Función continua en ninguna parte

Función que no es continua en ningún punto de su dominio.

En matemáticas , una función continua en ninguna parte , también llamada función discontinua en todas partes , es una función que no es continua en ningún punto de su dominio . Si es una función de números reales a números reales, entonces no es continua si para cada punto hay algo tal que para cada podamos encontrar un punto tal que y . Por lo tanto, no importa qué tan cerca se acerque a cualquier punto fijo, hay puntos aún más cercanos en los que la función toma valores no cercanos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ ${\displaystyle |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon }$

Se pueden obtener definiciones más generales de este tipo de función, reemplazando el valor absoluto por la función de distancia en un espacio métrico , o usando la definición de continuidad en un espacio topológico .

Ejemplos

función de dirichlet

Un ejemplo de tal función es la función indicadora de los números racionales , también conocida como función de Dirichlet . Esta función se denota como y tiene dominio y codominio, ambos iguales a los números reales . Por definición, es igual a si es un número racional y lo es si no lo es. ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$

De manera más general, si cualquier subconjunto de un espacio topológico es tal que ambos y el complemento de son densos en entonces la función de valor real que toma el valor en y en el complemento de no será continua en ninguna parte. Las funciones de este tipo fueron investigadas originalmente por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^[1] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$

Funciones aditivas no triviales

Una función se llama función aditiva si satisface la ecuación funcional de Cauchy : por ejemplo, cada aplicación de forma donde hay alguna constante es aditiva (de hecho, es lineal y continua). Además, todo mapa lineal tiene esta forma (tomando ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} .}$$ ${\displaystyle x\mapsto cx,}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c:=L(1)}$

Aunque todo mapa lineal es aditivo, no todos los mapas aditivos son lineales. Una aplicación aditiva es lineal si y sólo si existe un punto en el que es continua, en cuyo caso es continua en todas partes. En consecuencia, toda función aditiva no lineal es discontinua en cada punto de su dominio. Sin embargo, la restricción de cualquier función aditiva a cualquier múltiplo escalar real de los números racionales es continua; explícitamente, esto significa que para cada real la restricción al conjunto es una función continua. Por lo tanto, si es una función aditiva no lineal, entonces para cada punto es discontinua en pero también está contenida en algún subconjunto denso cuya restricción es continua (específicamente, tome if y tome if ). ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\,\mathbb {Q} :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x=0}$

Mapas lineales discontinuos

Un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos , como espacios normados , por ejemplo, es continuo (en todas partes) si y sólo si existe un punto en el que es continuo, en cuyo caso es incluso uniformemente continuo . En consecuencia, todo mapa lineal es continuo en todas partes o continuo en ninguna parte. Cada funcional lineal es un mapa lineal y en cada espacio normado de dimensión infinita, existe algún funcional lineal discontinuo .

Otras funciones

La función Conway base 13 es discontinua en todos los puntos.

Caracterización hiperreal

Una función real no es continua en ninguna parte si su extensión hiperreal natural tiene la propiedad de que cada es infinitamente cercano a tal que la diferencia es apreciable (es decir, no infinitesimal ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)-f(y)}$

Ver también

• Teorema de Blumberg  : incluso si una función real no es continua en ninguna parte, existe un subconjunto denso de tal que la restricción de a es continua. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$
• Función de Thomae (también conocida como función palomitas de maíz): una función que es continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los números racionales.
• Función de Weierstrass  : una función continua en todas partes (dentro de su dominio) y no diferenciable en ninguna parte.

Referencias

1. Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829). "Sobre la convergencia de series trigonométricas que sirven para representar una función arbitraria entre los límites de los données". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 4 : 157–169.

enlaces externos

• "Función de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Función de Dirichlet - de MathWorld
• La función de Dirichlet modificada Archivado el 2 de mayo de 2019 en Wayback Machine por George Beck, The Wolfram Demonstrations Project .