Teorema de Dvoretzky

En matemáticas , el teorema de Dvoretzky es un importante teorema estructural sobre espacios vectoriales normados demostrado por Aryeh Dvoretzky a principios de la década de 1960, ^[1] respondiendo a una pregunta de Alexander Grothendieck . En esencia, dice que todo espacio vectorial normado de dimensión suficientemente alta tendrá subespacios de dimensión baja que son aproximadamente euclidianos . De manera equivalente, todo conjunto convexo simétrico acotado de dimensión alta tiene secciones de dimensión baja que son aproximadamente elipsoides .

Una nueva prueba encontrada por Vitali Milman en la década de 1970 ^[2] fue uno de los puntos de partida para el desarrollo del análisis geométrico asintótico (también llamado análisis funcional asintótico o teoría local de los espacios de Banach ). ^[3]

Formulaciones originales

Para cada número natural k  ∈  N y cada ε  > 0 existe un número natural N ( k ,  ε ) ∈  N tal que si ( X , ‖·‖) es cualquier espacio normado de dimensión N ( k ,  ε ), existe un subespacio E  ⊂  X de dimensión k y una forma cuadrática definida positiva Q en E tal que la norma euclidiana correspondiente

${\displaystyle |\cdot |={\sqrt {Q(\cdot )}}}$

en E satisface:

${\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{for every}}\ x\in E.}$

En términos de la distancia multiplicativa de Banach-Mazur d, la conclusión del teorema se puede formular como:

${\displaystyle d(E,\ \ell _{k}^{2})\leq 1+\varepsilon }$

donde denota el espacio euclidiano estándar de dimensión k . ${\displaystyle \ell _{k}^{2}}$

Dado que la bola unitaria de cada espacio vectorial normado es un conjunto acotado, simétrico y convexo, y la bola unitaria de cada espacio euclidiano es un elipsoide, el teorema también puede formularse como un enunciado sobre las secciones elipsoidales de conjuntos convexos.

Desarrollos futuros

En 1971, Vitali Milman dio una nueva prueba del teorema de Dvoretzky, haciendo uso de la concentración de la medida en la esfera para mostrar que un subespacio aleatorio de dimensión k satisface la desigualdad anterior con una probabilidad muy cercana a 1. La prueba da la dependencia aguda de k :

${\displaystyle N(k,\varepsilon )\leq \exp(C(\varepsilon )k)}$

donde la constante C ( ε ) sólo depende de ε .

Podemos entonces afirmar: para cada ε  > 0 existe una constante C(ε) > 0 tal que para cada espacio normado ( X , ‖·‖) de dimensión N , existe un subespacio E  ⊂  X de dimensión k  ≥  C ( ε ) log  N y una norma euclidiana |⋅| en E tal que

${\displaystyle |x|\leq \|x\|\leq (1+\varepsilon )|x|\quad {\text{for every}}\ x\in E.}$

Más precisamente, sea S ^{N  − 1} la esfera unitaria con respecto a alguna estructura euclidiana Q en X , y sea σ la medida de probabilidad invariante en S ^{N  − 1} . Entonces:

• existe tal subespacio E con

${\displaystyle k=\dim E\geq C(\varepsilon )\,\left({\frac {\int _{S^{N-1}}\|\xi \|\,d\sigma (\xi )}{\max _{\xi \in S^{N-1}}\|\xi \|}}\right)^{2}\,N.}$

• Para cualquier X se puede elegir Q de modo que el término entre paréntesis sea como máximo

${\displaystyle c_{1}{\sqrt {\frac {\log N}{N}}}.}$

Aquí c ₁ es una constante universal. Para X y ε dados , el k más grande posible se denota k _* ( X ) y se denomina dimensión Dvoretzky de X .

La dependencia de ε fue estudiada por Yehoram Gordon, ^{[4] [5]} quien demostró que k _* ( X ) ≥  c ₂  ε ²  log  N . Otra prueba de este resultado fue dada por Gideon Schechtman . ^[6]

Noga Alon y Vitali Milman demostraron que el límite logarítmico de la dimensión del subespacio en el teorema de Dvoretzky se puede mejorar significativamente, si uno está dispuesto a aceptar un subespacio que sea cercano a un espacio euclidiano o a un espacio de Chebyshev . Específicamente, para alguna constante c , cada espacio n -dimensional tiene un subespacio de dimensión k  ≥ exp( c √ log  N ) que es cercano a ℓ^k2
_​o a ℓ^k∞
_​. ^[7]

Tadeusz Figiel , Joram Lindenstrauss y Milman demostraron resultados importantes relacionados . ^[8]

Referencias

1. Dvoretzky, A. (1961). "Algunos resultados sobre cuerpos convexos y espacios de Banach". Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalén, 1960) . Jerusalén: Jerusalem Academic Press. pp. 123–160.
2. Milman, VD (1971). "Una nueva demostración del teorema de A. Dvoretzky sobre secciones transversales de cuerpos convexos". Funkcional. Anal. I Prilozhen. (en ruso). 5 (4): 28–37.
3. Gowers, WT (2000). "Las dos culturas de las matemáticas". Matemáticas: fronteras y perspectivas . Providence, RI: Amer. Math. Soc. pp. 65–78. ISBN 978-0-8218-2070-4. El significado completo de la concentración de la medida fue comprendido por primera vez por Vitali Milman en su prueba revolucionaria [Mil1971] del teorema de Dvoretzky... El teorema de Dvoretzky, especialmente como lo demostró Milman, es un hito en la teoría local (es decir, de dimensión finita) de los espacios de Banach. Si bien siento pena por un matemático que no puede ver su atractivo intrínseco, este atractivo por sí solo no explica la enorme influencia que ha tenido la prueba, mucho más allá de la teoría del espacio de Banach, como resultado de plantar la idea de la concentración de la medida en las mentes de muchos matemáticos. Se han publicado enormes cantidades de artículos que explotan esta idea o brindan nuevas técnicas para demostrar que se cumple.
4. Gordon, Y. (1985). "Algunas desigualdades para procesos gaussianos y aplicaciones". Revista israelí de matemáticas . 50 (4): 265–289. doi :10.1007/bf02759761.
5. Gordon, Y. (1988). "Procesos gaussianos y secciones casi esféricas de cuerpos convexos". Anales de probabilidad . 16 (1): 180–188. doi : 10.1214/aop/1176991893 .
6. Schechtman, G. (1989). "Una observación sobre la dependencia de ε en el teorema de Dvoretzky". Aspectos geométricos del análisis funcional (1987–88) . Lecture Notes in Math. Vol. 1376. Berlín: Springer. págs. 274–277. ISBN 978-0-387-51303-4.
7. Alon, N. ; Milman, VD (1983), "Incrustación de espacios de Banach de dimensión finita", Israel Journal of Mathematics , 45 (4): 265–280, doi :10.1007/BF02804012, MR  0720303 ${\displaystyle \scriptstyle \ell _{\infty }^{k}}$.
8. Figiel, T.; Lindenstrauss, J.; Milman, V. D. (1976). "La dimensión de secciones casi esféricas de cuerpos convexos". Bull. Amer. Math. Soc . 82 (4): 575–578. doi : 10.1090/s0002-9904-1976-14108-0 ., ampliado en "La dimensión de secciones casi esféricas de cuerpos convexos", Acta Math. 139 (1977), 53–94.

Lectura adicional

• Vershynin, Roman (2018). "Teorema de Dvoretzky-Milman". Probabilidad de alta dimensión: una introducción con aplicaciones en la ciencia de datos . Cambridge University Press. págs. 254–264. doi :10.1017/9781108231596.014.