Teorema de Goldstine

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, el teorema de Goldstine , llamado así en honor a Herman Goldstine , se enuncia de la siguiente manera:

Teorema de Goldstine. Sea un espacio de Banach , entonces la imagen de la esfera unitaria cerrada bajo la incrustación canónica en la esfera unitaria cerrada del espacio bidual es un subconjunto débil* -denso . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$

La conclusión del teorema no es cierta para la topología norma, lo que se puede ver considerando el espacio de Banach de secuencias reales que convergen a cero, el espacio c0 y su espacio bi-dual Lp. ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Prueba

Lema

Para todos y existe tal que para todos ${\displaystyle x^{\prime \prime }\in B^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle x\in (1+\delta )B}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i})}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$

Prueba del lema

Por la sobreyectividad de es posible encontrar con para $${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :X\to \mathbb {C} ^{n},\\x\mapsto \left(\varphi _{1}(x),\cdots ,\varphi _{n}(x)\right)\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i})}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$

Ahora vamos $${\displaystyle Y:=\bigcap _{i}\ker \varphi _{i}=\ker \Phi .}$$

Cada elemento de satisface y por lo tanto es suficiente demostrar que la intersección no está vacía. ${\displaystyle z\in (x+Y)\cap (1+\delta )B}$ ${\displaystyle z\in (1+\delta )B}$ ${\displaystyle \varphi _{i}(z)=\varphi _{i}(x)=x^{\prime \prime }(\varphi _{i}),}$

Supongamos por contradicción que está vacía. Entonces y por el teorema de Hahn-Banach existe una forma lineal tal que y Entonces ^[1] y por lo tanto lo cual es una contradicción. ${\displaystyle \operatorname {dist} (x,Y)\geq 1+\delta }$ ${\displaystyle \varphi \in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \varphi {\big \vert }_{Y}=0,\varphi (x)\geq 1+\delta }$ ${\displaystyle \|\varphi \|_{X^{\prime }}=1.}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {span} \left\{\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right\}}$ $${\displaystyle 1+\delta \leq \varphi (x)=x^{\prime \prime }(\varphi )\leq \|\varphi \|_{X^{\prime }}\left\|x^{\prime \prime }\right\|_{X^{\prime \prime }}\leq 1,}$$

Prueba del teorema

Arreglar y examinar el conjunto ${\displaystyle x^{\prime \prime }\in B^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$ $${\displaystyle U:=\left\{y^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:|(x^{\prime \prime }-y^{\prime \prime })(\varphi _{i})|<\epsilon ,1\leq i\leq n\right\}.}$$

Sea la incrustación definida por donde es la evaluación en el mapa. Los conjuntos de la forma forman una base para la topología débil*, ^[2] por lo que la densidad se deduce una vez que se muestra para todos tales El lema anterior dice que para cualquier existe un tal que y en particular Dado que tenemos Podemos escalar para obtener El objetivo es mostrar que para un suficientemente pequeño tenemos ${\displaystyle J:X\rightarrow X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle J(x)={\text{Ev}}_{x},}$ ${\displaystyle {\text{Ev}}_{x}(\varphi )=\varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle J(B)\cap U\neq \varnothing }$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x\in (1+\delta )B}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }(\varphi _{i})=\varphi _{i}(x),}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n,}$ ${\displaystyle {\text{Ev}}_{x}\in U.}$ ${\displaystyle J(B)\subset B^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle {\text{Ev}}_{x}\in (1+\delta )J(B)\cap U.}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B).}$ ${\displaystyle \delta >0,}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B)\cap U.}$

Comprobando directamente, se tiene $${\displaystyle \left|\left[x^{\prime \prime }-{\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\right](\varphi _{i})\right|=\left|\varphi _{i}(x)-{\frac {1}{1+\delta }}\varphi _{i}(x)\right|={\frac {\delta }{1+\delta }}|\varphi _{i}(x)|.}$$

Nótese que uno puede elegir lo suficientemente grande para que para ^[3] Nótese también que si uno elige de modo que entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\leq M}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$ ${\displaystyle \|x\|_{X}\leq (1+\delta ).}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta M<\epsilon ,}$ $${\displaystyle {\frac {\delta }{1+\delta }}\left|\varphi _{i}(x)\right|\leq {\frac {\delta }{1+\delta }}\|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\|x\|_{X}\leq \delta \|\varphi _{i}\|_{X^{\prime }}\leq \delta M<\epsilon .}$$

De esta manera se obtiene lo que se desea. ${\displaystyle {\frac {1}{1+\delta }}{\text{Ev}}_{x}\in J(B)\cap U}$

Véase también

• Teorema de Banach-Alaoglu  – Teorema en análisis funcional
• Teorema de Bishop-Phelps
• Teorema de Eberlein-Šmulian  : relaciona tres tipos diferentes de compacidad débil en un espacio de Banach
• Teorema de James  – teorema en matemáticasPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Lema de Mazur  – Sobre combinaciones fuertemente convergentes de una secuencia débilmente convergente en un espacio de Banach

Referencias

1. Rudin, Walter. Análisis funcional (segunda ed.). Lema 3.9. págs. 63–64.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
2. Rudin, Walter. Análisis funcional (segunda edición). Ecuación (3) y la observación posterior. p. 69.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
3. Folland, Gerald. Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones (segunda edición). Proposición 5.2. págs. 153-154.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .