Función Baire

En matemáticas , las funciones de Baire son funciones obtenidas a partir de funciones continuas mediante iteración transfinita de la operación de formación de límites puntuales de sucesiones de funciones. Fueron introducidas por René-Louis Baire en 1899. Un conjunto de Baire es un conjunto cuya función característica es una función de Baire.

Clasificación de las funciones de Baire

Las funciones de Baire de clase α, para cualquier número ordinal contable α, forman un espacio vectorial de funciones de valor real definidas en un espacio topológico , de la siguiente manera. ^[1]

• Las funciones de clase 0 de Baire son las funciones continuas .
• Las funciones de clase 1 de Baire son aquellas funciones que son el límite puntual de una secuencia de funciones de clase 0 de Baire.
• En general, las funciones α de la clase Baire son todas las funciones que son el límite puntual de una secuencia de funciones de la clase Baire menores que α.

Algunos autores definen las clases de forma ligeramente diferente, eliminando todas las funciones de clase menor que α de las funciones de clase α. Esto significa que cada función de Baire tiene una clase bien definida, pero las funciones de una clase determinada ya no forman un espacio vectorial.

Henri Lebesgue demostró que (para funciones en el intervalo unitario ) cada clase de Baire de un número ordinal contable contiene funciones que no están en ninguna clase menor, y que existen funciones que no están en ninguna clase de Baire.

Clase 1 de Baire

Ejemplos:

• La derivada de cualquier función diferenciable es de clase 1. Un ejemplo de una función diferenciable cuya derivada no es continua (en x  = 0) es la función igual a cuando x  ≠ 0, y 0 cuando x  = 0. Una suma infinita de funciones similares (escaladas y desplazadas por números racionales ) puede incluso dar una función diferenciable cuya derivada es discontinua en un conjunto denso. Sin embargo, necesariamente tiene puntos de continuidad, lo que se deduce fácilmente del Teorema de caracterización de Baire (a continuación; tomemos K  =  X  =  R ). ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$
• Función característica del conjunto de números enteros , que es igual a 1 si x es un número entero y a 0 en caso contrario. (Un número infinito de grandes discontinuidades).
• Función de Thomae , que es 0 para x irracional y 1/ q para un número racional p / q (en forma reducida). (Un conjunto denso de discontinuidades, es decir, el conjunto de números racionales).
• Función característica del conjunto de Cantor , que es igual a 1 si x está en el conjunto de Cantor y 0 en caso contrario. Esta función es 0 para un conjunto incontable de valores x y 1 para un conjunto incontable. Es discontinua siempre que sea igual a 1 y continua siempre que sea igual a 0. Se aproxima mediante las funciones continuas , donde es la distancia de x al punto más cercano en el conjunto de Cantor. ${\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})}$ ${\displaystyle d(x,C)}$

El teorema de caracterización de Baire establece que una función de valor real f definida en un espacio de Banach X es una función Baire-1 si y solo si para cada subconjunto cerrado no vacío K de X , la restricción de f a K tiene un punto de continuidad relativo a la topología de K .

Por otro teorema de Baire, para cada función Baire-1 los puntos de continuidad son un conjunto comeager G δ (Kechris 1995, Teorema (24.14)).

Clase 2 de Baire

Un ejemplo de una función de clase 2 de Baire en el intervalo [0,1] que no es de clase 1 es la función característica de los números racionales, , también conocida como función de Dirichlet , que es discontinua en todas partes . ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }}$

Prueba

Presentamos dos pruebas.

1. Esto se puede ver al notar que para cualquier colección finita de racionales, la función característica para este conjunto es Baire 1: es decir, la función converge de manera idéntica a la función característica de , donde es la colección finita de racionales. Dado que los racionales son contables, podemos observar el límite puntual de estas cosas sobre , donde es una enumeración de los racionales. No es Baire-1 por el teorema mencionado anteriormente: el conjunto de discontinuidades es el intervalo completo (ciertamente, el conjunto de puntos de continuidad no es comeager). ${\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,K)})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}}$ ${\displaystyle r_{n}}$
2. La función de Dirichlet se puede construir como el límite doble puntual de una secuencia de funciones continuas, de la siguiente manera:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \chi _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$

para los números enteros j y k .

Véase también

• Conjunto Baire
• Función continua en ninguna parte

Referencias

En línea

1. Jech, Thomas (noviembre de 1981). "El nuevo mundo feliz de la determinación". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 5 (3): 339–349.

General

• Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.) (en francés). Escuela Normal Superior.
• Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France (en francés), Gauthier-Villars
• Kechris, Alexander S. (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 156, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4612-8692-9

Enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas de Springer sobre las clases de Baire