combinación convexa

Combinación lineal de puntos donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1

Dados tres puntos en un plano como se muestra en la figura, el punto es una combinación convexa de los tres puntos, mientras que no lo es . ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

( Sin embargo, es una combinación afín de los tres puntos, ya que su casco afín es todo el avión). ${\displaystyle Q}$

Combinación convexa de dos puntos en un espacio vectorial bidimensional como animación en Geogebra con y ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot v_{1}+t\cdot v_{2}}$

Combinación convexa de tres puntos en un espacio vectorial bidimensional como se muestra en la animación con , . Cuando P está dentro del triángulo . De lo contrario, cuando P está fuera del triángulo, al menos uno de ellos es negativo. ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2}{\text{ of }}2{\text{-simplex}}\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha ^{0}+\alpha ^{1}+\alpha ^{2}=1}$ ${\displaystyle P(\alpha ^{0},\alpha ^{1},\alpha ^{2})}$ ${\displaystyle :=\alpha ^{0}v_{0}+\alpha ^{1}v_{1}+\alpha ^{2}v_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Combinación convexa de cuatro puntos en un espacio vectorial tridimensional como animación en Geogebra con y . Cuando P está dentro del tetraedro . De lo contrario, cuando P está fuera del tetraedro, al menos uno de ellos es negativo. ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}\cdot A_{i}=P}$ ${\displaystyle \alpha _{i}>=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

Combinación convexa de dos funciones como vectores en un espacio vectorial de funciones, visualizada en Open Source Geogebra con y como primera función se define un polinomio. Se eligió una función trigonométrica como segunda función. La figura ilustra la combinación convexa de y como gráfico en color rojo. ${\displaystyle [a,b]=[-4,7]}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x):={\frac {3}{10}}\cdot x^{2}-2}$ ${\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x):=2\cdot \cos(x)+1}$ ${\displaystyle K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

En geometría convexa y álgebra vectorial , una combinación convexa es una combinación lineal de puntos (que pueden ser vectores , escalares o, más generalmente, puntos en un espacio afín ) donde todos los coeficientes son no negativos y suman 1. ^[1] En otros Es decir, la operación equivale a un promedio ponderado estándar , pero cuyos pesos se expresan como un porcentaje del peso total, en lugar de como una fracción del conteo de los pesos como en un promedio ponderado estándar.

Definicion formal

Más formalmente, dado un número finito de puntos en un espacio vectorial real , una combinación convexa de estos puntos es un punto de la forma ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

donde los números reales satisfacen y ^[1] ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}$

Como ejemplo particular, cada combinación convexa de dos puntos se encuentra en el segmento de línea entre los puntos. ^[1]

Un conjunto es convexo si contiene todas las combinaciones convexas de sus puntos. La envolvente convexa de un conjunto dado de puntos es idéntica al conjunto de todas sus combinaciones convexas. ^[1]

Existen subconjuntos de un espacio vectorial que no están cerrados bajo combinaciones lineales pero sí cerrados bajo combinaciones convexas. Por ejemplo, el intervalo es convexo pero genera la recta de números reales bajo combinaciones lineales. Otro ejemplo es el conjunto convexo de distribuciones de probabilidad , ya que las combinaciones lineales no conservan ni la no negatividad ni la afinidad (es decir, no tienen una integral total). ${\displaystyle [0,1]}$

Otros objetos

• Se dice que una variable aleatoria tiene una distribución de mezcla finita de componentes si su función de densidad de probabilidad es una combinación convexa de las llamadas densidades de componentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Construcciones relacionadas

• Una combinación cónica es una combinación lineal con coeficientes no negativos. Cuando se va a utilizar un punto como origen de referencia para definir vectores de desplazamiento , entonces es una combinación convexa de puntos si y solo si el desplazamiento cero es una combinación cónica no trivial de sus respectivos vectores de desplazamiento con respecto a . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$
• Las medias ponderadas son funcionalmente iguales que las combinaciones convexas, pero utilizan una notación diferente. No es necesario que los coeficientes ( ponderaciones ) de una media ponderada sumen 1; en cambio, la combinación lineal ponderada se divide explícitamente por la suma de las ponderaciones.
• Las combinaciones afines son como combinaciones convexas, pero no es necesario que los coeficientes sean no negativos. Por tanto, las combinaciones afines se definen en espacios vectoriales sobre cualquier campo .

Ver también

• casco afín
• Teorema de Carathéodory (casco convexo)
• simplex
• Sistema de coordenadas baricéntrico
• espacio convexo

Referencias

1. Rockafellar, R. Tyrrell (1970), Análisis convexo , Princeton Mathematical Series, vol. 28, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, págs. 11-12, SEÑOR  0274683

enlaces externos

• Suma convexa/combinación con un triángulo - ilustración interactiva
• Suma convexa/combinación con un hexágono - ilustración interactiva
• Suma convexa/combinación con un tetraedro - ilustración interactiva