En matemáticas , más específicamente en teoría de la medida , los conjuntos de Baire forman un σ-álgebra de un espacio topológico que evita algunas de las propiedades patológicas de los conjuntos de Borel .
Existen varias definiciones no equivalentes de conjuntos de Baire, pero en la más utilizada, los conjuntos de Baire de un espacio de Hausdorff localmente compacto forman la σ-álgebra más pequeña tal que todas las funciones continuas soportadas de forma compacta son medibles . Por lo tanto, las medidas definidas en esta σ-álgebra, llamadas medidas de Baire , son un marco conveniente para la integración en espacios de Hausdorff localmente compactos. En particular, cualquier función continua soportada de forma compacta en dicho espacio es integrable con respecto a cualquier medida finita de Baire.
Todo conjunto de Baire es un conjunto de Borel . Lo contrario se cumple en muchos espacios topológicos, pero no en todos. Los conjuntos de Baire evitan algunas propiedades patológicas de los conjuntos de Borel en espacios sin una base contable para la topología. En la práctica, el uso de medidas de Baire en los lances de Baire a menudo puede sustituirse por el uso de medidas de Borel regulares en los lances de Borel.
Los conjuntos de Baire fueron introducidos por Kunihiko Kodaira (1941, Definición 4), Shizuo Kakutani y Kunihiko Kodaira (1944) y Halmos (1950, página 220), quienes los nombraron según las funciones de Baire , que a su vez llevan el nombre de René-Louis Baire .
Hay al menos tres definiciones no equivalentes de conjuntos de Baire en espacios de Hausdorff localmente compactos, e incluso más definiciones para espacios topológicos generales, aunque todas estas definiciones son equivalentes para espacios de Hausdorff σ-compactos localmente compactos . Además, algunos autores agregan restricciones al espacio topológico en el que se definen los conjuntos de Baire, y solo definen conjuntos de Baire en espacios que son Hausdorff compacto, o Hausdorff localmente compacto, o σ-compacto.
Kunihiko Kodaira definió [1] lo que llamamos conjuntos de Baire (aunque los llama confusamente "conjuntos de Borel") de ciertos espacios topológicos como los conjuntos cuya función característica es una función de Baire (la clase más pequeña de funciones que contiene todas las funciones continuas de valor real y cerrado bajo límites puntuales de secuencias). Dudley (1989, Sección 7.1) da una definición equivalente y define los conjuntos de Baire de un espacio topológico como elementos del σ-álgebra más pequeño de modo que todas las funciones continuas de valores reales sean mensurables. Para espacios de Hausdorff localmente compactos σ-compactos, esto es equivalente a las siguientes definiciones, pero en general las definiciones no son equivalentes.
Por el contrario, las funciones de Baire son exactamente las funciones de valor real que Baire puede medir. Para espacios métricos, los conjuntos de Baire coinciden con los conjuntos de Borel. [2]
Halmos (1950, página 220) definió los conjuntos de Baire de un espacio de Hausdorff localmente compacto como los elementos del anillo σ generado por los conjuntos compactos G δ . Esta definición ya no se utiliza mucho, ya que los anillos σ están algo pasados de moda. Cuando el espacio es σ-compacto, esta definición es equivalente a la siguiente definición.
Una razón para trabajar con conjuntos G δ compactos en lugar de conjuntos G δ cerrados es que las medidas de Baire son automáticamente regulares (Halmos 1950, teorema G página 228).
La tercera y más utilizada definición es similar a la definición de Halmos, modificada para que los conjuntos de Baire formen un σ-álgebra en lugar de solo un σ-anillo.
Un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Baire si es miembro del álgebra σ más pequeña que contiene todos los conjuntos compactos G δ . En otras palabras, el σ–álgebra de conjuntos de Baire es el σ–álgebra generado por todas aquellas intersecciones de un número contable de conjuntos abiertos que producen un conjunto compacto. Alternativamente, los conjuntos de Baire forman el σ-álgebra más pequeño de modo que todas las funciones continuas de soporte compacto sean medibles (al menos en espacios de Hausdorff localmente compactos; en espacios topológicos generales estas dos condiciones no necesitan ser equivalentes).
Para espacios σ-compactos esto es equivalente a la definición de Halmos. Para espacios que no son σ-compactos, los conjuntos de Baire según esta definición son aquellos según la definición de Halmos junto con sus complementos. Sin embargo, en este caso ya no es cierto que una medida de Baire finita sea necesariamente regular: por ejemplo, la medida de probabilidad de Baire que asigna la medida 0 a cada subconjunto contable de un espacio discreto incontable y la medida 1 a cada subconjunto contable es una Medida de probabilidad de Baire que no es regular.
Para espacios topológicos de Hausdorff localmente compactos que no son σ-compactos, las tres definiciones anteriores no necesitan ser equivalentes.
Un espacio topológico discreto es localmente compacto y Hausdorff. Cualquier función definida en un espacio discreto es continua y, por tanto, según la primera definición, todos los subconjuntos de un espacio discreto son Baire. Sin embargo, dado que los subespacios compactos de un espacio discreto son precisamente los subespacios finitos, los conjuntos de Baire, según la segunda definición, son precisamente los conjuntos como máximo contables , mientras que según la tercera definición los conjuntos de Baire son los conjuntos como máximo contables y sus complementos. Por tanto, las tres definiciones no son equivalentes en un espacio discreto incontable.
Para espacios que no son de Hausdorff, las definiciones de conjuntos de Baire en términos de funciones continuas no necesitan ser equivalentes a definiciones que involucran conjuntos compactos G δ . Por ejemplo, si X es un conjunto contable infinito cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos finitos y el espacio completo, entonces las únicas funciones reales continuas en X son constantes, pero todos los subconjuntos de X están en el álgebra σ generada por G cerrado compacto δ conjuntos.
En un producto cartesiano de incontables espacios compactos de Hausdorff con más de un punto, un punto nunca es un conjunto de Baire, a pesar de que es cerrado, y por tanto un conjunto de Borel. [3]
Los conjuntos de Baire coinciden con los conjuntos de Borel en espacios euclidianos .
Para cada espacio compacto de Hausdorff, cada medida finita de Baire (es decir, una medida en el álgebra σ de todos los conjuntos de Baire) es regular . [4]
Para cada espacio compacto de Hausdorff, cada medida finita de Baire tiene una extensión única a una medida regular de Borel. [5]
El teorema de extensión de Kolmogorov establece que cada colección consistente de distribuciones de probabilidad de dimensión finita conduce a una medida de Baire en el espacio de funciones. [6] Suponiendo compacidad (del espacio dado, y por lo tanto también del espacio funcional ), se puede extender a una medida de Borel regular. Una vez completado, se obtiene un espacio de probabilidad que no es necesariamente estándar . [7]