Conjunto abierto regular

Un subconjunto de un espacio topológico se llama conjunto abierto regular si es igual al interior de su cierre ; expresado simbólicamente, si o, equivalentemente, si donde y denotan, respectivamente, el interior, el cierre y el límite de ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=S}$ ${\displaystyle \partial ({\overline {S}})=\partial S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle S.}$

Un subconjunto de se llama conjunto cerrado regular si es igual a la clausura de su interior; expresado simbólicamente, si o, de manera equivalente, si ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \partial (\operatorname {Int} S)=\partial S.}$

Ejemplos

Si tiene su topología euclidiana habitual , entonces el conjunto abierto no es un conjunto abierto regular, ya que cada intervalo abierto es un conjunto abierto regular y cada intervalo cerrado no degenerado (es decir, un intervalo cerrado que contiene al menos dos puntos distintos) es un conjunto cerrado regular. Un singleton es un subconjunto cerrado pero no un conjunto cerrado regular porque su interior es el conjunto vacío, por lo que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=(0,1)\cup (1,2)}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\overline {S}})=(0,2)\neq S.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing ,}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} \{x\}}}={\overline {\varnothing }}=\varnothing \neq \{x\}.}$

Propiedades

Un subconjunto de es un conjunto abierto regular si y sólo si su complemento en es un conjunto cerrado regular. ^[2] Todo conjunto abierto regular es un conjunto abierto y todo conjunto cerrado regular es un conjunto cerrado . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cada subconjunto abierto de (que incluye y a sí mismo) es simultáneamente un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

El interior de un subconjunto cerrado de es un subconjunto abierto regular de y de la misma manera, el cierre de un subconjunto abierto de es un subconjunto cerrado regular de ^[2] La intersección (pero no necesariamente la unión) de dos conjuntos abiertos regulares es un subconjunto abierto regular colocar. De manera similar, la unión (pero no necesariamente la intersección) de dos conjuntos cerrados regulares es un conjunto cerrado regular. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

La colección de todos los conjuntos abiertos regulares forma un álgebra booleana completa ; la operación de unión está dada por el encuentro es y el complemento es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\vee V=\operatorname {Int} ({\overline {U\cup V}}),}$ ${\displaystyle U\land V=U\cap V}$ ${\displaystyle \neg U=\operatorname {Int} (X\setminus U).}$

Ver también

• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Espacio regular  : espacio topológico en el que un punto y un conjunto cerrado son, si son disjuntos, separables por vecindades.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio semirregular
• Axioma de separación  : axiomas en topología que definen nociones de "separación"

Notas

1. Steen y Seebach, pág. 6
2. Willard, "3D, conjuntos regularmente abiertos y regularmente cerrados", p. 29

Referencias

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr., Contraejemplos en topología . Springer-Verlag, Nueva York, 1978. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (edición de Dover).
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.