Micropaquete

Generalización del concepto de fibrado vectorial

En matemáticas , un microfibrado es una generalización del concepto de fibrado vectorial , introducido por el matemático estadounidense John Milnor en 1964. ^[1] Permite la creación de objetos similares a fibrados en situaciones en las que normalmente no se pensaría que existieran. Por ejemplo, el fibrado tangente se define para una variedad lisa pero no para una variedad topológica ; el uso de microfibrados permite la definición de un fibrado tangente topológico .

Definición

Un microhaz (topológico) sobre un espacio topológico (el "espacio base") consta de una tripleta , donde es un espacio topológico (el "espacio total"), y son mapas continuos (respectivamente, la "sección cero" y el "mapa de proyección") tales que: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (E,i,p)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i:B\to E}$ ${\displaystyle p:E\to B}$

1. La composición es la identidad de ; ${\displaystyle p\circ i}$ ${\displaystyle B}$
2. para cada , hay un vecindario de y un vecindario de tal que , , es homeomorfo a y los mapas y conmutan con y . ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle V\subseteq E}$ ${\displaystyle i(b)}$ ${\displaystyle i(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle p(V)\subseteq U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p_{\mid V}:V\to U}$ ${\displaystyle i_{\mid U}:U\to V}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to U}$ ${\displaystyle U\to U\times \mathbb {R} ^{n},x\mapsto (x,0)}$

En analogía con los fibrados vectoriales, el entero también se denomina rango o dimensión de fibra del microhaz. De manera similar, observe que la primera condición sugiere que se debe pensar en la sección cero de un fibrado vectorial, mientras que la segunda imita la condición de trivialidad local en un fibrado. Una distinción importante aquí es que la "trivialidad local" para los microhaces solo se cumple cerca de un vecindario de la sección cero. El espacio podría verse muy descontrolado lejos de ese vecindario. Además, las funciones que unen parches localmente triviales del microhaz pueden superponerse solo a las fibras. ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle E}$

La definición de microhaz puede adaptarse a otras categorías más generales que la suave , como la de variedades lineales por partes , reemplazando espacios topológicos y aplicaciones continuas por objetos y morfismos adecuados.

Ejemplos

• Cualquier fibrado vectorial de rango tiene un microfibrado subyacente obvio , donde es la sección cero. ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$
• Dado cualquier espacio topológico , el producto cartesiano (junto con la proyección sobre y la función ) define un -microfibrado, llamado microfibrado trivial estándar de rango . De manera equivalente, es el microfibrado subyacente del fibrado vectorial trivial de rango . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Dada una variedad topológica de dimensión , el producto cartesiano junto con la proyección sobre el primer componente y la función diagonal define un -microhaz, llamado microhaz tangente de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \Delta :M\to M\times M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$
• Dado un -microhaz sobre y una función continua , el espacio define un -microhaz sobre , llamado microhaz de pullback (o inducido) por , junto con la proyección y la sección cero . Si es un fibrado vectorial, el microhaz de pullback de su microhaz subyacente es precisamente el microhaz subyacente del fibrado de pullback estándar . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (E,i,p)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f^{*}E:=\{(a,e)\in A\times E\mid f(a)=p(e)\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:=\mathrm {pr} _{1}:f^{*}E\to A}$ ${\displaystyle i:A\to f^{*}E,x\mapsto (x,(i\circ f)(x))}$ ${\displaystyle p:E\to B}$
• Dado un -microhaz sobre y un subespacio , el microhaz restringido , también denotado por , es el microhaz de retroceso con respecto a la inclusión . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (E,i,p)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{\mid A}=p^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A\hookrightarrow B}$

Morfismos

Dos microhaces y sobre el mismo espacio son isomorfos (o equivalentes) si existe un entorno de y un entorno de , junto con un homeomorfismo que conmuta con las proyecciones y las secciones cero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (E_{1},i_{1},p_{1})}$ ${\displaystyle (E_{2},i_{2},p_{2})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V_{1}\subseteq E_{1}}$ ${\displaystyle i_{1}(B)}$ ${\displaystyle V_{2}\subseteq E_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}(B)}$ ${\displaystyle V_{1}\cong V_{2}}$

De manera más general, un morfismo entre microhaces consiste en un germen de mapas continuos entre vecindades de las secciones cero como se indicó anteriormente. ${\displaystyle V_{1}\to V_{2}}$

Un microhaz se denomina trivial si es isomorfo al microhaz trivial estándar de rango . Por lo tanto, la condición de trivialidad local en la definición de microhaz se puede reformular de la siguiente manera: para cada hay un entorno tal que la restricción es trivial. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle U\subseteq B}$ ${\displaystyle E_{\mid U}}$

De manera análoga a las variedades suaves paralelizables , una variedad topológica se denomina topológicamente paralelizable si su microhaz tangente es trivial.

Propiedades

Un teorema de James Kister y Barry Mazur establece que existe un entorno de la sección cero que es en realidad un haz de fibras con un grupo de fibras y estructura , el grupo de homeomorfismos de fijación del origen. Este entorno es único hasta la isotopía . Por lo tanto, cada microhaz puede refinarse hasta convertirse en un haz de fibras real de una manera esencialmente única. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (\mathbb {R} ^{n},0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Tomando el fibrado contenido en el microfibrado tangente se obtiene el fibrado tangente topológico . Intuitivamente, este fibrado se obtiene tomando un sistema de pequeños gráficos para , dejando que cada gráfico tenga una fibra sobre cada punto del gráfico y pegando estos fibrados triviales entre sí superponiendo las fibras según los mapas de transición. ${\displaystyle (M\times M,\Delta ,\mathrm {pr} )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

La teoría de microhaces es una parte integral del trabajo de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann sobre estructuras suaves y estructuras PL en variedades de dimensiones superiores . ^[3]

Referencias

1. Milnor, John Willard (1964). "Microhaces. I". Topología . 3 : 53–80. doi :10.1016/0040-9383(64)90005-9. MR  0161346.
2. Kister, James M. (1964). "Los microhaces son haces de fibras". Anales de Matemáticas . 80 (1): 190–199. doi :10.2307/1970498. JSTOR  1970498. MR  0180986.
3. Kirby, Robion C. ; Siebenmann, Laurent C. (1977). Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas, suavizaciones y triangulaciones (PDF) . Anales de estudios matemáticos. Vol. 88. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08191-3.Sr. 0645390  .

• Gauld, David; Greenwood, Sina (2000). "Microhaces, variedades y metrisabilidad". Actas de la American Mathematical Society . 128 (9): 2801–2808. doi : 10.1090/s0002-9939-00-05343-0 . MR  1664358.
• Switzer, Robert M. (2002). Topología algebraica: homotopía y homología . Classics in Mathematics. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-42750-6.Señor 1886843  .Véase el capítulo 14.

Enlaces externos

• Microhaz en el Atlas de Manifold.