Sistema de barrio

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , el sistema de vecindad , sistema completo de vecindades [ ^1] o filtro de vecindad para un punto en un espacio topológico es la colección de todas las vecindades de ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Definiciones

Vecindad de un punto o conjunto

UnEl vecindario abierto de un punto (osubconjunto^{[nota 1]})en un espacio topológicoes cualquiersubconjunto abiertodeque contiene A ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$vecindad deen ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$es cualquier subconjuntoque contienealgunavecindad abierta de; explícitamente,es una vecindad deensi y solo siexiste algún subconjunto abiertocon.^[2][3] De manera equivalente, una vecindad dees cualquier conjunto que contieneen suinterior topológico. ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Es importante destacar que un "vecindario" no tiene por qué ser un conjunto abierto; aquellos vecindarios que también son conjuntos abiertos se conocen como "vecindarios abiertos". ^{[nota 2]} De manera similar, un vecindario que también es un conjunto cerrado (respectivamente, compacto , conectado , etc.) se denominabarrio cerrado (respectivamente,barrio compactovecindario conectado , etc.). Existen muchos otros tipos de vecindarios que se utilizan en topología y campos relacionados, comoel análisis funcional. La familia de todos los vecindarios que tienen una determinada propiedad "útil" a menudo forma una base de vecindad, aunque muchas veces, estos vecindarios no son necesariamente abiertos.Los espacios localmente compactos, por ejemplo, son aquellos espacios que, en cada punto, tienen una base de vecindad que consiste enteramente en conjuntos compactos.

Filtro de barrio

El sistema de vecindad de un punto (o subconjunto no vacío ) es un filtro llamado filtro de vecindad para El filtro de vecindad de un punto es el mismo que el filtro de vecindad del conjunto singleton ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Base vecinal

Abase de barrio obase local (obase del barrio obase local ) para un puntoes unabase de filtrodel filtro de vecindad; esto significa que es un subconjunto tal que para todoexiste algunotal que^[3] Es decir, para cualquier vecindadpodemos encontrar una vecindaden la base de vecindad que esté contenida en ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$ ${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V.}$

De manera equivalente, es una base local en si y solo si el filtro de vecindad se puede recuperar de en el sentido de que se cumple la siguiente igualdad: ^[4] Una familia es una base de vecindad para si y solo si es un subconjunto cofinal de con respecto al orden parcial (es importante destacar que este orden parcial es la relación de superconjunto y no la relación de subconjunto ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$ ${\displaystyle \supseteq }$

Subbase de barrio

Asubbase de vecindad enes una familiade subconjuntos decada uno de los cuales contienetal que la colección de todaslas interseccionesde elementos deforma una base de vecindad en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle x.}$

Ejemplos

Si tiene su topología euclidiana habitual , entonces los vecindarios de son todos aquellos subconjuntos para los cuales existe algún número real tal que Por ejemplo, todos los siguientes conjuntos son vecindarios de en : pero ninguno de los siguientes conjuntos son vecindarios de : donde denota los números racionales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$ ${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Si es un subconjunto abierto de un espacio topológico entonces para cada es un entorno de en Más generalmente, si es cualquier conjunto y denota el interior topológico de en entonces es un entorno (en ) de cada punto y además, no es un entorno de ningún otro punto. Dicho de otra manera, es un entorno de un punto si y solo si ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u\in U,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

Bases de barrio

En cualquier espacio topológico, el sistema de vecindad de un punto es también una base de vecindad para el punto. El conjunto de todas las vecindades abiertas en un punto forma una base de vecindad en ese punto. Para cualquier punto en un espacio métrico , la secuencia de bolas abiertas alrededor de un radio forma una base de vecindad contable . Esto significa que cada espacio métrico es primero contable . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

Dado un espacio con topología indiscreta, el sistema de vecindad para cualquier punto sólo contiene todo el espacio, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

En la topología débil en el espacio de medidas en un espacio una base de vecindad está dada por donde son funciones continuas acotadas desde hasta los números reales y son números reales positivos. ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

Espacios seminormados y grupos topológicos

En un espacio seminormado , es decir un espacio vectorial con la topología inducida por una seminorma , todos los sistemas de vecindad se pueden construir mediante la traducción del sistema de vecindad para el origen, $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

Esto se debe a que, por suposición, la suma de vectores es continua por separado en la topología inducida. Por lo tanto, la topología está determinada por su sistema de vecindad en el origen. De manera más general, esto sigue siendo cierto siempre que el espacio sea un grupo topológico o la topología esté definida por una pseudométrica .

Propiedades

Supóngase y sea una base de vecindad para en Convierta en un conjunto dirigido ordenándolo parcialmente por inclusión de superconjunto Entonces no es una vecindad de en si y solo si existe una red indexada en tal que para cada (lo que implica que en ). ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\supseteq .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Base (topología)  : conjunto de conjuntos abiertos que se utilizan para definir una topología
• Filtro (teoría de conjuntos)  : Familia de conjuntos que representan conjuntos "grandes"
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Vecindario (matemáticas)  – Conjunto abierto que contiene un punto dado
• Subbase  : Colección de subconjuntos que generan una topología
• Vecindario tubular  : vecindario de una subvariedad homeomorfa al fibrado normal de esa subvariedadPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Por lo general, "vecindario" se refiere al vecindario de un punto y se indicará claramente si, en cambio, se refiere al vecindario de un conjunto. Por ejemplo, una afirmación como "un vecindario en " que no se refiere a ningún punto o conjunto en particular debería, a menos que se indique lo contrario, interpretarse como "un vecindario de algún punto en ". ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. La mayoría de los autores no requieren que los vecindarios sean conjuntos abiertos porque escribir "abierto" antes de "vecindario" cuando se necesita esta propiedad no es demasiado oneroso y porque requerir que siempre sean abiertos también limitaría en gran medida la utilidad de términos como "vecindario cerrado" y "vecindario compacto".

1. Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introducción a la topología (tercera edición). Dover. pág. 41. ISBN 0-486-66352-3.
2. Bourbaki 1989, págs. 17-21.
3. Willard 2004, págs. 31–37.
4. Willard, Stephen (1970). Topología general . Addison-Wesley Publishing. ISBN 9780201087079.(Véase el Capítulo 2, Sección 4)

Bibliografía

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de pregrado en matemáticas. Traducido por Berberian, SK. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90972-1.OCLC 10277303  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .