espacio banach

Espacio vectorial normado que está completo

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un espacio de Banach (pronunciado [ˈbanax] ) es un espacio vectorial normado completo . Así, un espacio de Banach es un espacio vectorial con una métrica que permite calcular la longitud del vector y la distancia entre vectores y es completo en el sentido de que una secuencia de vectores de Cauchy siempre converge a un límite bien definido que está dentro del espacio.

Los espacios de Banach llevan el nombre del matemático polaco Stefan Banach , quien introdujo este concepto y lo estudió sistemáticamente en 1920-1922 junto con Hans Hahn y Eduard Helly . ^[1] Maurice René Fréchet fue el primero en utilizar el término "espacio de Banach" y Banach a su vez acuñó el término " espacio de Fréchet ". ^[2] Los espacios de Banach surgieron originalmente del estudio de los espacios funcionales realizado por Hilbert , Fréchet y Riesz a principios de siglo. Los espacios de Banach juegan un papel central en el análisis funcional. En otras áreas de análisis , los espacios bajo estudio suelen ser espacios de Banach.

Definición

Un espacio de Banach es un espacio normado completo Un espacio normado es un par ^{[nota 1]} que consiste en un espacio vectorial sobre un campo escalar (donde comúnmente es o ) junto con una norma distinguida ^{[nota 2]} Como todas las normas, esta norma induce una función de distancia invariante de traducción ^{[nota 3]} , llamada métrica canónica o ( norma ) inducida , definida para todos los vectores por ^{[nota 4]} ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle x,y\in X}$

$${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|.}$$

espacio métrico.Cauchy en-Cauchy-Cauchy ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,d).}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r}$$

espacio de Banachmétrica completaespacio métrico completosecuencia de Cauchy ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d)}$$

${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0\;{\text{ in }}\mathbb {R} .}$$

La norma de un espacio normado se llama ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$norma completa sies un espacio de Banach. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

Producto L-semi-interior

Para cualquier espacio normado existe un producto L-semi-interior tal que para todos ; en general, puede haber infinitos productos L-semi-internos que satisfagan esta condición. Los productos L-semi-internos son una generalización de los productos internos , que son los que distinguen fundamentalmente los espacios de Hilbert de todos los demás espacios de Banach. Esto muestra que todos los espacios normados (y, por tanto, todos los espacios de Banach) pueden considerarse generalizaciones de los espacios (pre) de Hilbert. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|),}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ ${\displaystyle x\in X}$

Caracterización en términos de series.

La estructura del espacio vectorial permite relacionar el comportamiento de las secuencias de Cauchy con el de series convergentes de vectores . Un espacio normado es un espacio de Banach si y sólo si cada serie absolutamente convergente en converge en ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implies that }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converges in }}\ \ X.}$$

Topología

La métrica canónica de un espacio normado induce la topología métrica habitual , a la que se hace referencia como topología canónica o inducida por normas . Se supone automáticamente que cada espacio normado lleva esta topología de Hausdorff , a menos que se indique lo contrario. Con esta topología, todo espacio de Banach es un espacio de Baire , aunque existen espacios normados que son Baire pero no Banach. ^[4] La norma es siempre una función continua con respecto a la topología que induce. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \tau _{d}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R} }$

Las bolas abiertas y cerradas de radio centradas en un punto son, respectivamente, los conjuntos ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in X}$

$${\displaystyle B_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}$$

subconjunto convexovecindad compactaespacio vectorial de dimensión finitalocalmente compactopropiedad de Heine-Borel ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle s\neq 0}$

$${\displaystyle x_{0}+sB_{r}(x)=B_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+sC_{r}(x)=C_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right).}$$

invariante de traducciónabiertocerradovecindad . base ${\displaystyle s:=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}.}$

$${\displaystyle \left\{B_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{C_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\}}$$

${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r_{n}:=1/n}$ ${\displaystyle r_{n}:=1/2^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}B_{1}(0)}$$

contableespacio separablesubconjunto denso ${\displaystyle I\subseteq U,}$ ${\displaystyle r_{x}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{x}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Clases de homeomorfismo de espacios de Banach separables

Todos los espacios normados de dimensión finita son espacios de Banach separables y dos espacios de Banach cualesquiera de la misma dimensión finita son linealmente homeomórficos. Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es linealmente isométricamente isomorfo al espacio de secuencia ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ de Hilbert separable con su norma habitual ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}.}$

El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto de un número contable de copias de (este homeomorfismo no tiene por qué ser un mapa lineal ). ^{[5] [6]} Por lo tanto, todos los espacios de Fréchet separables de dimensión infinita son homeomorfos entre sí (o dicho de otra manera, su topología es única hasta un homeomorfismo). Dado que cada espacio de Banach es un espacio de Fréchet, esto también es cierto para todos los espacios de Banach separables de dimensión infinita, incluido De hecho, es incluso homeomorfo a su propia esfera unitaria , lo que contrasta marcadamente con los espacios de dimensión finita (el plano euclidiano no es homeomorfo al círculo unitario , por ejemplo). ${\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \left\{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Este patrón en las clases de homeomorfismo se extiende a generalizaciones de variedades topológicas metrizables ( localmente euclidianas ) conocidas como variedades métricas de Banach , que son espacios métricos que están alrededor de cada punto, localmente homeomórficos a algún subconjunto abierto de un espacio de Banach dado (variedades métricas de Hilbert y variedades métricas de Fréchet) . las variedades se definen de manera similar). ^[6] Por ejemplo, cada subconjunto abierto de un espacio de Banach es canónicamente una variedad métrica de Banach modelada ya que el mapa de inclusión es un homeomorfismo local abierto . Utilizando microhaces espaciales de Hilbert , David Henderson demostró ^{[7] en 1969 que toda variedad métrica modelada en un espacio separable de Banach (o} Fréchet ) de dimensión infinita puede integrarse topológicamente como un subconjunto abierto y , en consecuencia, también admite una estructura suave única que hace en una variedad de Hilbert . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Subconjuntos compactos y convexos

Hay un subconjunto compacto cuyo casco convexo no está cerrado y, por lo tanto, tampoco es compacto (consulte esta nota al pie ^{[nota 5]} para ver un ejemplo). ^[8] Sin embargo, como en todos los espacios de Banach, la cubierta convexa cerrada de este (y de todos los demás) subconjuntos compactos será compacta. ^[9] Pero si un espacio normado no está completo entonces, en general, no se garantiza que sea compacto siempre que lo esté; incluso se puede encontrar un ejemplo ^{[nota 5]} en un subespacio vectorial (incompleto) anterior a Hilbert de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \operatorname {co} (S)}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Como espacio vectorial topológico

Esta topología inducida por normas también da lugar a lo que se conoce como espacio vectorial topológico (TVS), que por definición es un espacio vectorial dotado de una topología que hace continuas las operaciones de suma y multiplicación escalar. Se destaca que el TVS es sólo un espacio vectorial junto con un cierto tipo de topología; es decir, cuando se considera un TVS, no está asociado con ninguna norma o métrica en particular (ambas están " olvidadas "). Este TVS de Hausdorff es incluso localmente convexo porque el conjunto de todas las bolas abiertas centradas en el origen forma una base de vecindad en el origen que consta de conjuntos abiertos equilibrados convexos. Este TVS también es normal , que por definición se refiere a cualquier TVS cuya topología sea inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) . Los TVS normales se caracterizan por ser Hausdorff y tener una vecindad convexa acotada del origen. Todos los espacios de Banach son espacios de barril , lo que significa que cada barril es vecino del origen (todas las bolas cerradas centradas en el origen son barriles, por ejemplo) y garantiza que se cumple el teorema de Banach-Steinhaus . ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$

Comparación de topologías vectoriales metrizables completas

El teorema de mapeo abierto implica que si y son topologías que convierten a ambos en TVS metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si o entonces ). ^[10] Entonces, por ejemplo, si y son espacios de Banach con topologías y si uno de estos espacios tiene alguna bola abierta que también es un subconjunto abierto del otro espacio (o equivalentemente, si uno de o es continuo), entonces sus topologías son idénticos y sus normas son equivalentes . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{2}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau =\tau _{2}}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle \tau _{q}}$ ${\displaystyle p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R} }$

Lo completo

Normas completas y normas equivalentes.

Se dice que dos normas, y en un espacio vectorial, son equivalentes si inducen la misma topología; ^[11] esto sucede si y sólo si existen números reales positivos tales que para todo Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial entonces es un espacio de Banach si y sólo si es un espacio de Banach. Consulte esta nota al pie para ver un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[nota 6] [11]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y cada espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^[12] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c,C>0}$ ${\textstyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle (X,q)}$

Normas completas versus métricas completas

Una métrica en un espacio vectorial es inducida por una norma en si y solo si es invariante de traducción ^{[nota 3]} y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todos, en cuyo caso la función define una norma en y la métrica canónica inducida por es igual a ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle D.}$

Supongamos que es un espacio normado y que es la topología norma inducida en Supongamos que es cualquier métrica en tal que la topología que induce en es igual a Si es invariante de traducción ^{[nota 3]} entonces es un espacio de Banach si y sólo si es un espacio completo espacio métrico. ^[13] Si no es invariante de traducción, entonces es posible que sea un espacio de Banach pero que no sea un espacio métrico completo ^[14] (consulte esta nota al pie ^{[nota 7]} para ver un ejemplo). Por el contrario, un teorema de Klee, ^{[15] [16] [nota 8]} que también se aplica a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables , implica que si existe alguna ^{[nota 9]} métrica completa que induzca la topología normal , entonces es una Espacio Banach. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

Un espacio de Fréchet es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología es inducida por alguna métrica completa invariante a la traducción. Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet pero no a la inversa; de hecho, incluso existen espacios de Fréchet en los que ninguna norma es una función continua (como el espacio de secuencias reales con topología de producto ). Sin embargo, la topología de cada espacio de Fréchet es inducida por alguna familia contable de mapas de valor real (necesariamente continuos) llamados seminormas , que son generalizaciones de normas . Incluso es posible que un espacio de Fréchet tenga una topología inducida por una familia contable de normas (tales normas necesariamente serían continuas) ^{[nota 10] [17]} pero no sea un espacio de Banach/normal porque su topología no puede ser definido por una sola norma. Un ejemplo de tal espacio es el espacio de Fréchet cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba . ${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

Normas completas versus espacios vectoriales topológicos completos

Existe otra noción de completitud además de la completitud métrica y es la noción de espacio vectorial topológico completo (TVS) o TVS-completitud, que utiliza la teoría de espacios uniformes . Específicamente, la noción de completitud TVS utiliza una uniformidad invariante de traducción única , llamada uniformidad canónica , que depende solo de la resta de vectores y de la topología de la que está dotado el espacio vectorial, por lo que, en particular, esta noción de completitud TVS es independiente. de cualquier norma que haya inducido la topología (e incluso se aplica a TVS que ni siquiera son metrizables). Cada espacio Banach es un TVS completo. Además, un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por normas es completa) si y sólo si es completo como espacio vectorial topológico. Si es un espacio vectorial topológico metrizable (como cualquier topología inducida por normas, por ejemplo), entonces es un TVS completo si y sólo si es un TVS secuencialmente completo, lo que significa que es suficiente verificar que cada secuencia de Cauchy converge en algún punto de (es decir, no hay necesidad de considerar la noción más general de redes de Cauchy arbitrarias ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial topológico cuya topología es inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) (dichos espacios se denominan normables ), entonces es un espacio vectorial topológico completo si y sólo si se le puede asignar una norma que induce a la topología y también la convierte en un espacio de Banach. Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es normable si y sólo si su espacio dual fuerte es normable, ^[18] en cuyo caso es un espacio de Banach ( denota el espacio dual fuerte cuya topología es una generalización de la topología dual inducida por norma en el espacio dual continuo ; consulte esta nota al pie ^{[nota 11]} para obtener más detalles). Si es un TVS localmente convexo metrizable , entonces es normal si y solo si es un espacio de Fréchet-Urysohn . ^[19] Esto muestra que en la categoría de TVS localmente convexos , los espacios de Banach son exactamente aquellos espacios completos que son metrizables y que tienen espacios duales fuertes metrizables . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Terminaciones

Todo espacio normado puede incrustarse isométricamente en un subespacio vectorial denso de algún espacio de Banach, donde este espacio de Banach se denomina compleción del espacio normado. Esta terminación de Hausdorff es única hasta el isomorfismo isométrico .

Más precisamente, para cada espacio normado existe un espacio de Banach y un mapeo tal que es un mapeo isométrico y es denso en Si hay otro espacio de Banach tal que hay un isomorfismo isométrico desde un subconjunto denso de entonces es isométricamente isomorfo a Este Banach el espacio es la compleción de Hausdorff del espacio normado. El espacio métrico subyacente para es el mismo que la compleción métrica de con las operaciones del espacio vectorial extendidas desde hasta La compleción de a veces se denota por ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

teoría general

Operadores lineales, isomorfismos

Si y son espacios normados sobre el mismo campo terrestre, el conjunto de todos los mapas lineales continuos se denota por En espacios de dimensión infinita, no todos los mapas lineales son continuos. Una aplicación lineal de un espacio normado a otro espacio normado es continua si y sólo si está acotada por la bola unitaria cerrada de Por lo tanto, al espacio vectorial se le puede dar la norma del operador ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

$${\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}$$

Para un espacio de Banach, el espacio es un espacio de Banach con respecto a esta norma. En contextos categóricos, a veces es conveniente restringir el espacio funcional entre dos espacios de Banach sólo a los mapas cortos ; en ese caso el espacio reaparece como bifunctor natural . ^[20] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Si es un espacio de Banach, el espacio forma un álgebra de Banach unital ; la operación de multiplicación viene dada por la composición de aplicaciones lineales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

Si y son espacios normados, son espacios normados isomórficos si existe una biyección lineal tal que y su inversa sea continua. Si uno de los dos espacios o está completo (o reflexivo , separable , etc.), entonces también lo estará el otro espacio. Dos espacios normados son isométricamente isomórficos si, además, es una isometría , es decir, para cada distancia entre dos espacios isomórficos pero no isométricos y da una medida de cuánto difieren los dos espacios . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Funciones lineales continuas y acotadas y seminormas.

Todo operador lineal continuo es un operador lineal acotado y si se trata sólo de espacios normados, lo contrario también es cierto. Es decir, un operador lineal entre dos espacios normados está acotado si y sólo si es una función continua . Entonces, en particular, debido a que el campo escalar (que es o ) es un espacio normado, un funcional lineal en un espacio normado es un funcional lineal acotado si y solo si es un funcional lineal continuo . Esto permite aplicar resultados relacionados con la continuidad (como los siguientes) a los espacios de Banach. Aunque la acotación es lo mismo que la continuidad para mapas lineales entre espacios normados, el término "acotado" se usa más comúnmente cuando se trata principalmente de espacios de Banach. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si es una función subaditiva (como una norma, una función sublineal o una función lineal real), entonces ^[21] es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua en todos ; y si además entonces es continuo si y sólo si su valor absoluto es continuo, lo que ocurre si y sólo si es un subconjunto abierto de ^{[21] [nota 12]} Y muy importante para aplicar el teorema de Hahn-Banach , un funcional lineal es continuo si y sólo si esto es cierto para su parte real y, además, y la parte real determina completamente , razón por la cual el teorema de Hahn-Banach a menudo se establece sólo para funcionales lineales reales. Además, una funcional lineal on es continua si y sólo si la seminorma es continua, lo que ocurre si y sólo si existe una seminorma continua tal que ; Esta última afirmación que involucra el funcional lineal y la seminorma se encuentra en muchas versiones del teorema de Hahn-Banach. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Nociones básicas

El producto cartesiano de dos espacios normados no está canónicamente equipado con una norma. Sin embargo, comúnmente se utilizan varias normas equivalentes, ^[22] como ${\displaystyle X\times Y}$

$${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$

coproductoal producto^[20] ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y}$

Si es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado, existe una norma natural en el espacio cociente. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$

$${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

El cociente es un espacio de Banach cuando está completo. ^[23] El mapa de cociente de sobre envío a su clase es lineal, sobre y tiene norma excepto en cuyo caso el cociente es el espacio nulo. ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x+M,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M=X,}$

El subespacio lineal cerrado de se dice que es un subespacio complementado de si es el rango de una proyección lineal acotada sobreyectiva . En este caso, el espacio es isomorfo a la suma directa de y al núcleo de la proyección. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker P,}$ ${\displaystyle P.}$

Supongamos que y son espacios de Banach y que existe una factorización canónica de as ^[23] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$$

${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x+\ker T}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X),}$

Espacios clásicos

Ejemplos básicos ^[24] de espacios de Banach incluyen: los espacios Lp y sus casos especiales, los espacios de secuencia que consisten en secuencias escalares indexadas por números naturales ; entre ellos, el espacio de sucesiones absolutamente sumables y el espacio de sucesiones cuadradas sumables; el espacio de secuencias que tienden a cero y el espacio de secuencias acotadas; el espacio de funciones escalares continuas en un espacio compacto de Hausdorff equipado con la norma máxima, ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K,}$

$${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

Según el teorema de Banach-Mazur , todo espacio de Banach es isométricamente isomorfo a un subespacio de algunos ^[25] Para cada espacio de Banach separable existe un subespacio cerrado de tal que ^[26] ${\displaystyle C(K).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

Cualquier espacio de Hilbert sirve como ejemplo de espacio de Banach. Un espacio de Hilbert está completo para una norma de la forma ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$

$${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$

producto interno

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, el espacio es un espacio de Hilbert. ${\displaystyle L^{2}}$

Los espacios de Hardy , los espacios de Sobolev son ejemplos de espacios de Banach que están relacionados con espacios y tienen estructura adicional. Son importantes en diferentes ramas del análisis, Análisis Armónico y Ecuaciones diferenciales parciales entre otras. ${\displaystyle L^{p}}$

Álgebras de Banach

Un álgebra de Banach es un espacio de Banach sobre o junto con una estructura de álgebra sobre , de modo que el mapa del producto es continuo. Se puede encontrar una norma equivalente para que para todos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Ejemplos

• El espacio de Banach con el producto puntual es un álgebra de Banach. ${\displaystyle C(K)}$
• El álgebra de discos consta de funciones holomorfas en el disco unitario abierto y continuas en su cierre : Equipada con la norma máxima en el álgebra de discos hay una subálgebra cerrada de ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• El álgebra de Wiener es el álgebra de funciones en el círculo unitario con series de Fourier absolutamente convergentes. A través del mapa que asocia una función a la secuencia de sus coeficientes de Fourier, esta álgebra es isomorfa al álgebra de Banach donde el producto es la convolución de secuencias. ${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• Para cada espacio de Banach, el espacio de operadores lineales acotados con la composición de mapas como producto, es un álgebra de Banach. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Un álgebra C* es un álgebra de Banach compleja con una involución antilineal tal que El espacio de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert es un ejemplo fundamental de álgebra C*. El teorema de Gelfand-Naimark establece que cada álgebra C* es isométricamente isomorfa a una subálgebra C* de algunos El espacio de funciones continuas complejas en un espacio compacto de Hausdorff es un ejemplo de álgebra C* conmutativa, donde la involución se asocia a cada función su conjugado complejo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

doble espacio

Si es un espacio normado y el campo subyacente (ya sea los números reales o complejos ), el espacio dual continuo es el espacio de mapas lineales continuos desde dentro o funcionales lineales continuos . La notación para el dual continuo se encuentra en este artículo. ^[27] Dado que es un espacio de Banach (usando el valor absoluto como norma), el dual es un espacio de Banach, para todo espacio normado ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

La principal herramienta para demostrar la existencia de funcionales lineales continuos es el teorema de Hahn-Banach .

Teorema de Hahn-Banach  :  Sea un espacio vectorial sobre el campo. Sea más ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

• ${\displaystyle Y\subseteq X}$ser un subespacio lineal ,
• ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ser una función sublineal y
• ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {K} }$ser un funcional lineal de modo que para todos ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

Entonces existe un funcional lineal tal que ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} }$

$${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}$$

En particular, cada funcional lineal continuo en un subespacio de un espacio normado puede extenderse continuamente a todo el espacio, sin aumentar la norma del funcional. ^[28] Un caso especial importante es el siguiente: para cada vector en un espacio normado existe una funcional lineal continua tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.}$$

Cuando no es igual al vector, el funcional debe tener norma uno, y se llama funcional normativo para ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

El teorema de separación de Hahn-Banach establece que dos conjuntos convexos no vacíos disjuntos en un espacio real de Banach, uno de ellos abierto, pueden estar separados por un hiperplano afín cerrado . El conjunto convexo abierto se encuentra estrictamente en un lado del hiperplano, el segundo conjunto convexo se encuentra en el otro lado pero puede tocar el hiperplano. ^[29]

Un subconjunto en un espacio de Banach es total si el tramo lineal de es denso en El subconjunto es total en si y sólo si el único funcional lineal continuo que desaparece es el funcional: esta equivalencia se deriva del teorema de Hahn-Banach. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si es la suma directa de dos subespacios lineales cerrados y entonces el dual de es isomorfo a la suma directa de los duales de y ^[30] Si es un subespacio lineal cerrado en el que se puede asociar la ortogonal de en el dual, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle M^{bot}=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.}$$

El ortogonal es un subespacio lineal cerrado del dual. El dual de es isométricamente isomorfo a El dual de es isométricamente isomorfo a ^[31] ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$

El dual de un espacio de Banach separable no necesita ser separable, pero:

Teorema ^[32]  -  Sea un espacio normado. Si es separable , entonces es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Cuando es separable, el criterio de totalidad anterior se puede utilizar para probar la existencia de un subconjunto total contable en ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

Topologías débiles

La topología débil en un espacio de Banach es la topología más burda en la que todos los elementos del espacio dual continuo son continuos. Por tanto, la topología normal es más fina que la topología débil. Del teorema de separación de Hahn-Banach se deduce que la topología débil es Hausdorff , y que un subconjunto convexo de norma cerrada de un espacio de Banach también está débilmente cerrado. ^[33] Un mapa lineal continuo entre dos espacios de Banach y también es débilmente continuo , es decir, continuo desde la topología débil de hasta la de ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es de dimensión infinita, existen mapas lineales que no son continuos. El espacio de todos los mapas lineales desde el campo subyacente (este espacio se llama espacio dual algebraico , para distinguirlo también induce una topología que es más fina que la topología débil y mucho menos utilizada en el análisis funcional. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

En un espacio dual hay una topología más débil que la topología débil llamada topología débil* . Es la topología más burda en la que todos los mapas de evaluación donde los rangos son continuos. Su importancia proviene del teorema de Banach-Alaoglu . ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

Teorema de Banach-Alaoglu  :  seaun espacio vectorial normado . Entonces la bola unitaria cerrada del espacio dual es compacta en la topología débil*. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}}$

El teorema de Banach-Alaoglu se puede demostrar utilizando el teorema de Tychonoff sobre productos infinitos de espacios compactos de Hausdorff. Cuando es separable, la bola unitaria del dual es un compacto metrizable en la topología débil*. ^[35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$

Ejemplos de espacios duales

El dual de es isométricamente isomorfo a : para cada funcional lineal acotado hay un elemento único tal que ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

El dual de es isométricamente isomorfo a . El dual del espacio de Lebesgue es isométricamente isomorfo a cuando y ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{q}([0,1])}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Para cada vector en un espacio de Hilbert el mapeo ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H,}$

$${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

define un funcional lineal continuo en El teorema de representación de Riesz establece que todo funcional lineal continuo en tiene la forma de un vector definido de forma única en El mapeo es una biyección isométrica antilineal desde su dual Cuando los escalares son reales, este mapeo es un isomorfismo isométrico . ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'.}$

Cuando es un espacio topológico compacto de Hausdorff, el dual de es el espacio de medidas de Radón en el sentido de Bourbaki. ^[36] El subconjunto de medidas no negativas de masa 1 ( medidas de probabilidad ) es un subconjunto convexo w*-cerrado de la bola unitaria de Los puntos extremos de son las medidas de Dirac en El conjunto de medidas de Dirac en equipado con el w*-topología, es homeomorfa a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle M(K).}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$

Teorema de Banach-Stone  :  siyson espacios compactos de Hausdorff y siyson isométricamente isomórficos, entonces los espacios topológicosyson homeomórficos . ^{[37] [38]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

El resultado ha sido extendido por Amir ^[39] y Cambern ^[40] al caso en el que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre y es El teorema ya no es cierto cuando la distancia es ^[41] ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle <2.}$ ${\displaystyle =2.}$

En el álgebra conmutativa de Banach, los ideales máximos son precisamente núcleos de medidas de Dirac en ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K,}$

$${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

De manera más general, según el teorema de Gelfand-Mazur , los ideales máximos de un álgebra de Banach conmutativa unital pueden identificarse con sus caracteres , no simplemente como conjuntos sino como espacios topológicos: el primero con la topología casco-núcleo y el segundo con la w* -topología. En esta identificación, el espacio ideal máximo puede verse como un subconjunto compacto w* de la bola unitaria en el modelo dual. ${\displaystyle A'.}$

Teorema  :  si es un espacio compacto de Hausdorff, entonces el espacio ideal máximo del álgebra de Banach es homeomorfo a ^[37] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$

No todas las álgebras unitales conmutativas de Banach tienen la forma para algún espacio compacto de Hausdorff. Sin embargo, esta afirmación es válida si se ubica en la categoría más pequeña de álgebras C* conmutativas . El teorema de representación de Gelfand para álgebras C* conmutativas establece que cada álgebra C * unital conmutativa es isométricamente isomorfa a un espacio. ^[42] El espacio compacto de Hausdorff aquí es nuevamente el espacio ideal máximo, también llamado espectro de en el contexto de álgebra C*. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

bidual

Si es un espacio normado, el dual (continuo) del dual se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X'}$bidual , osegundo dual de Para cada espacio normadohay un mapa natural, ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Esto se define como un funcional lineal continuo, es decir, un elemento de El mapa es un mapa lineal desde a Como consecuencia de la existencia de un funcional normativo para cada, este mapa es isométrico, por lo tanto inyectivo . ${\displaystyle F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle F_{X}:x\to F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F_{X}}$

Por ejemplo, el dual de se identifica con y el dual de se identifica con el espacio de secuencias escalares acotadas. Según estas identificaciones, el mapa de inclusión de a. De hecho, es isométrico, pero no hacia. ${\displaystyle X=c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Si es sobreyectivo , entonces el espacio normado se llama reflexivo (ver más abajo). Al ser el dual de un espacio normado, el bidual es completo, por tanto, todo espacio normado reflexivo es un espacio de Banach. ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Utilizando la incrustación isométrica se acostumbra considerar un espacio normado como un subconjunto de su bidual. Cuando es un espacio de Banach, se ve como un subespacio lineal cerrado de Si no es reflexivo, la bola unitaria de es un subconjunto propio de la bola unitaria de El teorema de Goldstine establece que la bola unitaria de un espacio normado es débilmente*-densa en la bola unitaria del bidual. En otras palabras, para cada en el bidual, existe una red en modo que ${\displaystyle F_{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.}$$

La red puede ser reemplazada por una secuencia débilmente convergente cuando el dual es separable. Por otro lado, los elementos del bidual de que no están en no pueden ser débiles*-límite de secuencias en ya que están débilmente secuencialmente completos. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

teoremas de banach

A continuación se presentan los principales resultados generales sobre los espacios de Banach que se remontan a la época del libro de Banach (Banach (1932)) y están relacionados con el teorema de la categoría de Baire . Según este teorema, un espacio métrico completo (como un espacio de Banach, un espacio de Fréchet o un espacio F ) no puede ser igual a una unión de un número contable de subconjuntos cerrados con interiores vacíos . Por tanto, un espacio de Banach no puede ser la unión de un número contable de subespacios cerrados, a menos que ya sea igual a uno de ellos; un espacio de Banach con una base de Hamel contable es de dimensión finita.

Teorema de Banach-Steinhaus  :  seaun espacio de Banach yun espacio vectorial normado . Supongamos quees una colección de operadores lineales continuos desdehasta.El principio de acotación uniforme establece que si para todoentenemosentonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .}$

El teorema de Banach-Steinhaus no se limita a los espacios de Banach. Se puede extender, por ejemplo, al caso donde hay un espacio de Fréchet , siempre que la conclusión se modifique de la siguiente manera: bajo la misma hipótesis, existe una vecindad de in tal que todos los in están uniformemente acotados en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$

$${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$$

El teorema de mapeo abierto  :  seaysea espacios de Banach ysea un operador lineal continuo sobreyectivo, entonceses un mapa abierto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Corolario  :  todo operador lineal acotado uno a uno desde un espacio de Banach a un espacio de Banach es un isomorfismo.

El primer teorema del isomorfismo para espacios de Banach  :  supongamos que y son espacios de Banach y que Supongamos además que el rango de es cerrado Entonces es isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X).}$

Este resultado es una consecuencia directa del teorema del isomorfismo de Banach anterior y de la factorización canónica de aplicaciones lineales acotadas.

Corolario  :  si un espacio de Banach es la suma directa interna de subespacios cerrados, entonces es isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.}$

Esta es otra consecuencia del teorema del isomorfismo de Banach, aplicado a la biyección continua desde el envío hasta la suma. ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{n}}$ ${\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

El teorema del grafo cerrado  :  seauna aplicación lineal entre espacios de Banach. La gráfica dees cerrada siy sólo sies continua. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle T}$

Reflexividad

El espacio normado se llama reflexivo cuando el mapa natural ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Teorema  :  si es un espacio de Banach reflexivo, todo subespacio cerrado de y todo espacio cociente de son reflexivos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ésta es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach. Además, según el teorema de mapeo abierto, si hay un operador lineal acotado desde el espacio de Banach al espacio de Banach , entonces es reflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema  :  si es un espacio de Banach, entonces es reflexivo si y sólo si es reflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Corolario  :  Sea un espacio de Banach reflexivo. Entonces es separable si y sólo si es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

De hecho, si el dual de un espacio de Banach es separable, entonces es separable. Si es reflexivo y separable, entonces el dual de es separable, por lo que también lo es. ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Teorema  :  supongamos que son espacios normados y que Then es reflexivo si y sólo si cada uno es reflexivo. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$

Los espacios de Hilbert son reflexivos. Los espacios son reflexivos cuando. Más generalmente, los espacios uniformemente convexos son reflexivos, según el teorema de Milman-Pettis . Los espacios no son reflexivos. En estos ejemplos de espacios no reflexivos, el bidual es "mucho más grande" que. Es decir, según la incrustación isométrica natural de dada por el teorema de Hahn-Banach, el cociente es de dimensión infinita e incluso no separable. Sin embargo, Robert C. James ha construido un ejemplo ^[43] de un espacio no reflexivo, normalmente llamado " el espacio de James " y denotado por ^[44] tal que el cociente es unidimensional. Además, este espacio es isométricamente isomorfo a su bidual. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle J^{\prime \prime }/J}$ ${\displaystyle J}$

Teorema  :  un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria es compacta en la topología débil . ${\displaystyle X}$

Cuando es reflexivo, se deduce que todos los subconjuntos convexos cerrados y acotados de son débilmente compactos. En un espacio de Hilbert, la compacidad débil de la bola unitaria se usa muy a menudo de la siguiente manera: cada secuencia acotada tiene subsecuencias débilmente convergentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$

La débil compacidad de la bola unitaria proporciona una herramienta para encontrar soluciones en espacios reflexivos a ciertos problemas de optimización . Por ejemplo, toda función continua convexa en la bola unitaria de un espacio reflexivo alcanza su mínimo en algún punto de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Como caso especial del resultado anterior, ¿cuándo un espacio reflexivo sobre cada funcional lineal continuo alcanza su máximo en la bola unitaria de? El siguiente teorema de Robert C. James proporciona un enunciado inverso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema de James  :  para un espacio de Banach, las dos propiedades siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$es reflexivo.
• porque todo lo que hay ahí existe para que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1,}$ ${\displaystyle f(x)=\|f\|.}$

El teorema se puede ampliar para dar una caracterización de conjuntos convexos débilmente compactos.

En cada espacio de Banach no reflexivo existen funcionales lineales continuos que no cumplen con las normas . Sin embargo, el teorema de Bishop - Phelps ^[45] establece que los funcionales que alcanzan normas son densos en normas en el dual de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Convergencias débiles de secuencias.

Una secuencia en un espacio de Banach es débilmente convergente a un vector si converge a para cada funcional lineal continuo en el dual La secuencia es una secuencia débilmente de Cauchy si converge a un límite escalar para cada en Una secuencia en el dual es débilmente* convergente a un funcional si converge a para cada en Las secuencias débilmente de Cauchy, las secuencias débilmente convergentes y débilmente * convergentes están acotadas por normas, como consecuencia del teorema de Banach-Steinhaus . ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle L(f),,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando la secuencia en es una secuencia débil de Cauchy, el límite anterior define un funcional lineal acotado en el dual , es decir, un elemento del bidual de y es el límite de en la topología débil* del bidual. El espacio de Banach es débilmente secuencialmente completo si cada secuencia débilmente de Cauchy es débilmente convergente en. De la discusión anterior se deduce que los espacios reflexivos son débilmente secuencialmente completos. ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema ^[46]  -  Para cada medida, el espacio es débilmente secuencialmente completo. ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Una secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert es un ejemplo simple de una secuencia débilmente convergente, con límite igual al vector. La base del vector unitario de for o of es otro ejemplo de una secuencia débilmente nula , es decir, una secuencia que converge débilmente a. Para cada secuencia débilmente nula en un espacio de Banach, existe una secuencia de combinaciones convexas de vectores de la secuencia dada que es norma convergente a ^[47] ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

La base del vector unitario no es débilmente Cauchy. Las secuencias de Cauchy débilmente son débilmente convergentes, ya que los espacios -son débilmente secuencialmente completos. En realidad, las sucesiones débilmente convergentes son convergentes en normas. ^[48] ​​Esto significa que satisface la propiedad de Schur . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Resultados que involucran la base. ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Las secuencias débiles de Cauchy y la base son los casos opuestos de la dicotomía establecida en el siguiente resultado profundo de H. P. Rosenthal. ^[49] ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Teorema ^[50]  -  Sea una secuencia acotada en un espacio de Banach. Tiene una subsecuencia débil de Cauchy o admite una subsecuencia equivalente a la base del vector unitario estándar de ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Un complemento a este resultado se debe a Odell y Rosenthal (1975).

Teorema ^[51]  -  Sea un espacio de Banach separable. Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

• El espacio no contiene un subespacio cerrado isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
• Cada elemento del bidual es el límite débil* de una secuencia en ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Según el teorema de Goldstine, cada elemento de la bola unitaria de es débil*-límite de una red en la bola unitaria de Cuando no contiene todos los elementos de es débil*-límite de una secuencia en la bola unitaria de ^[52] ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando el espacio de Banach es separable, la bola unitaria del dual equipado con la topología débil* es un espacio compacto metrizable ^[35] y cada elemento del dual define una función acotada en : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.}$$

Esta función es continua para la topología compacta de si y sólo si en realidad se considera como un subconjunto de Supongamos que además para el resto del párrafo no contiene Por el resultado anterior de Odell y Rosenthal, la función es el límite puntual de una secuencia de funciones continuas en él es, por lo tanto, una función de primera clase de Baire en La bola unitaria del bidual es un subconjunto compacto puntual de la primera clase de Baire en ^[53] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}\subseteq X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$

Secuencias, compacidad débil y débil*

Cuando es separable, la bola unitaria del dual es débil*-compacta según el teorema de Banach-Alaoglu y metrizable para la topología débil*, ^[35] por lo tanto, cada secuencia acotada en el dual tiene subsecuencias débilmente* convergentes. Esto se aplica a los espacios reflexivos separables, pero en este caso hay más verdad, como se indica a continuación. ${\displaystyle X}$

La topología débil de un espacio de Banach es metrizable si y sólo si es de dimensión finita. ^[54] Si el dual es separable, la topología débil de la bola unitaria de es metrizable. Esto se aplica en particular a los espacios reflexivos de Banach separables. Aunque la topología débil de la bola unitaria no es metrizable en general, se puede caracterizar la compacidad débil utilizando secuencias. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Eberlein-Šmulian ^[55]  —  Un conjuntoen un espacio de Banach es relativamente débilmente compacto si y sólo si cada secuenciatieneuna subsecuencia débilmente convergente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle A}$

Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si cada secuencia acotada tiene una subsecuencia débilmente convergente. ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto débilmente compacto es norma-compacto. De hecho, cada secuencia en tiene subsecuencias débilmente convergentes según Eberlein-Šmulian, que son norma convergentes por la propiedad de Schur de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Tipo y cotipo

Una forma de clasificar los espacios de Banach es mediante la noción probabilística de tipo y cotipo , estos dos miden qué tan lejos está un espacio de Banach de un espacio de Hilbert.

bases schauder

Una base de Schauder en un espacio de Banach es una secuencia de vectores con la propiedad de que para cada vector existen escalares definidos de forma única dependiendo de tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$$

Los espacios de Banach con una base de Schauder son necesariamente separables , porque el conjunto contable de combinaciones lineales finitas con coeficientes racionales (digamos) es denso.

Del teorema de Banach-Steinhaus se deduce que las asignaciones lineales están uniformemente acotadas por alguna constante. Denotemos las coordenadas funcionales que se asignan a cada en la coordenada de en la expansión anterior. Se denominan funcionales biortogonales . Cuando los vectores base tienen norma, los funcionales de coordenadas tienen norma en el dual de ${\displaystyle \left\{P_{n}\right\}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle \,\leq 2C}$ ${\displaystyle X.}$

La mayoría de los espacios separables clásicos tienen bases explícitas. El sistema de Haar es una base para El sistema trigonométrico es una base en cuando El sistema Schauder es una base en el espacio ^[57] La ​​cuestión de si el álgebra de discos tiene una base ^[58] permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que admite una base construida a partir del sistema Franklin . ^[59] ${\displaystyle \left\{h_{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$

Dado que cada vector en un espacio de Banach con una base es el límite de un rango finito y está uniformemente acotado, el espacio satisface la propiedad de aproximación acotada . El primer ejemplo de Enflo de un espacio que no cumple la propiedad de aproximación fue al mismo tiempo el primer ejemplo de un espacio de Banach separable sin una base de Schauder. ^[60] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{n}(x),}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Robert C. James caracterizó la reflexividad en los espacios de Banach con una base: el espacio con una base de Schauder es reflexivo si y sólo si la base es a la vez menguante y acotadamente completa . ^[61] En este caso, los funcionales biortogonales forman una base del dual de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Producto tensorial

Sean y dos espacios vectoriales. El producto tensorial de y es un espacio vectorial con un mapeo bilineal que tiene la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$

Si hay algún mapeo bilineal en un espacio vectorial , entonces existe un mapeo lineal único tal que ${\displaystyle T_{1}:X\times Y\to Z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z_{1},}$ ${\displaystyle f:Z\to Z_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}=f\circ T.}$

La imagen debajo de una pareja en se denota por y se llama tensor simple . Cada elemento es una suma finita de tensores simples. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$

Hay varias normas que se pueden colocar en el producto tensorial de los espacios vectoriales subyacentes, entre otras, la norma cruzada proyectiva y la norma cruzada inyectiva introducidas por A. Grothendieck en 1955. ^[62]

En general, el producto tensorial de espacios completos no vuelve a estar completo. Cuando se trabaja con espacios de Banach, se acostumbra decir que el producto tensorial proyectivo ^[63] de dos espacios de Banach y es la compleción del producto tensorial algebraico equipado con la norma tensorial proyectiva, y de manera similar para el producto tensorial inyectivo ^[64] Grothendieck demostró en particular que ^[65] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K,Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1],Y)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y.}$

Productos tensoriales y la propiedad de aproximación.

Sea un espacio de Banach. El producto tensorial se identifica isométricamente con el cierre del conjunto de operadores de rango finito. Cuando tiene la propiedad de aproximación , este cierre coincide con el espacio de operadores compactos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Para cada espacio de Banach existe un mapa lineal de norma natural. ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$

problema de aproximación ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$

^[66] ${\displaystyle X}$

Grothendieck conjeturó que y deben ser diferentes siempre que y sean espacios de Banach de dimensión infinita. Esto fue refutado por Gilles Pisier en 1983. ^[67] Pisier construyó un espacio de Banach de dimensión infinita tal que y son iguales. Además, tal como en el ejemplo de Enflo , este espacio es un espacio "hecho a mano" que no tiene la propiedad de aproximación. Por otro lado, Szankowski demostró que el espacio clásico no tiene la propiedad de aproximación. ^[68] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\left(\ell ^{2}\right)}$

Algunos resultados de clasificación

Caracterizaciones del espacio de Hilbert entre los espacios de Banach.

Una condición necesaria y suficiente para que la norma de un espacio de Banach esté asociada a un producto interno es la identidad del paralelogramo : ${\displaystyle X}$

Identidad del paralelogramo  :  para todos ${\displaystyle x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).}$

De ello se deduce, por ejemplo, que el espacio de Lebesgue es un espacio de Hilbert sólo cuando Si se satisface esta identidad, el producto interno asociado viene dado por la identidad de polarización . En el caso de escalares reales, esto da: ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle p=2.}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Para escalares complejos, definir el producto interno de manera que sea -lineal o antilineal en la identidad de polarización da: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).}$$

Para ver que la ley del paralelogramo es suficiente, se observa en el caso real que es simétrico, y en el caso complejo, que satisface la propiedad de simetría hermitiana y La ley del paralelogramo implica que es aditiva en Se deduce que es lineal sobre los racionales , por tanto lineal por continuidad. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x.}$

Se encuentran disponibles varias caracterizaciones de espacios isomorfos (en lugar de isométricos) a los espacios de Hilbert. La ley del paralelogramo puede extenderse a más de dos vectores y debilitarse mediante la introducción de una desigualdad bilateral con una constante : Kwapień demostró que si ${\displaystyle c\geq 1}$

$${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}}$$

^[69]teorema de Parseval ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ave} _{\pm }}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1.}$

Lindenstrauss y Tzafriri demostraron que un espacio de Banach en el que todo subespacio lineal cerrado se complementa (es decir, es el rango de una proyección lineal acotada) es isomorfo a un espacio de Hilbert. ^[70] La prueba se basa en el teorema de Dvoretzky sobre las secciones euclidianas de cuerpos convexos centralmente simétricos de alta dimensión. En otras palabras, el teorema de Dvoretzky establece que para cada número entero, cualquier espacio normado de dimensión finita, con una dimensión suficientemente grande en comparación, contiene subespacios casi isométricos con respecto al espacio euclidiano de dimensión finita. ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

El siguiente resultado da la solución del llamado problema del espacio homogéneo . Se dice que un espacio de Banach de dimensión infinita es homogéneo si es isomorfo a todos sus subespacios cerrados de dimensión infinita. Un espacio de Banach isomorfo es homogéneo, y Banach pidió lo contrario. ^[71] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Teorema ^[72]  -  Un espacio de Banach isomorfo a todos sus subespacios cerrados de dimensión infinita es isomorfo a un espacio de Hilbert separable.

Un espacio de Banach de dimensión infinita es hereditariamente indescomponible cuando ningún subespacio del mismo puede ser isomorfo a la suma directa de dos espacios de Banach de dimensión infinita. El teorema de dicotomía de Gowers ^[72] afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene un subespacio con base incondicional o un subespacio hereditariamente indescomponible y, en particular, no es isomorfo a sus hiperplanos cerrados. ^[73] Si es homogéneo, debe, por tanto, tener una base incondicional. Se deduce entonces de la solución parcial obtenida por Komorowski y Tomczak–Jaegermann , para espacios con base incondicional, ^[74] que es isomorfa a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Clasificación métrica

Si hay una isometría del espacio de Banach al espacio de Banach (donde ambos y son espacios vectoriales sobre ), entonces el teorema de Mazur-Ulam establece que debe ser una transformación afín. En particular, si esto asigna el cero de al cero de entonces debe ser lineal. Este resultado implica que la métrica en los espacios de Banach, y más generalmente en los espacios normados, captura completamente su estructura lineal. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T}$

Clasificación topológica

Los espacios de Banach de dimensión finita son homeomórficos como espacios topológicos, si y sólo si tienen la misma dimensión que los espacios vectoriales reales.

El teorema de Anderson-Kadec (1965-66) demuestra ^{[75] que dos espacios de Banach} separables de dimensión infinita cualesquiera son homeomórficos como espacios topológicos. El teorema de Kadec fue ampliado por Torunczyk, quien demostró ^[76] que dos espacios de Banach cualesquiera son homeomorfos si y sólo si tienen el mismo carácter de densidad , la cardinalidad mínima de un subconjunto denso.

Espacios de funciones continuas

Cuando dos espacios compactos de Hausdorff y son homeomorfos , los espacios de Banach y son isométricos. Por el contrario, cuando no es homeomorfo a la distancia (multiplicativa) de Banach-Mazur entre y debe ser mayor o igual para ver arriba los resultados de Amir y Cambern. Aunque innumerables espacios métricos compactos pueden tener diferentes tipos de homeomorfia, se obtiene el siguiente resultado debido a Milutin: ^[77] ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2},}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle 2,}$

Teorema ^[78]  —  Sea un espacio métrico compacto incontable. Entonces es isomorfo a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$

La situación es diferente para espacios compactos de Hausdorff numerables e infinitos . Todo compacto numerable infinito es homeomorfo a algún intervalo cerrado de números ordinales ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$$

topología de orden^[79]C (⟨1, α ⟩)C (⟨1, α ⟩)C (⟨1, β ⟩)β < α ^ω[80] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta ,}$

$${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$$

Ejemplos

Glosario de símbolos de la siguiente tabla:

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$denota el campo de números reales o números complejos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle K}$Es un espacio compacto de Hausdorff .
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$son números reales que son conjugados de Hölder , lo que significa que satisfacen y por lo tanto también ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$ ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$es un -álgebra de conjuntos. ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \Xi }$es un álgebra de conjuntos (para espacios que solo requieren aditividad finita, como el espacio ba ).
• ${\displaystyle \mu }$es una medida con variación Una medida positiva es una función de conjunto positivo de valor real definida en un álgebra que es contablemente aditiva. ${\displaystyle |\mu |.}$ ${\displaystyle \sigma }$

Derivados

Se pueden definir varios conceptos de derivada en un espacio de Banach. Consulte los artículos sobre el derivado de Fréchet y el derivado de Gateaux para obtener más detalles. La derivada de Fréchet permite una extensión del concepto de derivada total a los espacios de Banach. La derivada de Gateaux permite una extensión de una derivada direccional a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux. La cuasiderivada es otra generalización de la derivada direccional que implica una condición más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, pero una condición más débil que la diferenciabilidad de Fréchet.

Generalizaciones

Varios espacios importantes en el análisis funcional, por ejemplo, el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables o el espacio de todas las distribuciones , están completos pero no son espacios vectoriales normados y, por tanto, no son espacios de Banach. En los espacios de Fréchet todavía se tiene una métrica completa , mientras que los espacios LF son espacios vectoriales uniformes completos que surgen como límites de los espacios de Fréchet. ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Ver también

• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con alguna estructura adicional
  • Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
  • Espacio resistente  : concepto dentro del análisis complejo
  • Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
  • Producto L-semi-interior  : generalización de productos interiores que se aplica a todos los espacios normados.
  • ${\displaystyle L^{p}}$espacio  - Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita
  • Espacio de Sobolev  - Espacio vectorial de funciones en matemáticas
  • Celosía de Banach  - Espacio de Banach con una estructura compatible de una celosía
• disco de banach
• Colector de Banach  - Colector modelado en espacios de Banach
  • Haz de Banach  : haz de vectores cuyas fibras forman espacios de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• problema de distorsión
• Espacio de interpolación
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Módulo y característica de convexidad.
• Espacio de Smith  : espacio completo generado de forma compacta localmente convexo que tiene un conjunto compacto universalPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía
• Espacio Tsirelson

Notas

1. Es común leer " es un espacio normado" ${\displaystyle X}$ en lugar de "es un espacio normado", más técnicamente correcto pero (normalmente) pedante, " es un espacio normado", ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ especialmente si la norma es bien conocida (por ejemplo, con espacios ) o cuando hay No hay necesidad particular de elegir una norma (equivalente) sobre cualquier otra (especialmente en la teoría más abstracta de los espacios vectoriales topológicos ), en cuyo caso a menudo se supone automáticamente que esta norma (si es necesario) se denota por Sin embargo, en situaciones donde el énfasis se coloca en la norma, es común verla escrita en lugar de La definición técnicamente correcta de espacios normados como pares también puede volverse importante en el contexto de la teoría de categorías donde la distinción entre las categorías de espacios normados, espacios normables , espacios métricos , TVS , espacios topológicos , etc. suele ser importante. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$
2. Esto significa que si la norma se reemplaza con una norma diferente , entonces no es el mismo espacio normado que ni siquiera si las normas son equivalentes. Sin embargo, la equivalencia de normas en un espacio vectorial dado forma una relación de equivalencia . ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),}$
3. que una métrica en un espacio vectorial es invariante de traducción si para todos los vectores. Esto sucede si y solo si para todos los vectores. Una métrica inducida por una norma siempre es invariante de traducción. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x+z,y+z)}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle D(x,y)=D(x-y,0)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. Porque para todos siempre es cierto que para todos Entonces, el orden de y en esta definición no importa. ${\displaystyle \|-z\|=\|z\|}$ ${\displaystyle z\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
5. Sea el espacio de Hilbert separable de secuencias cuadradas sumables con la norma habitual y sea la base ortonormal estándar (es decir, en la coordenada -). El conjunto cerrado es compacto (porque es secuencialmente compacto ) pero su casco convexo no es un conjunto cerrado porque pertenece al cierre de en pero (ya que cada secuencia es una combinación convexa finita de elementos de y así para todas menos un número finito de coordenadas, lo cual no es cierto para ). Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos completos de Hausdorff, el casco convexo cerrado de este subconjunto compacto es compacto. El subespacio vectorial es un espacio anterior a Hilbert cuando está dotado de la subestructura que el espacio de Hilbert induce en él pero no está completo y (desde ). El casco convexo cerrado de in (aquí, "cerrado" significa con respecto a y no a como antes) es igual a cual no es compacto (porque no es un subconjunto completo). Esto muestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no está completo, el casco convexo cerrado del subconjunto compacto podría no ser compacto (aunque será precompacto/totalmente acotado ). ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}:n=1,2,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z_{n}=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle K:={\overline {\operatorname {co} }}S}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \left\{e_{1},e_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle h\not \in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
6. Denotemos el espacio de Banach de funciones continuas con la norma suprema y denotemos la topología inducida por El espacio vectorial se puede identificar (a través del mapa de inclusión ) como un subespacio vectorial denso adecuado del espacio que satisface para todos . Denotemos la restricción. de la norma L 1 que hace que este mapa sea una norma (en general, la restricción de cualquier norma a cualquier subespacio vectorial necesariamente volverá a ser una norma). El espacio normado no es un espacio de Banach ya que su finalización es el superconjunto adecuado porque las reservas en el mapa son continuas. Pese a ello, la norma no es equivalente a la norma (porque es completa pero no lo es). ${\displaystyle \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle \tau _{\infty }}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }.}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right),}$ ${\displaystyle \|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }}$ ${\displaystyle f\in X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right).}$ ${\displaystyle p\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:\left(X,\tau _{\infty }\right)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
7. El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma en la línea real que induce la topología euclidiana habitual en Definir una métrica en por para todos Al igual que la métrica inducida  de , la métrica también induce la topología euclidiana habitual en Sin embargo , no es una métrica completa porque la secuencia definida por es una secuencia de -Cauchy pero no converge a ningún punto de Como consecuencia de no converger, esta secuencia de -Cauchy no puede ser una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una Secuencia de Cauchy con respecto a la norma ) porque si fuera -Cauchy, entonces el hecho de que sea un espacio de Banach implicaría que converge (una contradicción). Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–51 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}:=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$
8. El enunciado del teorema es: Sea cualquier métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por on se convierta en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo , entonces es un espacio vectorial topológico completo . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
9. No se supone que esta métrica sea invariante en la traducción. En particular, esta métrica ni siquiera tiene que ser inducida por una norma. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
10. Una norma (o seminorma ) en un espacio vectorial topológico es continua si y solo si la topología que induce es más basta que (es decir, ), lo que sucede si y solo si existe alguna bola abierta ( como tal vez por ejemplo) que esta abierto en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{p}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
11. denota el espacio dual continuo de Cuando está dotado de la topología de espacio dual fuerte , también llamada topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de , entonces esto se indica escribiendo (a veces, se usa el subíndice en lugar de ). Cuando es un espacio normado con norma entonces esta topología es igual a la topología inducida por la norma dual . De esta manera, la topología fuerte es una generalización de la topología dual inducida por normas habitual en ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. El hecho de que estar abierto implica que es continuo simplifica probar la continuidad porque esto significa que es suficiente mostrar que está abierto para y en (dónde ) en lugar de mostrar esto para todos los reales y todos. ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in X:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<r\}}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$

Referencias

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enlaces externos

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