Mapas abiertos y cerrados.

Una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)

En matemáticas , más específicamente en topología , una aplicación abierta es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. ^{[1] [2] [3]} Es decir, una función está abierta si cualquier conjunto abierto en la imagen está abierto en Del mismo modo, un mapa cerrado es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. ^{[3] [4]} Un mapa puede estar abierto, cerrado, ambos o ninguno; ^[5] en particular, un mapa abierto no necesita estar cerrado y viceversa. ^[6] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$

Los mapas abiertos ^[7] y cerrados ^[8] no son necesariamente continuos . ^[4] Además, la continuidad es independiente de la apertura y el cierre en el caso general y una función continua puede tener una, ambas o ninguna propiedad; ^[3] este hecho sigue siendo cierto incluso si uno se limita a espacios métricos. ^[9] Aunque sus definiciones parecen más naturales, los mapas abiertos y cerrados son mucho menos importantes que los mapas continuos. Recuerde que, por definición, una función es continua si la preimagen de cada conjunto abierto de está abierta en ^[2] (de manera equivalente, si la preimagen de cada conjunto cerrado de está cerrada en ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Los primeros estudios de mapas abiertos fueron iniciados por Simion Stoilow y Gordon Thomas Whyburn . ^[10]

Definiciones y caracterizaciones

Si es un subconjunto de un espacio topológico, entonces sea y (resp. ) denotar el cierre (resp. interior ) de en ese espacio. Sea una función entre espacios topológicos . Si hay algún conjunto, entonces se llama imagen de debajo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f.}$

Definiciones en competencia

Hay dos definiciones diferentes, en competencia, pero estrechamente relacionadas, de " mapa abierto " que se usan ampliamente, donde ambas definiciones se pueden resumir como: "es un mapa que envía conjuntos abiertos a conjuntos abiertos". A veces se utiliza la siguiente terminología para distinguir entre las dos definiciones.

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$

• " Mapa fuertemente abierto " si siempre es un subconjunto abierto del dominio , entonces es un subconjunto abierto del codominio ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$
• "Mapa relativamente abierto "si siemprees un subconjunto abierto del dominio,entonceses un subconjunto abierto dela imagen'sdonde, como de costumbre, este conjunto está dotado de latopología subespacialinducida en él porel codominio de 's^[11] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Todo mapa fuertemente abierto es un mapa relativamente abierto. Sin embargo, estas definiciones no son equivalentes en general.

Advertencia : muchos autores definen "mapa abierto" como " mapa relativamente abierto" (por ejemplo, The Encyclopedia of Mathematics), mientras que otros definen "mapa abierto" como " mapa fuertemente abierto". En general, estas definiciones no son equivalentes, por lo que es aconsejable comprobar siempre qué definición de "mapa abierto" está utilizando un autor.

Un mapa sobreyectivo es relativamente abierto si y sólo si es fuertemente abierto; por lo que para este importante caso especial las definiciones son equivalentes. De manera más general, un mapa es relativamente abierto si y sólo si la sobreyección es un mapa fuertemente abierto. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$

Porque siempre es un subconjunto abierto de la imagen de un mapa fuertemente abierto debe ser un subconjunto abierto de su codominio. De hecho, un mapa relativamente abierto es un mapa fuertemente abierto si y sólo si su imagen es un subconjunto abierto de su codominio. En resumen, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Un mapa es fuertemente abierto si y sólo si es relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio.

Al utilizar esta caracterización, a menudo resulta sencillo aplicar resultados que involucran una de estas dos definiciones de "mapa abierto" a una situación que involucra la otra definición.

La discusión anterior también se aplicará a mapas cerrados si cada instancia de la palabra "abierto" se reemplaza por la palabra "cerrado".

Abrir mapas

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$abrir el mapa o unmapa fuertemente abierto si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición: asigna subconjuntos abiertos de su dominio a subconjuntos abiertos de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto abierto de , es un subconjunto abierto de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa relativamente abierto y su imagen es un subconjunto abierto de su codominio ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. Para todos y cada uno de los barrios de (por pequeños que sean), es un barrio de . Podemos reemplazar la primera o ambas instancias de la palabra "vecindario" por "vecindario abierto" en esta condición y el resultado seguirá siendo una condición equivalente: ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Para todos y cada uno de los barrios abiertos de , es un barrio de . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • Para todos y cada uno de los barrios abiertos de , es un barrio abierto de . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
4. ${\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}$para todos los subconjuntos de donde denota el interior topológico del conjunto. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
5. Siempre que sea un subconjunto cerrado de entonces el conjunto es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Esta es una consecuencia de la identidad que se cumple para todos los subconjuntos. ${\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ ${\displaystyle R\subseteq X.}$

Si es una base para ello, se puede agregar lo siguiente a esta lista: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle f}$asigna conjuntos abiertos básicos a conjuntos abiertos en su codominio (es decir, cualquier conjunto abierto básico es un subconjunto abierto de ). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$

Mapas cerrados

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa relativamente cerrado si siemprees unsubconjunto cerradodel dominio,entonceses un subconjunto cerrado dela imagen'sdonde, como de costumbre, este conjunto está dotado de latopología subespacialinducida en él porcodominiode 's ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

Un mapa se llama ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa cerrado o unmapa fuertemente cerrado si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Definición: asigna subconjuntos cerrados de su dominio a subconjuntos cerrados de su codominio; es decir, para cualquier subconjunto cerrado de es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa relativamente cerrado y su imagen es un subconjunto cerrado de su codominio ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}$para cada subconjunto ${\displaystyle A\subseteq X.}$
4. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}$para cada subconjunto cerrado ${\displaystyle C\subseteq X.}$
5. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}=f(C)}$para cada subconjunto cerrado ${\displaystyle C\subseteq X.}$
6. Siempre que sea un subconjunto abierto de entonces el conjunto es un subconjunto abierto de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
7. Si es una red in y es un punto tal que in entonces converge en el conjunto ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$
   • La convergencia significa que cada subconjunto abierto que contiene contendrá todos los índices suficientemente grandes ${\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

Un mapa sobreyectivo es fuertemente cerrado si y sólo si es relativamente cerrado. Entonces, para este importante caso especial, las dos definiciones son equivalentes. Por definición, el mapa es un mapa relativamente cerrado si y sólo si la sobreyección es un mapa fuertemente cerrado. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}$

Si en la definición de conjunto abierto de " mapa continuo " (que es la afirmación: "cada preimagen de un conjunto abierto es abierta"), ambas instancias de la palabra "abierto" se reemplazan por "cerrado", entonces la declaración de resultados (" toda preimagen de un conjunto cerrado es cerrada") equivale a continuidad. Esto no sucede con la definición de "mapa abierto" (que es: "toda imagen de un conjunto abierto es abierta") ya que la afirmación que resulta ("toda imagen de un conjunto cerrado es cerrada") es la definición de "mapa cerrado". mapa", que en general no equivale a apertura. Existen mapas abiertos que no están cerrados y también existen mapas cerrados que no están abiertos. Esta diferencia entre mapas abiertos/cerrados y mapas continuos se debe en última instancia al hecho de que para cualquier conjunto solo está garantizado en general, mientras que para las preimágenes la igualdad siempre se cumple. ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}$ ${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}$

Ejemplos

La función definida por es continua, cerrada y relativamente abierta, pero no (fuertemente) abierta. Esto se debe a que si hay algún intervalo abierto en el dominio de que no contiene , entonces , este intervalo abierto es un subconjunto abierto de ambos y , sin embargo, si hay algún intervalo abierto que contiene, entonces , que no es un subconjunto abierto del codominio de es un subconjunto abierto de Debido a que el conjunto de todos los intervalos abiertos es una base para la topología euclidiana , esto muestra que es relativamente abierto pero no (fuertemente) abierto. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Si tiene una topología discreta (es decir, todos los subconjuntos son abiertos y cerrados), entonces cada función es abierta y cerrada (pero no necesariamente continua). Por ejemplo, la función de piso desde hasta es abierta y cerrada, pero no continua. Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conectado bajo un mapa abierto o cerrado no necesita estar conectada. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Siempre que tenemos un producto de espacios topológicos las proyecciones naturales son abiertas ^{[12] [13]} (además de continuas). Dado que las proyecciones de haces de fibras y mapas de cobertura son proyecciones locales naturales de productos, estos también son mapas abiertos. Sin embargo, no es necesario cerrar las proyecciones. Consideremos, por ejemplo, la proyección sobre el primer componente; entonces el conjunto se cierra pero no se cierra . Sin embargo, para un espacio compacto la proyección está cerrada. Este es esencialmente el lema del tubo . ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

A cada punto del círculo unitario podemos asociar el ángulo del eje positivo con el rayo que conecta el punto con el origen. Esta función desde el círculo unitario hasta el intervalo semiabierto [0,2π) es biyectiva, abierta y cerrada, pero no continua. Muestra que la imagen de un espacio compacto bajo un mapa abierto o cerrado no tiene por qué ser compacta. También tenga en cuenta que si consideramos esto como una función desde el círculo unitario hasta los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado. Especificar el codominio es esencial. ${\displaystyle x}$

Condiciones suficientes

Todo homeomorfismo es abierto, cerrado y continuo. De hecho, un mapa continuo biyectivo es un homeomorfismo si y sólo si es abierto, o de manera equivalente, si y sólo si es cerrado.

La composición de dos mapas (fuertemente) abiertos es un mapa abierto y la composición de dos mapas (fuertemente) cerrados es un mapa cerrado. ^{[14] [15]} Sin embargo, la composición de dos mapas relativamente abiertos no necesita ser relativamente abierta y, de manera similar, la composición de dos mapas relativamente cerrados no necesita ser relativamente cerrada. Si está fuertemente abierto (respectivamente, fuertemente cerrado) y está relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado), entonces está relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$

Sea un mapa. Dado cualquier subconjunto si es un mapa relativamente abierto (respectivamente, relativamente cerrado, fuertemente abierto, fuertemente cerrado, continuo, sobreyectivo ), entonces lo mismo ocurre con su restricción. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$$

saturado ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(T).}$

La suma categórica de dos mapas abiertos es abierta, o de dos mapas cerrados es cerrada. ^{[15] El} producto categórico de dos mapas abiertos es abierto; sin embargo, el producto categórico de dos mapas cerrados no necesita ser cerrado. ^{[14] [15]}

Un mapa biyectivo está abierto si y sólo si está cerrado. La inversa de un mapa biyectivo continuo es un mapa biyectivo abierto/cerrado (y viceversa). Un mapa abierto sobreyectivo no es necesariamente un mapa cerrado y, de la misma manera, un mapa cerrado sobreyectivo no es necesariamente un mapa abierto. Todos los homeomorfismos locales , incluidos todos los gráficos de coordenadas de las variedades y todos los mapas de cobertura , son mapas abiertos.

Lema de mapa cerrado  :  toda función continua desde un espacio compacto hasta un espacio de Hausdorff es cerrada y propia (lo que significa que las preimágenes de conjuntos compactos son compactas). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Una variante del lema del mapa cerrado establece que si una función continua entre espacios de Hausdorff localmente compactos es adecuada, entonces también es cerrada.

En análisis complejo , el teorema de mapeo abierto del mismo nombre establece que cada función holomorfa no constante definida en un subconjunto abierto conectado del plano complejo es un mapa abierto.

La invariancia del teorema de dominio establece que una función continua y localmente inyectiva entre variedades topológicas bidimensionales debe estar abierta. ${\displaystyle n}$

Invariancia de dominio  :  sies un subconjunto abierto deyes un mapa continuo inyectivo , entoncesestá abierto enyes un homeomorfismo entrey ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V:=f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$

En análisis funcional , el teorema de mapeo abierto establece que cada operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach es un mapa abierto. Este teorema se ha generalizado a espacios vectoriales topológicos más allá de los espacios de Banach.

Un mapa sobreyectivo se llama mapa casi abierto. ${\displaystyle f:X\to Y}$si para cada uno existe alguno que sea un ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$punto de apertura parael cual, por definición, significa que para cada vecindad abiertadees unavecindaddein(tenga en cuenta que no es necesario que la vecindadsea unaabierta). Todo mapa abierto sobreyectivo es un mapa casi abierto pero, en general, lo contrario no es necesariamente cierto. Si una sobreyecciónes un mapa casi abierto, entonces será un mapa abierto si satisface la siguiente condición (una condición que nodependede ninguna manera dela topología de): ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$

siempre que pertenezcan a la misma fibra de (es decir, ) entonces, para cada vecindad de existe alguna vecindad de tal que ${\displaystyle m,n\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(m)=f(n)}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle V\in \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

Si el mapa es continuo, entonces la condición anterior también es necesaria para que el mapa esté abierto. Es decir, si es una sobreyección continua entonces es un mapa abierto si y sólo si es casi abierto y satisface la condición anterior. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Propiedades

Mapas abiertos o cerrados que son continuos.

Si es un mapa continuo que también está abierto o cerrado entonces: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• si es una sobreyección entonces es un mapa de cociente e incluso un mapa de cociente hereditario , ${\displaystyle f}$
  • Un mapa sobreyectivo se llama cociente hereditario si para cada subconjunto la restricción es un mapa de cociente. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$
• Si es una inyección, entonces es una incrustación topológica . ${\displaystyle f}$
• Si es una biyección entonces es un homeomorfismo . ${\displaystyle f}$

En los dos primeros casos, estar abierto o cerrado es simplemente una condición suficiente para la conclusión que sigue. En el tercer caso, también es necesario .

Abrir mapas continuos

Si es un mapa continuo (fuertemente) abierto, y entonces: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq Y,}$

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}$donde denota el límite de un conjunto. ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$
• ${\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}$donde denota el cierre de un conjunto. ${\displaystyle {\overline {S}}}$
• Si donde denota el interior de un conjunto, entonces ${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
  $${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}$$
  donde este conjunto es también necesariamente un conjunto cerrado regular (en ). ^{[nota 1]} En particular, si es un conjunto cerrado regular, entonces también lo es. Y si es un conjunto abierto regular , entonces también lo es. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}$
• Si el mapa abierto continuo también es sobreyectivo, entonces y además, es un subconjunto regular abierto (o regular cerrado) ^{[nota 1]} de si y solo si es un subconjunto regular abierto (o regular cerrado) de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle X.}$
• Si una red converge en un punto y si el mapa abierto continuo es sobreyectivo, entonces para cualquiera existe una red in (indexada por algún conjunto dirigido ) tal que in y es una subred de Además, se puede considerar que el conjunto de indexación es con el pedido del producto donde hay alguna base de vecindad dirigida por ^{[nota 2]} ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

Ver también

• Mapa casi abierto  : Mapa que satisface una condición similar a la de ser un mapa abierto.
• Gráfico cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador lineal cerrado  : gráfico de un mapa cerrado en el espacio del producto.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Homeomorfismo local  : función matemática reversible cerca de cada punto
• Mapa cuasi abierto  : función que asigna conjuntos abiertos no vacíos a conjuntos que tienen un interior no vacío en su codominio
• Mapa de cocientes (topología)  – Construcción del espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Mapa perfecto  : mapa sobreyectivo cerrado continuo, cada una de cuyas fibras también son conjuntos compactos.
• Mapa adecuado  : mapa entre espacios topológicos con la propiedad de que la preimagen de cada compacto es compacta
• Mapa de cobertura de secuencia

Notas

1. Un subconjunto se llama ${\displaystyle S\subseteq X}$conjunto cerrado regular sio equivalentemente, sidonde(resp.) denota ellímite topológico(resp.interior,cierre) deenEl conjuntose llama ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$conjunto abierto regular sio equivalentemente, siEl interior (tomado en) de un subconjunto cerrado dees siempre un subconjunto abierto regular deEl cierre (tomado en) de un subconjunto abierto dees siempre un subconjunto cerrado regular de ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Explícitamente, para cualquier elección, cualquier cosa que sea arbitraria. La asignación define un morfismo de orden tal que es un subconjunto cofinal de por lo tanto es una subred Willard de ${\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ ${\displaystyle h_{a}\in I}$ ${\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}$ ${\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\mapsto h_{a}}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(A)}$ ${\displaystyle I;}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$

Citas

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3. Lee, John M. (2003). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 218. Medios científicos y comerciales de Springer. pag. 550.ISBN​ 9780387954486. Se dice que un mapa (continuo o no) es un mapa abierto si por cada subconjunto cerrado está abierto y un mapa cerrado si por cada subconjunto cerrado está cerrado Los mapas continuos pueden ser abiertos, cerrados, ambos o ninguno, como puede ser visto examinando ejemplos simples que involucran subconjuntos del plano. ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle F(K)}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Ludu, Andrei (15 de enero de 2012). Ondas no lineales y solitones en contornos y superficies cerradas . Serie Springer en Sinergética. pag. 15.ISBN​ 9783642228940. Un mapa abierto es una función entre dos espacios topológicos que asigna conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Asimismo, una aplicación cerrada es una función que asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Los mapas abiertos o cerrados no son necesariamente continuos.
5. Sohrab, Houshang H. (2003). Análisis Real Básico. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 203.ISBN​ 9780817642112. Ahora estamos listos para nuestros ejemplos que muestran que una función puede estar abierta sin estar cerrada o cerrada sin estar abierta. Además, una función puede estar abierta y cerrada simultáneamente o ni abierta ni cerrada.(La afirmación citada se da en el contexto de los espacios métricos, pero como los espacios topológicos surgen como generalizaciones de espacios métricos, la afirmación también es válida allí).
6. Naber, Gregory L. (2012). Métodos topológicos en espacios euclidianos . Libros de Dover sobre Matemáticas (reimpresión ed.). Corporación de mensajería. pag. 18.ISBN​ 9780486153445. Ejercicio 1-19. Demuestre que el mapa de proyección π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i es un mapa abierto, pero no necesita ser un mapa cerrado. Sugerencia: La proyección de R ² sobre no está cerrada. De manera similar, un mapa cerrado no necesita estar abierto ya que cualquier mapa constante está cerrado. Sin embargo, para mapas que son uno a uno y uno a uno, los conceptos de "abierto" y "cerrado" son equivalentes. ${\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
7. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (Tercera ed.). Dover. pag. 89.ISBN​ 0-486-66352-3. Hay muchas situaciones en las que una función tiene la propiedad de que, para cada subconjunto abierto del conjunto, es un subconjunto abierto de y, sin embargo , no es continua. ${\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$
8. Abucheos, Johann (2000). Métodos clásicos y modernos en sumabilidad. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 332.ISBN​ 0-19-850165-X. Ahora surge la pregunta de si la última afirmación es cierta en general, es decir, si los mapas cerrados son continuos. Esto falla en general, como lo demuestra el siguiente ejemplo.
9. Kubrusly, Carlos S. (2011). Los elementos de la teoría del operador . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 115.ISBN​ 9780817649982. En general, una aplicación de un espacio métrico a un espacio métrico puede poseer cualquier combinación de los atributos "continuo", "abierto" y "cerrado" (es decir, son conceptos independientes). ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
10. Hart, KP; Nagata, J.; Vaughan, JE, eds. (2004). Enciclopedia de Topología General . Elsevier. pag. 86.ISBN​ 0-444-50355-2. Parece que el estudio de los mapas abiertos (interiores) comenzó con los artículos [13,14] de S. Stoïlow . Claramente, GT Whyburn fue el primero en estudiar exhaustivamente la apertura de los mapas [19,20].
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15. James, IM (1984). Topología general y teoría de la homotopía . Springer-Verlag. pag. 49.ISBN​ 9781461382836. ...recordemos que la composición de los mapas abiertos es abierta y la composición de los mapas cerrados es cerrada. También que la suma de mapas abiertos sea abierta y la suma de mapas cerrados sea cerrada. Sin embargo, el producto de mapas cerrados no necesariamente es cerrado, aunque el producto de mapas abiertos sí lo es.

Referencias

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