorff es un subconjunto cerrado de ^{[3] [38]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Cada subconjunto compacto de un TVS está completo (incluso si el TVS no es Hausdorff o no está completo). ^{[3] [38]} Los subconjuntos cerrados de un TVS completo están completos; sin embargo, si un TVS no está completo, entonces hay un subconjunto cerrado que no está completo. El conjunto vacío es un subconjunto completo de cada TVS. Si es un subconjunto completo de un TVS (el TVS no es necesariamente Hausdorff o completo), entonces cualquier subconjunto cerrado es completo. ^[38] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Complementos topológicos

Si es un espacio de Fréchet no normable en el que existe una norma continua, entonces contiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico . ^[29] Si es un TVS completo y es un subespacio vectorial cerrado de tal manera que no está completo, entonces no tiene complemento topológico en ^[29] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$

Subconjuntos de terminaciones

Sea un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable y sea su compleción. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que ^[29] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} _{C}R.}$

Relación con subconjuntos compactos

Un subconjunto de un TVS (que no se supone que sea Hausdorff o completo) es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado . ^{[43] [prueba 2]} Por lo tanto, un subconjunto cerrado y totalmente acotado de un TVS completo es compacto. ^{[44] [3]}

En un TVS localmente convexo de Hausdorff, el casco convexo de un conjunto precompacto vuelve a ser precompacto. ^[45] En consecuencia, en un TVS Hausdorff localmente convexo completo, el casco convexo cerrado de un subconjunto compacto es nuevamente compacto. ^[46]

La carcasa convexa de un subconjunto compacto de un espacio de Hilbert no es necesariamente cerrada y, por tanto, tampoco necesariamente compacta. Por ejemplo, sea el espacio de Hilbert separable de secuencias sumables al cuadrado con la norma habitual y sea la base ortonormal estándar (es decir, en la coordenada -). El conjunto cerrado es compacto pero su casco convexo no es un conjunto cerrado porque pertenece al cierre de en pero (dado que cada secuencia es una combinación finita convexa de elementos de y por lo tanto está necesariamente en todas menos en un número finito de coordenadas, lo cual no es cierto para ). ^[47] Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos completos de Hausdorff, el casco convexo cerrado de este subconjunto compacto es compacto. ^[46] El subespacio vectorial es un espacio anterior a Hilbert cuando está dotado de la subestructura que el espacio de Hilbert induce en él pero no está completo y (desde ). El casco convexo cerrado de in (aquí, "cerrado" significa con respecto a y no a como antes) es igual a cual no es compacto (porque no es un subconjunto completo). Esto muestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no está completo, el casco convexo cerrado del subconjunto compacto podría no ser compacto (aunque será precompacto/totalmente acotado ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle z\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$

Todo conjunto completo totalmente acotado es relativamente compacto. ^[3] Si hay algún TVS, entonces el mapa de cocientes es un mapa cerrado ^[48] y, por lo tanto , un subconjunto de un TVS está totalmente acotado si y sólo si su imagen bajo el mapa de cociente canónico está totalmente acotada. ^[19] Por tanto , es totalmente acotado si y sólo si está totalmente acotado. En cualquier TVS, el cierre de un subconjunto totalmente acotado vuelve a ser totalmente acotado. ^[3] En un espacio localmente convexo, la carcasa convexa y la carcasa en disco de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotadas. ^[36] Si es un subconjunto de un TVS tal que cada secuencia tiene un punto de agrupación, entonces está totalmente acotada. ^[19] Un subconjunto de un TVS de Hausdorff está totalmente acotado si y sólo si cada ultrafiltro activado es Cauchy, lo que ocurre si y sólo si es precompacto (es decir, su cierre al finalizar es compacto). ^[40] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}\subseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q:X\to X/\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Si es compacto, entonces y este conjunto es compacto. Por tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto ^{[nota 10]} (es decir, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ). ^[49] Así, el cierre de un conjunto compacto es compacto. Cada subconjunto relativamente compacto de un TVS de Hausdorff está totalmente acotado. ^[40] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$

En un espacio localmente convexo completo, la carcasa convexa y la carcasa en forma de disco de un conjunto compacto son ambas compactas. ^[36] De manera más general, si es un subconjunto compacto de un espacio localmente convexo, entonces la carcasa convexa (resp. la carcasa en disco ) es compacta si y sólo si está completa. ^[36] Cada subconjunto de es compacto y, por tanto, completo. ^{[prueba 3]} En particular, si no es Hausdorff, existen juegos completos compactos que no están cerrados. ^[3] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {co} K}$ ${\displaystyle \operatorname {cobal} K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Espacio métrico completo  – Geometría métrica
• Filtro (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología puede definirse mediante una métrica.
• Espacio pseudométrico  - Generalización de espacios métricos en matemáticas
• Espacio cuasi completo  : un espacio vectorial topológico en el que cada subconjunto cerrado y acotado está completo
• Completar secuencialmente
• Grupo topológico  : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua.
• Espacio uniforme  : espacio topológico con noción de propiedades uniformes.

Notas

1. Se dice que una métrica en un espacio vectorial es invariante de traducción si para todos los vectores una métrica inducida por una norma es siempre invariante de traducción. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$
2. La integridad de los espacios normados y los TVS metrizables se definen en términos de normas y métricas . En general, se pueden utilizar muchas normas diferentes (por ejemplo, normas equivalentes ) y métricas para determinar la integridad de dicho espacio. Esto contrasta con la singularidad de esta uniformidad canónica invariante en la traducción.
3. Cada secuencia es también una red.
4. El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma que induce la topología euclidiana habitual en Definir una métrica en por para todos donde se puede demostrar que induce la topología euclidiana habitual en Sin embargo, no es una métrica completa ya que la secuencia definida por es una secuencia de Cauchy que no converge en ningún punto de Tenga en cuenta también que esta secuencia de Cauchy no es una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una secuencia de Cauchy con respecto a la norma ). ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=\left|\arctan(x)-\arctan(y)\right|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$
5. No se supone que sea invariante en la traducción.
6. Let denota el espacio de Banach de funciones continuas con la norma suprema, let donde se da la topología inducida por y denota la restricción de la norma L 1 a by Entonces se puede demostrar que la norma es una función continua. Sin embargo, no es equivalente a la norma y, por tanto, en particular, no es un espacio de Banach. ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle X=C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty },}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}.}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)}$
7. Este mapa de cociente en particular es, de hecho, también un mapa cerrado. ${\displaystyle q:X\to X/I}$
8. Explícitamente, este mapa se define de la siguiente manera: para cada let y so that Entonces es válido para todos y ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (i,h)=A(x)}$ ${\displaystyle B(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right).}$ ${\displaystyle B(i+h)=\left(i,\operatorname {In} _{H}h\right)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H.}$
9. Si es un TVS normal tal que para cada secuencia de Cauchy el cierre de in es compacto (y por lo tanto secuencialmente compacto ), entonces esto garantiza que siempre existirá algo tal que in Por lo tanto, cualquier espacio normado con esta propiedad es necesariamente secuencialmente completo. Como no todos los espacios normados están completos, el cierre de una secuencia de Cauchy no es necesariamente compacto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x_{1},x_{2},\ldots ,\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X.}$
10. En topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff puede no ser compacto (por ejemplo, la topología puntual particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en los TVS que no son de Hausdorff. La prueba utiliza el hecho de que es compacto (pero posiblemente no cerrado) y es a la vez cerrado y compacto, de modo que cuál es la imagen del conjunto compacto bajo el mapa de suma continua también es compacto. Recuerde también que la suma de un conjunto compacto (es decir, ) y un conjunto cerrado es cerrada, por lo que está cerrada en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\},}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \cdot +\cdot :X\times X\to X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X.}$

Pruebas

1. Sea una vecindad del origen en Dado que es una vecindad de en existe una vecindad abierta (o cerrada) de tal que es una vecindad del origen. Claramente, está abierto (o cerrado) si y sólo si está abierto (o cerrado). Dejemos que donde esté abierto (resp. cerrado) si y solo si está abierto (resp. cerrado). ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A(W)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I\times H,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I\times V}$ ${\displaystyle U=I+V}$ ${\displaystyle A(U)=I\times V\subseteq A(W)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$
2. Supongamos que es compacto y deja que haya un filtro de Cauchy en Let , por lo que es un filtro de Cauchy de conjuntos cerrados. Dado que tiene la propiedad de intersección finita, existe algo tal que para todos así { (es decir, es un punto de acumulación de ). Como es Cauchy, en Así es completo. Que también esté totalmente delimitado se deriva inmediatamente de la compacidad de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left\{\operatorname {cl} _{S}C~:~C\in {\mathcal {C}}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\operatorname {cl} _{S}C}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s\in \operatorname {cl} {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
3. Dada cualquier portada abierta, seleccione cualquier conjunto abierto de esa portada que contenga el origen. Dado que es una vecindad del origen, contiene y por tanto contiene ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle S.}$

Citas

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18. Wilansky 2013, pag. 63.
19. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-35.
20. donde para todos y ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle h\in H,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}(i+h)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~i+h.}$
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