Colector de Banach

Variedad modelada en espacios de Banach

En matemáticas , una variedad de Banach es una variedad modelada a partir de espacios de Banach . Por lo tanto, es un espacio topológico en el que cada punto tiene un entorno homeomorfo a un conjunto abierto en un espacio de Banach (a continuación se ofrece una definición más formal y elaborada). Las variedades de Banach son una posibilidad de extender las variedades a dimensiones infinitas .

Una generalización adicional es la de las variedades de Fréchet , en las que se reemplazan los espacios de Banach por espacios de Fréchet . Por otra parte, una variedad de Hilbert es un caso especial de una variedad de Banach en la que la variedad se modela localmente sobre espacios de Hilbert .

Definición

Sea un conjunto . Un atlas de la clase en es una colección de pares (llamados gráficos ) tales que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r},}$ ${\displaystyle r\geq 0,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right),}$ ${\displaystyle i\in I,}$

1. cada uno es un subconjunto de y la unión de los es el todo de ; ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$
2. cada uno es una biyección de sobre un subconjunto abierto de algún espacio de Banach y para cualquier índice es abierto en ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle E_{i},}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$ ${\displaystyle E_{i};}$
3. el mapa de cruce es una función -veces continuamente diferenciable para cada es decir, la derivada de Fréchet existe y es una función continua con respecto a la topología de la norma - en subconjuntos de y la topología de la norma del operador en $${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i,j\in I;}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).}$

Se puede demostrar entonces que existe una topología única en tal que cada uno es abierto y cada uno es un homeomorfismo . Muy a menudo, se supone que este espacio topológico es un espacio de Hausdorff , pero esto no es necesario desde el punto de vista de la definición formal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$

Si todos los espacios de Banach son iguales al mismo espacio, el atlas se llama -atlas . Sin embargo, no es necesario a priori que los espacios de Banach sean el mismo espacio, o incluso isomorfos como los espacios vectoriales topológicos . Sin embargo, si dos cartas y son tales que y tienen una intersección no vacía , un examen rápido de la derivada de la función de cruce muestra que y deben ser de hecho isomorfos como los espacios vectoriales topológicos. Además, el conjunto de puntos para los que hay una carta con en e isomorfo a un espacio de Banach dado es tanto abierto como cerrado . Por lo tanto, se puede suponer sin pérdida de generalidad que, en cada componente conexo del atlas es un -atlas para algún fijo ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$ ${\displaystyle \left(U_{j},\varphi _{j}\right)}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{j}}$ $${\displaystyle \varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)}$$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

Se dice que un nuevo mapa es compatible con un atlas dado si el mapa de cruce es una función continuamente diferenciable de -veces para cada Dos atlas se dicen compatibles si cada mapa en uno es compatible con el otro atlas. La compatibilidad define una relación de equivalencia en la clase de todos los atlas posibles en ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}}$ $${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle X.}$

Una estructura -variedad en se define entonces como una elección de clase de equivalencia de atlas en de clase Si todos los espacios de Banach son isomorfos como espacios vectoriales topológicos (lo que se garantiza que es el caso si es conexo ), entonces se puede encontrar un atlas equivalente para el cual todos sean iguales a algún espacio de Banach que entonces se denomina -variedad , o se dice que está modelado en ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{r}.}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E.}$

Ejemplos

Todo espacio de Banach puede identificarse canónicamente como una variedad de Banach. Si es un espacio de Banach, entonces es una variedad de Banach con un atlas que contiene una única carta definida globalmente (el mapa identidad ). ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle X}$

De manera similar, si es un subconjunto abierto de algún espacio de Banach, entonces es una variedad de Banach. (Véase el teorema de clasificación a continuación). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Clasificación hasta el homeomorfismo

No es de ninguna manera cierto que una variedad finito-dimensional de dimensión sea globalmente homeomorfa a o incluso un subconjunto abierto de Sin embargo, en un entorno de dimensión infinita, es posible clasificar variedades de Banach " de buen comportamiento " hasta el homeomorfismo bastante bien. Un teorema de 1969 de David Henderson ^[1] establece que cada variedad de Banach métrica , separable y de dimensión infinita puede ser incorporada como un subconjunto abierto del espacio de Hilbert separable y de dimensión infinita (hasta el isomorfismo lineal, solo hay un espacio de este tipo, generalmente identificado con ). De hecho, el resultado de Henderson es más fuerte: la misma conclusión es válida para cualquier variedad métrica modelada en un espacio de Fréchet de dimensión infinita separable . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

El homeomorfismo de incrustación se puede utilizar como un gráfico global para Así, en el caso métrico, separable y de dimensión infinita, las "únicas" variedades de Banach son los subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert. ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Fibrado de Banach  : fibrado vectorial cuyas fibras forman espacios de BanachPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Diferenciación en espacios de Fréchet
• Variedad de Finsler  – Generalización de las variedades de Riemann
• Variedad de Fréchet  : espacio topológico modelado sobre un espacio de Fréchet de la misma manera que una variedad se modela sobre un espacio euclidianoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Análisis global , que utiliza variedades de Banach y otros tipos de variedades de dimensión infinita
• Variedad de Hilbert  : Variedad modelada a partir de espacios de Hilbert

Referencias

1. Henderson 1969.

• Abraham, Ralph; Marsden, JE; Ratiu, Tudor (1988). Variedades, análisis tensorial y aplicaciones . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-96790-7.
• Anderson, RD (1969). "Conjuntos fuertemente despreciables en variedades de Fréchet" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 75 (1). American Mathematical Society (AMS): 64–67. doi :10.1090/s0002-9904-1969-12146-4. ISSN  0273-0979. S2CID  34049979.
• Anderson, RD; Schori, R. (1969). "Factores de variedades de dimensión infinita" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 142 . American Mathematical Society (AMS): 315–330. doi :10.1090/s0002-9947-1969-0246327-5. ISSN  0002-9947.
• Henderson, David W. (1969). "Las variedades de dimensión infinita son subconjuntos abiertos del espacio de Hilbert". Bull. Amer. Math. Soc . 75 (4): 759–762. doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12276-7 . MR  0247634.
• Lang, Serge (1972). Variedades diferenciales . Reading, Mass.–Londres–Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• Zeidler, Eberhard (1997). Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones. Vol. 4. Springer-Verlag New York Inc.