Paquete de banach

En matemáticas , un fibrado de Banach es un fibrado vectorial cuyas fibras constituyen cada una de ellas un espacio de Banach , es decir, un espacio vectorial normado completo , posiblemente de dimensión infinita.

Definición de un haz de Banach

Sea M una variedad de Banach de clase C ^p con p ≥ 0, llamada espacio base ; sea E un espacio topológico , llamado espacio total ; sea π  : E → M una función continua sobreyectiva . Supóngase que para cada punto x ∈ M , a la fibra E _x = π ⁻¹ ( x ) se le ha dado la estructura de un espacio de Banach. Sea

${\displaystyle \{U_{i}|i\in I\}}$

sea ​​una cubierta abierta de M . Supóngase también que para cada i ∈ I , existe un espacio de Banach X _i y una función τ _i

${\displaystyle \tau _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times X_{i}}$

de tal manera que

• La función τ _i es un homeomorfismo que conmuta con la proyección sobre U _i , es decir, el siguiente diagrama conmuta :

y para cada x ∈ U _i la función inducida τ _ix en la fibra E _x

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X_{i}}$

es una función lineal continua invertible , es decir, un isomorfismo en la categoría de espacios vectoriales topológicos ;

• Si U _i y U _j son dos miembros de la cubierta abierta, entonces la función

${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\to \mathrm {Lin} (X_{i};X_{j})}$

${\displaystyle x\mapsto (\tau _{j}\circ \tau _{i}^{-1})_{x}}$

es un morfismo (un mapa diferenciable de clase C ^p ), donde Lin( X ; Y ) denota el espacio de todos los mapas lineales continuos de un espacio vectorial topológico X a otro espacio vectorial topológico Y .

La colección {( U _i , τ _i )| i ∈ I } se denomina recubrimiento trivializante para π  : E → M , y las funciones τ _i se denominan funciones trivializantes . Se dice que dos recubrimientos trivializantes son equivalentes si su unión satisface nuevamente las dos condiciones anteriores. Se dice que una clase de equivalencia de tales recubrimientos trivializantes determina la estructura de un fibrado de Banach en π  : E → M .

Si todos los espacios X _i son isomorfos como espacios vectoriales topológicos, entonces se puede suponer que todos son iguales al mismo espacio X . En este caso, se dice que π  : E → M es un fibrado de Banach con fibra X . Si M es un espacio conexo , entonces este es necesariamente el caso, ya que el conjunto de puntos x ∈ M para el cual hay una función trivializadora

${\displaystyle \tau _{ix}:\pi ^{-1}(x)\to X}$

Para un espacio dado X es al mismo tiempo abierto y cerrado .

En el caso de dimensión finita, la segunda condición anterior está implícita en la primera.

Ejemplos de paquetes de Banach

• Si V es cualquier espacio de Banach, el espacio tangente T _x V a V en cualquier punto x ∈ V es isomorfo de manera obvia al propio V. El fibrado tangente T V de V es entonces un fibrado de Banach con la proyección usual

${\displaystyle \pi :\mathrm {T} V\to V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto x.}$

Este paquete es "trivial" en el sentido de que T V admite un mapa trivializador definido globalmente: la función identidad

${\displaystyle \tau =\mathrm {id} :\pi ^{-1}(V)=\mathrm {T} V\to V\times V;}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v).}$

• Si M es cualquier variedad de Banach, el fibrado tangente T M de M forma un fibrado de Banach con respecto a la proyección usual, pero puede que no sea trivial.
• De manera similar, el fibrado cotangente T* M , cuya fibra sobre un punto x ∈ M es el espacio dual topológico al espacio tangente en x :

${\displaystyle \pi ^{-1}(x)=\mathrm {T} _{x}^{*}M=(\mathrm {T} _{x}M)^{*};}$

también forma un fibrado de Banach con respecto a la proyección habitual sobre M .

• Existe una conexión entre los espacios de Bochner y los fibrados de Banach. Considérese, por ejemplo, el espacio de Bochner X  =  L ²([0,  T ];  H ¹ (Ω)), que podría surgir como un objeto útil al estudiar la ecuación del calor en un dominio Ω. Se podrían buscar soluciones σ  ∈  X para la ecuación del calor; para cada tiempo t , σ ( t ) es una función en el espacio de Sobolev H ¹ (Ω). También se podría pensar en Y  = [0,  T ] ×  H ¹ (Ω), que como producto cartesiano también tiene la estructura de un fibrado de Banach sobre la variedad [0,  T ] con fibra H ¹ (Ω), en cuyo caso los elementos/soluciones σ  ∈  X son secciones transversales del fibrado Y de alguna regularidad especificada ( L ², de hecho). Si la geometría diferencial del problema en cuestión es particularmente relevante, el punto de vista del fibrado de Banach podría ser ventajoso.

Morfismos de los haces de Banach

La colección de todos los paquetes de Banach se puede convertir en una categoría definiendo morfismos apropiados.

Sean π  : E → M y π ′ : E ′ → M ′ dos fibrados de Banach. Un morfismo de fibrado de Banach del primer fibrado al segundo consta de un par de morfismos

${\displaystyle f_{0}:M\to M';}$

${\displaystyle f:E\to E'.}$

Que f sea un morfismo significa simplemente que f es una función continua de espacios topológicos. Si las variedades M y M ′ son ambas de clase C ^p , entonces el requisito de que f ₀ sea un morfismo es el requisito de que sea una función p -veces continuamente diferenciable . Se requiere que estos dos morfismos satisfagan dos condiciones (de nuevo, la segunda es redundante en el caso de dimensión finita):

• El diagrama

conmuta y, para cada x ∈ M , la función inducida

${\displaystyle f_{x}:E_{x}\to E'_{f_{0}(x)}}$

es un mapa lineal continuo;

• Para cada x ₀ ∈ M existen mapas trivializantes

${\displaystyle \tau :\pi ^{-1}(U)\to U\times X}$

${\displaystyle \tau ':\pi '^{-1}(U')\to U'\times X'}$

tal que x ₀ ∈ U , f ₀ ( x ₀ ) ∈ U ′,

${\displaystyle f_{0}(U)\subseteq U'}$

y el mapa

${\displaystyle U\to \mathrm {Lin} (X;X')}$

${\displaystyle x\mapsto \tau '_{f_{0}(x)}\circ f_{x}\circ \tau ^{-1}}$

es un morfismo (un mapa diferenciable de la clase C ^p ).

Retirada de un haz de Banach

Se puede tomar un fibrado de Banach sobre una variedad y utilizar la construcción de retroceso para definir un nuevo fibrado de Banach en una segunda variedad.

En concreto, sea π  : E → N un fibrado de Banach y f  : M → N una función diferenciable (como es habitual, todo es C ^p ). Entonces, el pull-back de π  : E → N es el fibrado de Banach f * π  : f * E → M que satisface las siguientes propiedades:

• para cada x ∈ M , ( f * E ) _x = E _{f ( x )} ;
• Hay un diagrama conmutativo

siendo el mapa horizontal superior la identidad de cada fibra;

• si E es trivial, es decir, igual a N × X para algún espacio de Banach X , entonces f * E también es trivial e igual a M × X , y

${\displaystyle f^{*}\pi :f^{*}E=M\times X\to M}$

es la proyección sobre la primera coordenada;

• si V es un subconjunto abierto de N y U = f ⁻¹ ( V ), entonces

${\displaystyle f^{*}(E_{V})=(f^{*}E)_{U}}$

y hay un diagrama conmutativo

donde los mapas en el "frente" y "atrás" son los mismos que los del diagrama anterior, y los mapas de "atrás" a "frente" son (inducidos por) las inclusiones.

Referencias

• Lang, Serge (1972). Variedades diferenciales . Reading, Mass.–Londres–Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.