Filtros en topología

Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.

La red del conjunto de potencia del conjunto con el conjunto superior de color verde oscuro. Es un filtro , e incluso un filtro principal . No es un ultrafiltro , ya que se puede extender al filtro no trivial más grande al incluir también los elementos de color verde claro. Como no se puede ampliar más, es un ultrafiltro. ${\displaystyle X:=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle \{1,4\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{1\}^{\uparrow X}}$

Los filtros en topología , un subcampo de las matemáticas , se pueden utilizar para estudiar espacios topológicos y definir todas las nociones topológicas básicas como convergencia, continuidad , compacidad y más. Los filtros , que son familias especiales de subconjuntos de un conjunto determinado, también proporcionan un marco común para definir varios tipos de límites de funciones , como límites desde la izquierda/derecha, hasta el infinito, hasta un punto o un conjunto, y muchos otros. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades técnicas útiles y, a menudo, pueden usarse en lugar de filtros arbitrarios.

Los filtros tienen generalizaciones llamadas prefiltros (también conocidos como bases de filtro ) y subbases de filtro , todas las cuales aparecen de forma natural y repetida en toda la topología. Los ejemplos incluyen filtros / bases/subbases de vecindad y uniformidades . Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtro. Cada prefiltro y subbase de filtro está contenido en un filtro más pequeño único, que se dice que genera . Esto establece una relación entre filtros y prefiltros que a menudo puede explotarse para permitir utilizar cualquiera de estas dos nociones que sea técnicamente más conveniente. Existe un cierto preorden en las familias de conjuntos, denotado por que ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro, etc.) puede o no usarse en lugar de otra. La importancia de este preorden se ve amplificada por el hecho de que también define la noción de convergencia de filtro, donde por definición, un filtro (o prefiltro) converge a un punto si y sólo si dónde está el filtro de vecindad de ese punto . En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos relacionados con la convergencia, como los puntos de agrupamiento y los límites de funciones. Además, la relación que denota y se expresa diciendo que está subordinado a también establece una relación en la que es a como una subsecuencia es a una secuencia (es decir, la relación que se llama subordinación , es para filtros el análogo de "es una subsecuencia de"). ${\displaystyle \,\leq ,\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \geq ,}$

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 ^[1] y posteriormente utilizados por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por EH Moore y HL Smith . También se pueden utilizar filtros para caracterizar las nociones de secuencia y convergencia neta . Pero a diferencia de ^{[nota 1]} secuencia y convergencia neta, la convergencia de filtro se define enteramente en términos de subconjuntos del espacio topológico y por lo tanto proporciona una noción de convergencia que es completamente intrínseca al espacio topológico; de hecho, la categoría de espacios topológicos se puede definir de manera equivalente y enteramente en términos de filtros . Cada red induce un filtro canónico y, dualmente, cada filtro induce una red canónica, donde esta red inducida (resp. filtro inducido) converge a un punto si y solo si lo mismo ocurre con el filtro original (resp. red). Esta caracterización también es válida para muchas otras definiciones, como la de puntos de conglomerado. Estas relaciones permiten alternar entre filtros y redes y, a menudo, también permiten elegir cuál de estas dos nociones (filtro o red) es más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, suponiendo que " subred " se define utilizando cualquiera de sus definiciones más populares (que son las dadas por Willard y Kelley), entonces, en general, esta relación no se extiende a los filtros y subredes subordinados porque, como se detalla a continuación, existen subredes subordinadas. filtros cuya relación filtro/subordinado-filtro no puede describirse en términos de la relación red/subred correspondiente; Sin embargo, este problema se puede resolver utilizando una definición de "subred" menos común, que es la de una subred AA. ${\displaystyle X}$

Por lo tanto, los filtros/prefiltros y este preorden único proporcionan un marco que une perfectamente conceptos topológicos fundamentales como espacios topológicos ( a través de filtros de vecindad ), bases de vecindad , convergencia, varios límites de funciones, continuidad, compacidad , secuencias (a través de filtros secuenciales), la filtrar equivalente de "subsecuencia" (subordinación), espacios uniformes y más; conceptos que de otro modo parecen relativamente dispares y cuyas relaciones son menos claras. ${\displaystyle \,\leq \,}$

Motivación

Ejemplo arquetípico de filtro

El ejemplo arquetípico de filtro es el filtro de vecindad en un punto de un espacio topológico que es la familia de conjuntos que consta de todas las vecindades de Por definición, una vecindad de algún punto dado es cualquier subconjunto cuyo interior topológico contiene este punto; es decir, de manera que no es necesario que los vecindarios sean conjuntos abiertos; Esos se llaman barrios abiertos . A continuación se enumeran las propiedades fundamentales de los filtros de vecindario que finalmente se convirtieron en la definición de "filtro". Un filtro activado es un conjunto de subconjuntos de que satisface todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {Int} _{X}B.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. No vacío :    – así como desde siempre es un vecindario de (y de cualquier otra cosa que contenga); ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$
2. No contiene el conjunto vacío :    – así como ningún vecindario de está vacío; ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$
3. Cerrado bajo intersecciones finitas : Si  – así como la intersección de dos vecindades cualesquiera de es nuevamente una vecindad de ; ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}B\cap C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
4. Cerrado hacia arriba : si entonces  , al igual que cualquier subconjunto de que contenga una vecindad de será necesariamente una vecindad de (esto se deriva de la definición de "vecindad de "). ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}B\subseteq S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}B\subseteq \operatorname {Int} _{X}S}$ ${\displaystyle x}$

Generalizar la convergencia de secuencias mediante el uso de conjuntos: determinar la convergencia de secuencias sin la secuencia

Una secuencia en ${\displaystyle X}$ es, por definición, una aplicación de los números naturales al espacio. La noción original de convergencia en un espacio topológico era la de una secuencia que converge hacia algún punto dado en un espacio, como un espacio métrico . Con espacios metrizables (o más generalmente primeros espacios contables o espacios de Fréchet-Urysohn ), las secuencias suelen ser suficientes para caracterizar o "describir" la mayoría de las propiedades topológicas, como los cierres de subconjuntos o la continuidad de funciones. Pero hay muchos espacios donde las secuencias no se pueden utilizar para describir ni siquiera propiedades topológicas básicas como el cierre o la continuidad. Este fracaso de las secuencias fue la motivación para definir nociones como redes y filtros, que nunca dejan de caracterizar propiedades topológicas. ${\displaystyle \mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X.}$

Las redes generalizan directamente la noción de secuencia ya que las redes son, por definición, mapas de un conjunto dirigido arbitrario al espacio. Una secuencia es simplemente una red cuyo dominio está en el ordenamiento natural. Las redes tienen su propia noción de convergencia , que es una generalización directa de la convergencia de secuencias. ${\displaystyle I\to X}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$

Los filtros generalizan la convergencia de secuencias de una manera diferente al considerar solo los valores de una secuencia. Para ver cómo se hace esto, considere una secuencia que es, por definición, simplemente una función cuyo valor en se denota por en lugar de la notación habitual entre paréntesis que se usa comúnmente para funciones arbitrarias. Conocer sólo la imagen (a veces llamada "el rango") de la secuencia no es suficiente para caracterizar su convergencia; Se necesitan varios juegos. Resulta que los conjuntos necesarios son los siguientes, ^{[nota 2]} que se denominan colas de la secuencia : ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }(i)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}x_{\geq 1}=\;&\{&&x_{1},&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 2}=\;&\{&&x_{2},&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]x_{\geq 3}=\;&\{&&x_{3},&&x_{4},&&x_{5},&&x_{6},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]x_{\geq n}=\;&\{&&x_{n},\;\;\,&&x_{n+1},\;&&x_{n+2},\;&&x_{n+3},&&\ldots &&\,\}\\[0.3ex]&&&&&&&\;\,\vdots &&&&&&\\[0.3ex]\end{alignedat}}}$$

Estos conjuntos determinan completamente la convergencia (o no convergencia) de esta secuencia porque dado cualquier punto, esta secuencia converge hacia él si y sólo si para cada vecindad (de este punto), hay algún número entero que contenga todos los puntos. Esto puede ser reformulado como: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{n},x_{n+1},\ldots .}$

     cada barrio debe contener algún conjunto de la forma como subconjunto. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{x_{n},x_{n+1},\ldots \}}$

O más brevemente: cada barrio debe contener alguna cola como subconjunto. Es esta caracterización la que se puede utilizar con la familia de colas anterior para determinar la convergencia (o no convergencia) de la secuencia. Específicamente, con la familia de conjuntos en la mano, la función ya no es necesaria para determinar la convergencia de esta secuencia (no importa en qué topología se coloque ). Al generalizar esta observación, la noción de "convergencia" puede extenderse de secuencias/funciones a familias de conjuntos. ${\displaystyle x_{\geq n}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X.}$ ${\displaystyle \{x_{\geq 1},x_{\geq 2},\ldots \}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle X}$

El conjunto anterior de colas de una secuencia en general no es un filtro, pero "genera " un filtro tomando su cierre hacia arriba (que consta de todos los superconjuntos de todas las colas). Lo mismo ocurre con otras familias importantes de conjuntos, como cualquier base de vecindad en un punto determinado, que en general tampoco es un filtro pero genera un filtro a través de su cierre hacia arriba (en particular, genera el filtro de vecindad en ese punto) . Las propiedades que comparten estas familias llevaron a la noción de base de filtro , también llamada prefiltro , que por definición es cualquier familia que tiene las propiedades mínimas necesarias y suficientes para generar un filtro tomando su cierre hacia arriba .

Redes versus filtros: ventajas y desventajas

Los filtros y las redes tienen cada uno sus propias ventajas e inconvenientes y no hay razón para utilizar un concepto exclusivamente sobre el otro. ^{[nota 3]} Dependiendo de lo que se esté demostrando, una prueba puede resultar mucho más fácil utilizando una de estas nociones en lugar de la otra. ^[2] Tanto los filtros como las redes se pueden utilizar para caracterizar completamente cualquier topología determinada . Las redes son generalizaciones directas de secuencias y, a menudo, se pueden usar de manera similar a las secuencias, por lo que la curva de aprendizaje de las redes suele ser mucho menos pronunciada que la de los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen muchos más usos fuera de la topología, como en teoría de conjuntos , lógica matemática , teoría de modelos ( ultraproductos , por ejemplo), álgebra abstracta , ^[3] combinatoria , ^[4] dinámica , ^[4] teoría del orden , espacios de convergencia generalizada , espacios de Cauchy y en la definición y uso de números hiperreales .

Al igual que las secuencias, las redes son funciones y por eso tienen las ventajas de las funciones . Por ejemplo, al igual que las secuencias, las redes se pueden "conectar" a otras funciones, donde "conectarse" es solo una composición de funciones . Luego, los teoremas relacionados con funciones y composición de funciones se pueden aplicar a las redes. Un ejemplo es la propiedad universal de los límites inversos , que se define en términos de composición de funciones más que de conjuntos y se aplica más fácilmente a funciones como redes que a conjuntos como filtros (un ejemplo destacado de límite inverso es el producto cartesiano ). . Los filtros pueden resultar incómodos de usar en determinadas situaciones, como cuando se cambia entre un filtro en un espacio y un filtro en un subespacio denso ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$

A diferencia de las redes, los filtros (y prefiltros) son familias de conjuntos y, por tanto, tienen las ventajas de los conjuntos . Por ejemplo, si es sobreyectiva, entonces la imagen debajo de un filtro o prefiltro arbitrario se define fácilmente y se garantiza que será un prefiltro en el dominio de , mientras que está menos claro cómo retirar (sin ambigüedades/sin elección ) una secuencia arbitraria (o net) para obtener una secuencia o net en el dominio (a menos que también sea inyectiva y, en consecuencia, biyección, lo cual es un requisito estricto). De manera similar, la intersección de cualquier colección de filtros vuelve a ser un filtro, aunque no está claro qué podría significar esto para secuencias o redes. Debido a que los filtros se componen de subconjuntos del propio espacio topológico que se está considerando, se pueden aplicar operaciones de conjuntos topológicos (como cierre o interior ) a los conjuntos que constituyen el filtro. A veces, por ejemplo, en el análisis funcional, resulta útil cerrar todos los conjuntos en un filtro . Los teoremas y resultados sobre imágenes o preimágenes de conjuntos bajo una función también pueden aplicarse a los conjuntos que constituyen un filtro; un ejemplo de tal resultado podría ser una de las caracterizaciones de la continuidad en términos de preimágenes de conjuntos abiertos/cerrados o en términos de operadores interiores/cerrados. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades útiles que pueden ayudar significativamente a comprobar los resultados. Una desventaja de las redes es su dependencia de los conjuntos dirigidos que constituyen sus dominios, que en general pueden no tener ninguna relación con el espacio. De hecho, la clase de redes en un conjunto dado es demasiado grande para siquiera ser un conjunto (es un conjunto adecuado ). clase ); esto se debe a que las redes pueden tener dominios de cualquier cardinalidad . Por el contrario, la colección de todos los filtros (y de todos los prefiltros) es un conjunto cuya cardinalidad no es mayor que la de Similar a una topología de un filtro es "intrínseca a " en el sentido de que ambas estructuras constan enteramente de subconjuntos de y ninguna definición requiere ningún conjunto del que no se pueda construir (como u otros conjuntos dirigidos, que requieren las secuencias y las redes). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B)~:~B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Preliminares, notación y nociones básicas.

En este artículo, las letras romanas mayúsculas como denotan conjuntos (pero no familias a menos que se indique lo contrario) y denotarán el conjunto potencia de Un subconjunto de un conjunto potencia se llama familia de conjuntos (o simplemente, familia ) donde termina si es un subconjunto de Las familias de conjuntos se indicarán con letras de caligrafía mayúsculas, como Siempre que se necesiten estos supuestos, se debe asumir que no están vacíos y que, etc., son familias de conjuntos sobre ${\displaystyle S{\text{ and }}X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle X.}$

Los términos "prefiltro" y "base de filtro" son sinónimos y se utilizarán indistintamente.

Advertencia sobre definiciones y notaciones competitivas

Lamentablemente, existen varios términos en la teoría de los filtros que los distintos autores definen de forma diferente. Estos incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro". Si bien las diferentes definiciones del mismo término generalmente tienen una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y la topología de conjuntos de puntos), estas diferencias en las definiciones a menudo tienen consecuencias importantes. Al leer literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por esta razón, este artículo establecerá claramente todas las definiciones tal como se utilizan. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y algunas notaciones varían mucho según la literatura (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros de un conjunto), por lo que en tales casos este artículo utiliza cualquier notación que se describa mejor o sea más sencilla. recordado.

La teoría de los filtros y prefiltros está bien desarrollada y tiene una gran cantidad de definiciones y notaciones, muchas de las cuales ahora se enumeran sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y permitir una fácil búsqueda de notaciones y definiciones. Sus propiedades importantes se describen más adelante.

Operaciones de conjuntos

Elcierre hacia arriba oisotonizaciónen^[6][7]de unafamilia de conjuntoses ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

y de manera similar el cierre a la baja de es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\wp (B).}$

Para dos familias cualesquiera declaramos que si y sólo si para cada existe alguna en cuyo caso se dice que es más tosca que y que es más fina que (o subordinada a ) ^{[10] [11] [12]} También se puede utilizar la notación en lugar de ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}{\text{ such that }}F\subseteq C,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}}{\text{ or }}{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Si y entonces se dice que son ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$equivalente (con respecto a la subordinación).

Dos familias se mallan , ^[8] escrito si ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$

A lo largo, hay un mapa. ${\displaystyle f}$

Notación de topología

Denota el conjunto de todas las topologías en un conjunto. Supongamos que es cualquier subconjunto y es cualquier punto. ${\displaystyle X{\text{ by }}\operatorname {Top} (X).}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in X}$

si entonces ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s){\text{ and }}{\mathcal {N}}_{\tau }(S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}{\mathcal {N}}_{\tau }(s).}$

Redes y sus colas

Un conjunto dirigido es un conjunto junto con un pedido anticipado , que se indicará con (a menos que se indique explícitamente lo contrario), que se convierte en un conjunto dirigido ( hacia arriba ) ; ^[15] esto significa que para todos existe algo tal que Para cualquier índice, la notación se define como mientras se define como significa que se cumple, pero no es cierto que (si es antisimétrico , entonces esto es equivalente a ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$ ${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$ ${\displaystyle j\geq i}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i<j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

Una red en ${\displaystyle X}$^[15] es un mapa de un conjunto dirigido no vacío. La notación se utilizará para denotar una red con dominio. ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I.}$

Advertencia sobre el uso de comparación estricta

Si es una red y entonces es posible que el conjunto que se llama cola de after esté vacío (por ejemplo, esto sucede si es un límite superior del conjunto dirigido ). En este caso, la familia contendría el conjunto vacío, lo que impediría que fuera un prefiltro (definido más adelante). Esta es la razón (importante) para definir como en lugar de o incluso y es por esta razón que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta no puede usarse indistintamente con la desigualdad ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \,<\,}$ ${\displaystyle \,\leq .}$

Filtros y prefiltros

La siguiente es una lista de propiedades que puede poseer una familia de conjuntos y que forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

La familia de conjuntos es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. adecuado ono degenerado siDe lo contrario, sientonces se llamaimpropio^[17]odegenerado. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. Dirigido hacia abajo ^[15]si siempreexiste algotal que ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • Esta propiedad se puede caracterizar en términos de direccionalidad , lo que explica la palabra "dirigido": Una relación binaria se llama dirigida (hacia arriba) si para dos cualesquiera hay algo satisfactorio Usar en lugar de da la definición de dirigido hacia abajo , mientras que usar en su lugar da la definición de dirigido hacia arriba . Explícitamente, está dirigido hacia abajo (resp. dirigido hacia arriba ) si y sólo si para todos existe algún "mayor" tal que (resp. tal que ) - donde el elemento "mayor" siempre está en el lado derecho, - que puede ser reescrito como (resp. como ). ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$ ${\displaystyle \,\preceq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$ ${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
3. Cerrado bajo intersecciones finitas (resp.uniones) si la intersección (resp. unión) de dos elementos cualesquiera dees un elemento de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Si está cerrado bajo intersecciones finitas entonces necesariamente está dirigido hacia abajo. Lo contrario es generalmente falso. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. Cerrado hacia arriba oIsotonoen^[6]sio equivalentemente, si siemprey algún conjuntosatisfaceDe manera similar,estácerrado hacia abajosiUn conjunto cerrado hacia arriba (respectivamente, hacia abajo) también se denominaconjunto superiorotrastornado(resp.conjunto inferioroconjunto inferior).). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • La familia que es el cierre hacia arriba de es la única familia de conjuntos de isótonos más pequeña (con respecto a ) que tiene como subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Muchas de las propiedades definidas anteriormente y a continuación, como "adecuado" y "dirigido hacia abajo", no dependen de ello, por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utilizan dichos términos. Las definiciones que implican estar "cerrado hacia arriba ", como la de "filtrar activado ", dependen del conjunto, por lo que se debe mencionar el conjunto si no queda claro por el contexto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una familia es/es un(a): ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. Ideal ^[17][18]sies cerrado hacia abajo y cerrado bajo uniones finitas. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. Ideal dual en^[19]siestá cerrado hacia arribay también cerrado bajo intersecciones finitas. De manera equivalente,es un ideal dual si para todos^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • Explicación de la palabra "dual": Una familia es un ideal dual (resp. un ideal) si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$dual de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$ los cuales es la familia
     $${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$
     es un ideal (resp. un ideal dual) en En otras palabras, ideal dual significa " dual de un ideal ". El dual del dual es la familia original, es decir ^[17] ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$
3. Filtrar en^[19][8]sies un ideal dual adecuado enEs decir, un filtro enes un subconjunto no vacío deque está cerrado bajo intersecciones finitas y cerrado hacia arriba enEquivalentemente, es un prefiltro que está cerrado hacia arriba enIn En palabras, un filtro enes una familia de conjuntos sobrelos cuales (1) no está vacío (o, de manera equivalente, contiene), (2) está cerrado bajo intersecciones finitas, (3) está cerrado hacia arribay (4) no tiene el conjunto vacío como elemento. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$
   • Advertencia : algunos autores, particularmente algebristas, utilizan "filtro" para referirse a un ideal dual; otros, particularmente los topólogos, usan "filtro" para referirse a un ideal dual adecuado / no degenerado . ^[21] Se recomienda que los lectores siempre comprueben cómo se define "filtro" al leer literatura matemática. Sin embargo, las definiciones de "ultrafiltro", "prefiltro" y "subbase de filtro" siempre requieren que no haya degeneración. Este artículo utiliza la definición original de "filtro" de Henri Cartan , ^{[1] [22]} que requería no degeneración.
   • El conjunto de potencia es el único dual ideal que no es también un filtro. Excluir de la definición de "filtro" en topología tiene el mismo beneficio que excluir de la definición de " número primo ": evita la necesidad de especificar "no degenerado" (el análogo de "no unitario " o "no- " ) en muchos resultados importantes, lo que hace que sus declaraciones sean menos incómodas. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$
4. Prefiltro obase del filtro^[8][23]sies adecuado y está dirigido hacia abajo. De manera equivalente,se denomina prefiltro si su cierre hacia arribaes un filtro. También se puede definir como cualquier familia que equivale aalgúnfiltro.^[9] Una familia adecuadaes un prefiltro si y sólo si^[9]Una familia es un prefiltro si y sólo si lo mismo ocurre con su cierre ascendente. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Si es un prefiltro, entonces su cierre hacia arriba es el único filtro más pequeño (en relación con) que contiene y se llama filtro generado por. Se dice que un filtro es generado por un prefiltro si en el que se llama base de filtro para ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • A diferencia de un filtro, un prefiltro no está necesariamente cerrado bajo intersecciones finitas.
5. π –sistema siestá cerrado bajo intersecciones finitas. Cada familia no vacíaestá contenida en unsistemaπsistema π generado porel cual a veces se denota porEs igual a la intersección de todosπque contieneny también al conjunto de todas las intersecciones finitas posibles de conjuntos. de: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • Un sistema π es un prefiltro si y sólo si es adecuado. Cada filtro es un sistema π adecuado y cada sistema π adecuado es un prefiltro, pero lo contrario no se cumple en general.
   • Un prefiltro es equivalente al sistema π generado por él y ambas familias generan el mismo filtro en ${\displaystyle X.}$
6. Filtre la subbase ^[8][24]ycentrada^[9]sicumplealguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$tiene la propiedad de intersección finita , lo que significa que la intersección de cualquier familia finita de (uno o más) conjuntos no está vacía; explícitamente, esto significa que siempre que entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. El sistema π generado por es propio; eso es, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. El sistema π generado por es un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún prefiltro.
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un subconjunto de algún filtro. ^[10]
   • Supongamos que es una subbase de filtro. Luego hay un filtro único más pequeño (relativo a) que contiene llamado ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ yse dice quees una subbase de filtro paraeste filtro. Este filtro es igual a la intersección de todos los filtrosque son superconjuntos deElπgenerado pordenotado porserá un prefiltro y un subconjunto de Además, el filtro generado pores igual al cierre ascendente designificado^[9]Sin embargo,siy solo sies un prefiltro (aunquesiempre es una subbase de filtro cerrada haciaarriba). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • Un prefiltro  más pequeño (es decir, el más pequeño en relación con  ) que contiene una subbase de filtro existirá solo en determinadas circunstancias. Existe, por ejemplo, si la placa base de filtro es también un prefiltro. También existe si el filtro (o equivalentemente, el sistema π ) generado por es principal, en cuyo caso es el prefiltro más pequeño único que contiene. De lo contrario, en general, es posible que no exista un prefiltro  más pequeño que contenga . Por esta razón, algunos autores pueden referirse al sistema π generado por como ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$el prefiltro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Sin embargo, si existe un prefiltro más pequeño (digamos que se denota pornoesnecesariamente igual al "prefiltro generado por B {\displaystyle {\mathcal {B}}} " (es decir,es posible). Y si la subbase del filtrotambién es un prefiltro pero no unπentonces, desafortunadamente, "el prefiltro generado por este prefiltro" (es decir,) no lo será(es decir,es posible incluso cuandosea un prefiltro), razón por la cual este artículo preferirá la terminología precisa e inequívoca de "elsistema π generado por". ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. Subfiltro de un filtroy quees un ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$superfiltro de^[17][25]sies un filtro ydónde para filtros, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • Es importante destacar que la expresión "es un superfiltro de" es para los filtros el análogo de "es una subsecuencia de". Entonces, a pesar de tener el prefijo "sub" en común, "es un subfiltro de" es en realidad lo inverso de "es una subsecuencia de". Sin embargo, también se puede escribir lo que se describe diciendo " está subordinado a ". Con esta terminología, "está subordinado a" se convierte para filtros (y también para prefiltros) en el análogo de "es una subsecuencia de", ^[26] que hace que esta sea una situación en la que puede resultar útil utilizar el término "subordinado" y el símbolo . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \,\vdash \,}$

No hay prefiltros en (ni hay redes valoradas en ), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que siempre que esta suposición sea necesaria. ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$

Ejemplos básicos

Ejemplos nombrados

• El conjunto singleton se llama indiscreto o ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$filtro trivial en ${\displaystyle X.}$^[27][28]Es elfiltromínimoporque es un subconjunto de cada filtro en; sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• El ideal dual también se llama filtro degenerado en ^[20] (a pesar de no ser realmente un filtro). Es el único dual ideal que no es un filtro. ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio topológico y entonces el filtro de vecindad en es un filtro en Por definición, una familia se llama base de vecindad (resp. subbase de vecindad ) en si y solo si es un prefiltro (rep. es una subbase de filtro) y el El filtro que genera es igual al filtro de vecindad La subfamilia de vecindades abiertas es una base de filtro para Ambos prefiltros también forman una base para las topologías y la topología generada es más basta que Este ejemplo generaliza inmediatamente desde vecindades de puntos a vecindades de no vacíos subconjuntos ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau (x)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es unprefiltro elemental ^[29]sipara alguna secuencia de puntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es unfiltro elemental o unfiltro secuencial en^[30]sies un filtrogenerado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generado por una secuencia que finalmente no es constantenoun ultrafiltro.^[31]Cada filtro principal en un conjunto contable es secuencial al igual que cada filtro cofinito en un conjunto contablemente infinito.^[20]La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial.^[20] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en es finito) es propio si y sólo si es infinito (o equivalentemente, es infinito), en cuyo caso se conoce un filtro conocido como filtro de Fréchet o filtro de Fréchet. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$filtro cofinito en^[28][27]Sies finito entonceses igual al ideal dualque no es un filtro. Sies infinita entonces la familiade complementos de conjuntos singleton es una subbase de filtro que genera el filtro de Fréchet.Como con cualquier familia de conjuntosque contengael núcleo del filtro de Fréchetes el conjunto vacío: ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• La intersección de todos los elementos en cualquier familia no vacía es en sí misma un filtro llamado mínimo o límite inferior máximo , por lo que puede denotarse por Said de manera diferente. Debido a que cada filtro tiene como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el filtro más fino/más grande (en relación con ) contenido como un subconjunto de cada miembro de ^[28] ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \ker \mathbb {F} ={\textstyle \bigcap \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • Si son filtros entonces su mínimo es el filtro ^[9] Si son prefiltros entonces es un prefiltro que es más grueso que ambos (es decir, ); de hecho, es uno de los mejores prefiltros , lo que significa que if es un prefiltro tal que entonces necesariamente ^[9] Más generalmente, if son familias no vacías y si entonces y es el elemento mayor de ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {S} ,\leq ).}$
• Let y let El supremo o límite superior mínimo de denotado por es el ideal dual más pequeño (relativo a ) que contiene cada elemento de como un subconjunto; es decir, es el ideal dual más pequeño (relativo a) al contenerlo como un subconjunto. Este ideal dual es dónde está el sistema π generado por As con cualquier familia de conjuntos no vacíos, contenido en algún filtro si y solo si es una subbase de filtro, o de manera equivalente, si y solo si es un filtro en en cuyo caso esta familia es el filtro más pequeño (en relación con) al contener cada elemento de como un subconjunto y necesariamente ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• Let y let El límite supremo o mínimo superior de denotado por si existe, es por definición el filtro más pequeño (en relación con ) que contiene cada elemento de como un subconjunto. Si existe, entonces necesariamente ^[28] (como se definió anteriormente) y también será igual a la intersección de todos los filtros que contienen. Este supremo de existe si y sólo si el ideal dual es un filtro en El límite superior mínimo de una familia de filtros. puede no ser un filtro. ^[28] De hecho, si contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros para los cuales no existe un filtro que contenga ambos. Si no es una subbase de filtro, entonces el supremo de no existe y lo mismo ocurre con su supremo en pero. su supremo en el conjunto de todos los ideales duales existirá (siendo el filtro degenerado ). ^[20] ${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} ={\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigvee \limits _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$
  • Si hay prefiltros (resp. filtros en ), entonces es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si es de malla), en cuyo caso es uno de los prefiltros más gruesos. (resp. el filtro más grueso) que es más fino (con respecto a ) que ambos, esto significa que si hay algún prefiltro (resp. cualquier filtro) tal que entonces necesariamente ^[9], en cuyo caso se denota por ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$

Otros ejemplos

• Let y let que forma un prefiltro y una subbase de filtro que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Debido a que es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene es El sistema π generado por es En particular, el prefiltro más pequeño que contiene la subbase de filtro no es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en El filtro generado por es Los tres π –el sistema genera, y son ejemplos de prefiltros fijos, principales y ultra que son principales en el punto y también son un ultrafiltro en ${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X.}$
• Sea un espacio topológico y defina dónde es necesariamente más fino que ^[32] Si no está vacío (resp. no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas), entonces lo mismo ocurre con Si es un filtro on entonces es un prefiltro pero no necesariamente un filtro on aunque es un filtro on equivalente a ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• El conjunto de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico (no vacío) es un sistema π adecuado y, por tanto, también un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire , entonces el conjunto de todas las intersecciones contables de subconjuntos abiertos densos es un sistema π y un prefiltro que es más fino que Si (con ), entonces el conjunto de todos los que tienen medida de Lebesgue finita es un π propio –sistema y un prefiltro libre que también es un subconjunto adecuado de Los prefiltros y son equivalentes y, por lo tanto, generan el mismo filtro en El prefiltro está contenido adecuadamente, y no es equivalente, al prefiltro que consta de todos los subconjuntos abiertos densos de Puesto que es un Baire espacio , cada intersección contable de conjuntos de es denso (y también es grande y no exiguo), por lo que el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos de es un prefiltro y un sistema π ; también es mejor que, y no equivalente, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$

Ultrafiltros

Existen muchas otras caracterizaciones de "ultrafiltro" y "ultra prefiltro", que se enumeran en el artículo sobre ultrafiltros . En ese artículo también se describen propiedades importantes de los ultrafiltros.

Una familia de conjuntos no vacía es/es un: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ultra ^{[8] [33]} sise cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que (o equivalentemente, tal que ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. Para cada conjunto existe algún conjunto tal que ${\displaystyle S\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}B}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • Esta caracterización de " es ultra" no depende del conjunto, por lo que mencionar el conjunto es opcional cuando se utiliza el término "ultra". ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$
   3. Para cada conjunto (no necesariamente ni siquiera un subconjunto de ) existe algún conjunto tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
9. Prefiltro ultra ^{[8] [33]} si es un prefiltro que también es ultra. De manera equivalente, es una subbase de filtro ultra. Un prefiltro es ultra si y sólo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es máximo en con respecto a lo que significa que ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq ,\,}$
      $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • Aunque esta afirmación es idéntica a la que se proporciona a continuación para los ultrafiltros, aquí simplemente se supone que se trata de un prefiltro; No tiene por qué ser un filtro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$es ultra (y por lo tanto un ultrafiltro).
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Es equivalente a algún ultrafiltro.
   • Una subbase de filtro ultra es necesariamente un prefiltro. Una subbase de filtro es ultra si y sólo si es una subbase de filtro máxima con respecto a (como arriba). ^[17] ${\displaystyle \,\leq \,}$
10. Ultrafiltro en ${\displaystyle X}$^{[8] [33]} si es un filtroque es ultra. De manera equivalente, un ultrafiltro encendidoes un filtroque satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es generado por un ultra prefiltro.
    2. Para cualquier ^[17] ${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$Esta condición se puede reformular como: está dividida por y su dual ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
    4. Para cualquier if then (un filtro con esta propiedad se llama filtro principal ). ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • Esta propiedad se extiende a cualquier unión finita de dos o más conjuntos.
    5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es un filtro máximo activado ; lo que significa que si es un filtro tal que entonces necesariamente (esta igualdad puede ser reemplazada por ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • Si está cerrado hacia arriba, entonces esta caracterización de los ultrafiltros como filtros máximos se puede reformular como: ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$
         $${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • Debido a que la subordinación es para los filtros el análogo de "es una subred/subsecuencia de" (específicamente, "subred" debería significar "subred AA", que se define a continuación), esta caracterización de un ultrafiltro como un "filtro máximamente subordinado" sugiere que un ultrafiltro puede interpretarse como análogo a algún tipo de "red de máxima profundidad" (lo que podría, por ejemplo, significar que "cuando se ve sólo desde " en algún sentido, es indistinguible de sus subredes, como es el caso de cualquier valor neto en un conjunto singleton, por ejemplo), ^{[nota 5]} que es una idea que en realidad las ultranets hacen rigurosa . El lema del ultrafiltro es entonces la afirmación de que cada filtro ("red") tiene algún filtro subordinado ("subred") que es "máximamente subordinado" ("máximamente profundo"). ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle X}$

El lema del ultrafiltro

El siguiente teorema importante se debe a Alfred Tarski (1930). ^[34]

El lema/principio/teorema del ultrafiltro ^[28]  ( Tarski )  :  cada filtro de un conjuntoes un subconjunto de algún ultrafiltro en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Una consecuencia del lema de los ultrafiltros es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. ^[28] Suponiendo los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) , el lema del ultrafiltro se deriva del axioma de elección (en particular del lema de Zorn ), pero es estrictamente más débil que éste. El lema del ultrafiltro implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Si solo se trata de espacios de Hausdorff , entonces la mayoría de los resultados básicos (como los que se encuentran en los cursos introductorios) en Topología (como el teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff y el teorema de la subbase de Alexander ) y en análisis funcional (como el teorema de Hahn-Banach ) pueden ser probado utilizando sólo el lema del ultrafiltro; podría no ser necesaria toda la fuerza del axioma de elección.

granos

El núcleo es útil para clasificar propiedades de prefiltros y otras familias de conjuntos.

El núcleo ^[6] de una familia de conjuntos es la intersección de todos los conjuntos que son elementos de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

Si entonces y este conjunto también es igual al núcleo del sistema π generado por En particular, si es una subbase de filtro, entonces los núcleos de todos los siguientes conjuntos son iguales: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(1) (2) el sistema π generado por y (3) el filtro generado por ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Si es un mapa, entonces las familias equivalentes tienen núcleos iguales. Dos familias principales son equivalentes si y sólo si sus núcleos son iguales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}}){\text{ and }}f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$

Clasificar familias por sus núcleos.

Una familia de conjuntos es: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. Gratis ^[7]sio equivalentemente, siesto puede reformularse como ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$ ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • Un filtro es libre si y sólo si es infinito y contiene el filtro de Fréchet como subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$
3. Fijo sien cuyo casose dice que estáfijo porcualquier punto ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • Cualquier familia fija es necesariamente una subbase filtrante.
4. Principal ^[7]si ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • Una familia principal adecuada de conjuntos es necesariamente un prefiltro.
5. Discreto oPrincipal en ^[27]si ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • El filtro principal en ${\displaystyle x{\text{ on }}X}$ es el filtro Un filtro es principal en si y sólo si ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. Contablemente profundo si siempre es un subconjunto contable, entonces ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

Si hay un filtro principal activado entonces y y también es el prefiltro más pequeño que genera ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Familia de ejemplos: Para cualquier no vacía la familia es libre pero es una subbase de filtro si y solo si no hay unión finita del formulario covers en cuyo caso el filtro que genere también será libre. En particular, es una subbase de filtro si es contable (por ejemplo, los números primos), un conjunto exiguo en un conjunto de medida finita o un subconjunto acotado de Si es un conjunto singleton, entonces es una subbase para el filtro de Fréchet en ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Caracterización de ultraprefiltros fijos

Si una familia de conjuntos es fija (es decir, ), entonces es ultra si y solo si algún elemento de es un conjunto singleton, en cuyo caso necesariamente será un prefiltro. Cada prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal es ultra si y solo si es un conjunto singleton. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

Todo filtro que es principal en un solo punto es un ultrafiltro, y si además es finito, entonces no hay ultrafiltros más que estos. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es libre o es un filtro principal generado por un solo punto.

Proposición  :  si hay un ultrafiltro activado , lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es fijo, o equivalentemente, no libre, es decir ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es principal, es decir ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\in {\mathcal {F}}.}$
3. Algún elemento de es un conjunto finito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
4. Algún elemento de es un conjunto singleton. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
5. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es principal en algún punto de lo que significa para algunos ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\{x\}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$no contiene el filtro Fréchet en ${\displaystyle X.}$
7. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es secuencial. ^[20]

Más fino/más grueso, subordinación y mallado

El preorden que se define a continuación es de fundamental importancia para el uso de prefiltros (y filtros) en topología. Por ejemplo, este preorden se utiliza para definir el equivalente de prefiltro de "subsecuencia", ^[26] donde " " puede interpretarse como " es una subsecuencia de " (por lo que "subordinado a" es el equivalente de prefiltro de "subsecuencia de"). También se utiliza para definir la convergencia del prefiltro en un espacio topológico. La definición de mallas con la que está estrechamente relacionada con el preorden se utiliza en topología para definir puntos de cluster. ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle \,\leq ,}$

Dos familias de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ malla ^[8]y soncompatibles, indicado escribiendosiSino mallan entonces estándisociados. Sientoncesse dice queengranansiengranan, o equivalentemente, si el ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$rastro decual es la familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$

restricción ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

Declarar que lo indicado es más grueso que y más fino que (o subordinado a ) ^{[28] [11] [12] [9] [20]} si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. Definición: Cada contiene algo Explícitamente, esto significa que para cada hay algo que (por lo tanto se cumple). ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\ni C\supseteq F\in {\mathcal {F}}}$
   • Dicho más brevemente en un lenguaje sencillo, si cada conjunto es mayor que algún conjunto aquí, un "conjunto más grande" significa un superconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • En palabras, estados exactamente que son mayores que algunos conjuntos en La equivalencia de (a) y (b) se sigue inmediatamente. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$que es equivalente a ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$que es equivalente a ; ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

y si además está cerrado hacia arriba, lo que significa que entonces esta lista se puede ampliar para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[6]
   • Entonces, en este caso, esta definición de " es más fino que " sería idéntica a la definición topológica de "más fino" si hubieran existido topologías en ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$

Si una familia cerrada hacia arriba es más fina que (es decir, ) pero luego se dice que es estrictamente más fina que y estrictamente más burda que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

Dos familias son comparables si una de ellas es más fina que la otra. ^[28]

Ejemplo : Si es una subsecuencia de entonces está subordinada a en símbolos: y también En lenguaje sencillo, el prefiltro de colas de una subsecuencia siempre está subordinado al de la secuencia original. Para ver esto, sea arbitrario (o equivalentemente, sea arbitrario) y queda por demostrar que este conjunto contiene algo. Para que el conjunto lo contenga es suficiente tener Dado que son números enteros estrictamente crecientes, existe tal que y así se cumple, como deseado. En consecuencia, el lado izquierdo será un subconjunto estricto/adecuado del lado derecho si (por ejemplo) cada punto de es único (es decir, cuando es inyectivo) y es la subsecuencia indexada par porque, en estas condiciones, cada cola (para cada ) de la subsecuencia pertenecerá al filtro del lado derecho pero no al filtro del lado izquierdo. ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$ ${\displaystyle i\leq i_{n}.}$ ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i_{n}\geq i,}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$ ${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$ ${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Por otro ejemplo, si hay alguna familia, siempre se mantiene y, además, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

Una familia no vacía que sea más basta que una subbase de filtro debe ser en sí misma una subbase de filtro. ^[9] Cada subbase de filtro es más basta que tanto el sistema π que genera como el filtro que genera. ^[9]

Si son familias tales que la familia es ultra, entonces necesariamente es ultra. De ello se deduce que cualquier familia que sea equivalente a una familia ultra será necesariamente ultra . En particular, si es un prefiltro, entonces ambos y el filtro que genera son ultra o ninguno es ultra. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$

La relación es reflexiva y transitiva , lo que la convierte en un preorden en ^[35] La relación es antisimétrica pero si tiene más de un punto entonces no es simétrica . ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Familias equivalentes de conjuntos

El preorden induce su relación de equivalencia canónica en donde para todos es equivalente a si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[9] [6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. Los cierres alcistas de son iguales. ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

Dos subconjuntos cerrados hacia arriba (en ) de son equivalentes si y sólo si son iguales. ^[9] Si entonces necesariamente y es equivalente a Cada clase de equivalencia distinta de contiene un representante único (es decir, elemento de la clase de equivalencia) que está cerrado hacia arriba en ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades preservadas entre familias equivalentes

Sea arbitrario y sea cualquier familia de conjuntos. Si son equivalentes (lo que implica que ), entonces para cada una de las afirmaciones/propiedades enumeradas a continuación, o es verdadera para ambas o es falsa para ambas : ^[35] ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. No vacío
2. Adecuado (es decir, no es un elemento) ${\displaystyle \varnothing }$
   • Además, dos familias degeneradas cualesquiera son necesariamente equivalentes.
3. Subbase de filtro
4. Prefiltro
   • En cuyo caso genera el mismo filtro en (es decir, sus cierres ascendentes en son iguales). ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
5. Gratis
6. Principal
7. Ultra
8. Es igual al filtro trivial. ${\displaystyle \{X\}}$
   • En palabras, esto significa que el único subconjunto equivalente al filtro trivial es el filtro trivial. En general, esta conclusión de igualdad no se extiende a filtros no triviales (una excepción es cuando ambas familias son filtros). ${\displaystyle \wp (X)}$
9. Mallas con ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. es mejor que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. es más tosco que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. Es equivalente a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

En la lista anterior falta la palabra "filtro" porque esta propiedad no se conserva por equivalencia. Sin embargo, si los filtros están activados , son equivalentes si y sólo si son iguales; esta caracterización no se extiende a los prefiltros. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X,}$

Equivalencia de prefiltros y subbases de filtro

Si hay un prefiltro activado , las siguientes familias siempre son equivalentes entre sí: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. el π –sistema generado por ; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. el filtro generado por ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

y además, estas tres familias generan el mismo filtro (es decir, los cierres ascendentes de estas familias son iguales). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En particular, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por transitividad, dos prefiltros son equivalentes si y sólo si generan el mismo filtro. ^[9] Cada prefiltro equivale exactamente a un filtro sobre el cual está el filtro que genera (es decir, el cierre hacia arriba del prefiltro). Dicho de otra manera, cada clase de equivalencia de prefiltros contiene exactamente un representante que es un filtro. De esta manera, los filtros pueden considerarse simplemente elementos diferenciados de estas clases de equivalencia de prefiltros. ^[9] ${\displaystyle X,}$

Una subbase de filtro que no sea también prefiltro no puede ser equivalente al prefiltro (o filtro) que genera. En cambio, cada prefiltro equivale al filtro que genera. Esta es la razón por la que los prefiltros pueden, en general, usarse indistintamente con los filtros que generan, mientras que las subbases de filtro no pueden.

Establecer propiedades teóricas y construcciones relevantes para la topología.

Trazar y mallar

Si hay un prefiltro (resp. filtro) entonces el rastro del cual es la familia es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si malla (es decir, ^[28] ), en cuyo caso se dice que el rastro de ser inducido por . La huella es siempre más fina que la familia original; es decir, si es ultra y si es malla, entonces la traza es ultra. Si hay un ultrafiltro activado, entonces el rastro de es un filtro activado si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

Por ejemplo, supongamos que hay un filtro tal que Luego se malla y genera un filtro que es estrictamente más fino que ^[28] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Cuando los prefiltros engranan

Dadas las familias no vacías, la familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

     Dos prefiltros (resp. subbases de filtro) se engranan si y solo si existe un prefiltro (resp. subbase de filtro) tal que y ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

Si el límite superior mínimo de dos filtros existe, entonces este límite superior mínimo es igual a ^[36] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

Imágenes y preimágenes bajo funciones.

En todo momento, habrá mapas entre conjuntos no vacíos. ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

Imágenes de prefiltros

Muchas de las propiedades que pueda tener se conservan bajo imágenes de mapas; Las excepciones notables incluyen estar cerrado hacia arriba, estar cerrado bajo intersecciones finitas y ser un filtro, que no necesariamente se conservan. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Explícitamente, si una de las siguientes propiedades es verdadera, necesariamente también lo será (aunque posiblemente no en el codominio a menos que sea sobreyectiva): ^{[28] [13] [37] [38] [39] [34]} ultra , ultrafiltro, filtro, prefiltro, subbase de filtro, ideal dual, cerrado hacia arriba, propio/no degenerado, ideal, cerrado bajo uniones finitas, cerrado hacia abajo, dirigido hacia arriba. Además, si es un prefiltro, entonces también lo son ambos ^[28] La imagen debajo de un mapa de un conjunto ultra es nuevamente ultra y si es un ultra prefiltro, entonces también lo es. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Si es un filtro, entonces es un filtro en el rango pero es un filtro en el codominio si y sólo si es sobreyectivo. ^[37] En caso contrario es sólo un prefiltro puesto y se debe sacar su cierre hacia arriba para obtener un filtro. El cierre alcista de es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle g(Y),}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$

$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$

${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

Si luego se toma como mapa de inclusión, se muestra que cualquier prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) también es un prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) en ^[28] ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Preimágenes de prefiltros

Dejemos que bajo el supuesto de que sea sobreyectivo : ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro (resp. subbase de filtro, sistema π , cerrado bajo uniones finitas, propio) si y sólo si esto es cierto para ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Sin embargo, si hay un ultrafiltro activado, incluso si es sobreyectivo (lo que sería un prefiltro), es posible que el prefiltro no sea ni ultra ni filtro activado ^[38] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$ 

Si no es sobreyectivo entonces denota la traza de por donde en este caso particular la traza satisface: ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$

$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

Esta última igualdad y el hecho de que la traza sea una familia de conjuntos significa que para sacar conclusiones sobre la traza se puede utilizar en lugar de y la sobreyección se puede utilizar en lugar de Por ejemplo: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

      ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro (resp. subbase de filtro, sistema π , propio) si y sólo si esto es cierto para ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

De esta manera, el caso en el que no es (necesariamente) sobreyectiva se puede reducir al caso de una función sobreyectiva (que es un caso que se describió al comienzo de esta subsección). ${\displaystyle f}$

Incluso si hay un ultrafiltro activado si no es sobreyectivo, es posible que eso también degenere . La siguiente caracterización muestra que la degeneración es el único obstáculo. Si es un prefiltro entonces los siguientes son equivalentes: ^{[13] [28] [39]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$es un prefiltro;
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$es un prefiltro;
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$encaja con ${\displaystyle f(X)}$

y además, si es un prefiltro entonces también lo es ^{[13] [28]} ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

Si y si denota el mapa de inclusión, entonces la traza de es igual a ^[28] Esta observación permite que los resultados de esta subsección se apliquen a la investigación de la traza en un conjunto. ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

La subordinación se preserva mediante imágenes y preimágenes.

La relación se conserva tanto en imágenes como en preimágenes de familias de conjuntos. ^[28] Esto significa que para cualquier familia ^[39] ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

Además, las siguientes relaciones siempre se cumplen para cualquier familia de conjuntos : ^[39] ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$

^[39] ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

Si entonces ^[20] ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$

$${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$

^[39][39] ${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g}$

Productos de prefiltros

Supongamos que es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto se denotará por y para cada índice sea ${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod _{}}X_{\bullet }:={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}X_{i},}$ ${\displaystyle i\in I,}$

$${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$

producto^[28]topología del producto ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$

$${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$

los subconjuntos de cilindros^[28]filtro generado por^{[28][28][ 28]} ${\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}S_{i}\subseteq {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$ ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }{\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$

Convergencia, límites y puntos de agrupación

En todas partes, hay un espacio topológico . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Prefiltros versus filtros

Con respecto a mapas y subconjuntos, la propiedad de ser un prefiltro en general se comporta mejor y se conserva mejor que la propiedad de ser un filtro. Por ejemplo, la imagen de un prefiltro bajo algún mapa es nuevamente un prefiltro; pero la imagen de un filtro bajo un mapa no sobreyectivo nunca es un filtro en el codominio, aunque será un prefiltro. La situación es la misma con las preimágenes bajo mapas no inyectivos (incluso si el mapa es sobreyectivo). Si es un subconjunto adecuado, entonces cualquier filtro activado no será un filtro activado, aunque será un prefiltro. ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$

Una ventaja que tienen los filtros es que son representantes distinguidos de su clase de equivalencia (en relación con ), lo que significa que cualquier clase de equivalencia de prefiltros contiene un filtro único. Esta propiedad puede resultar útil cuando se trata de clases de equivalencia de prefiltros (por ejemplo, son útiles en la construcción de terminaciones de espacios uniformes mediante filtros de Cauchy). Las numerosas propiedades que caracterizan a los ultrafiltros también suelen ser útiles. Con ellos se construye, por ejemplo, la compactación Stone-Čech . El uso de ultrafiltros generalmente requiere que se asuma el lema del ultrafiltro. Pero en muchos campos donde se supone el axioma de elección (o el teorema de Hahn-Banach ), el lema del ultrafiltro necesariamente se cumple y no requiere una suposición de suma. ${\displaystyle \,\leq }$

Una nota sobre la intuición

Supongamos que un filtro no principal en un conjunto infinito tiene una propiedad "hacia arriba" (la de estar cerrado hacia arriba) y una propiedad "hacia abajo" (la de estar dirigido hacia abajo). A partir de any, siempre existe alguno que es un subconjunto adecuado de ; esto puede continuar hasta el infinito para obtener una secuencia de conjuntos, siendo cada uno un subconjunto adecuado de. Lo mismo no es cierto si va "hacia arriba", porque si no hay ningún conjunto que contenga un subconjunto adecuado. Así, cuando se trata de limitar el comportamiento (que es un tema central en el campo de la topología), ir "hacia arriba" conduce a un callejón sin salida, mientras que ir "hacia abajo" suele ser fructífero. Entonces, para comprender e intuir cómo los filtros (y los prefiltros) se relacionan con los conceptos de topología, la propiedad "hacia abajo" suele ser en la que hay que concentrarse. Esta es también la razón por la que tantas propiedades topológicas se pueden describir usando solo prefiltros, en lugar de requerir filtros (que solo se diferencian de los prefiltros en que también están cerrados hacia arriba). La propiedad "hacia arriba" de los filtros es menos importante para la intuición topológica, pero a veces es útil tenerla por razones técnicas. Por ejemplo, con respecto a cada filtro, la subbase está contenida en un filtro más pequeño único, pero puede que no exista un prefiltro más pequeño único que la contenga. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle F_{1}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{0}\supsetneq F_{1}\supsetneq \cdots }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F_{i+1}}$ ${\displaystyle F_{i}.}$ ${\displaystyle F_{0}=X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq ,}$

Límites y convergencia

Se dice que      una familia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$converger en ${\displaystyle (X,\tau )}$un puntode^[8]siExplícitamente,significa que cada vecindadcontiene algocomo un subconjunto (es decir,); por lo tanto, se cumple lo siguiente:En palabras, una familia converge a un punto o subconjuntosi y sólo si esmás finoque el filtro de vecindad en Una familiaque converge a un puntose puede indicar escribiendo^[32]y diciendo quees un ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\ni N\supseteq B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x}$límite desi este límitees un punto (y no un subconjunto), entoncestambién se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$punto límite .^[40]Como de costumbre,se define para significar queyes elúnicopunto límite deeso, si también^[32] (Si la notación "" no requiriera también que el punto límitefuera único, entonces elsigno igual= ya no debe garantizarse que seatransitivo). El conjunto de todos los puntos límite dese denota por^[8] ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to z{\text{ then }}z=x.}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {B}}{\text{ or }}\lim {\mathcal {B}}.}$

En las definiciones anteriores, basta con comprobar que es más fina que alguna (o equivalentemente, más fina que cada) base vecina del punto (por ejemplo, como o cuando ). ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau (x)=\{U\in \tau :x\in U\}}$ ${\displaystyle \tau (S)={\textstyle \bigcap \limits _{s\in S}}\tau (s)}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$

Ejemplos

Si es un espacio euclidiano y denota la norma euclidiana (que es la distancia desde el origen, definida como de costumbre), entonces todas las siguientes familias convergen al origen: ${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|x\|}$

1. el prefiltro de todas las bolas abiertas centradas en el origen, donde ${\displaystyle \{B_{r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{r}(z)=\{x:\|x-z\|<r\}.}$
2. el prefiltro de todas las bolas cerradas centradas en el origen, donde este prefiltro es equivalente al anterior. ${\displaystyle \{B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle B_{\leq r}(z)=\{x:\|x-z\|\leq r\}.}$
3. el prefiltro donde hay una unión de esferas centradas en el origen que tienen radios progresivamente más pequeños. Esta familia consta de conjuntos como rangos sobre números enteros positivos. ${\displaystyle \{R\cap B_{\leq r}(0):0<r\leq 1\}}$ ${\displaystyle R=S_{1}\cup S_{1/2}\cup S_{1/3}\cup \cdots }$ ${\displaystyle S_{r}=\{x:\|x\|=r\}}$ ${\displaystyle S_{1/n}\cup S_{1/(n+1)}\cup S_{1/(n+2)}\cup \cdots }$ ${\displaystyle n}$
4. cualquiera de las familias anteriores pero con el radio extendido sobre (o sobre cualquier otra secuencia decreciente positiva) en lugar de sobre todos los reales positivos. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\ldots }$
   • Dibujar o imaginar cualquiera de estas secuencias de conjuntos cuando tiene dimensión sugiere que intuitivamente, estos conjuntos "deberían" converger al origen (y de hecho lo hacen). Esta es la intuición que la definición anterior de "prefiltro convergente" hace rigurosa. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

Aunque se asumió que era la norma euclidiana , el ejemplo anterior sigue siendo válido para cualquier otra norma sobre ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

El único punto límite del prefiltro libre es que cada bola abierta alrededor del origen contiene algún intervalo abierto de esta forma. El prefiltro fijo no converge en ningún punto y, por lo tanto , converge al conjunto desde Sin embargo, no todos los prefiltros fijos convergen a su núcleo. Por ejemplo, el prefiltro fijo también tiene kernel pero no converge (en ) a él. ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(0,r):r>0\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{[0,1+r):r>0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}([0,1])\leq {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \{[0,1+r)\cup (1+1/r,\infty ):r>0\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El prefiltro libre de intervalos no converge (en ) a ningún punto. Lo mismo ocurre con el prefiltro porque es equivalente y las familias equivalentes tienen los mismos límites. De hecho, si hay algún prefiltro en cualquier espacio topológico, entonces para cada Más generalmente, debido a que la única vecindad de es ella misma (es decir, ), cada familia no vacía (incluidas todas las subbases de filtro) converge a ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)=\{X\}}$ ${\displaystyle X.}$

Para cualquier punto su filtro de vecindad siempre converge a. Más generalmente, cualquier base de vecindad en converge a Un punto es siempre un punto límite del ultraprefiltro principal y del ultrafiltro que genera. La familia vacía no converge en ningún punto. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\to x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{\{x\}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\varnothing }$

Propiedades básicas

Si converge en un punto, entonces lo mismo se aplica a cualquier familia más fina que Esto tiene muchas consecuencias importantes. Una consecuencia es que los puntos límite de una familia son los mismos que los puntos límite de su cierre ascendente: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {lim} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$

^{[41 ]}π ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{B}.}$ ${\displaystyle \{(-\infty ,0],[0,\infty )\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$

Dado lo siguiente son equivalentes para un prefiltro ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$converge a ${\displaystyle x.}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$converge a ${\displaystyle x.}$
3. Existe una familia equivalente a que converge a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

Porque la subordinación es transitiva, si y además, para cada ambos y el máximo/ultrafiltro convergen a Así, cada espacio topológico induce una convergencia canónica definida por En el otro extremo, el filtro de vecindad es el filtro más pequeño (es decir, el más grueso) que converge Es decir, cualquier filtro que converja debe contener como un subconjunto. Dicho de otra manera, la familia de filtros a la que converge consiste exactamente en aquellos filtros que contienen como un subconjunto. En consecuencia, cuanto más fina sea la topología, menos prefiltros existirán que tengan puntos límite en ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ then }}\lim {}_{X}{\mathcal {B}}\subseteq \lim {}_{X}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle (x,{\mathcal {B}})\in \xi {\text{ if and only if }}x\in \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Puntos de grupo

Se dice que una familia se agrupa en un punto de si encaja con el filtro de vecindad de es decir, si Explícitamente, esto significa que y cada vecindad de En particular, un punto es un ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle B\cap N\neq \varnothing {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupación o unpunto de acumulación de una familia^[8]siencaja con el filtro de vecindad enEl conjunto de todos los puntos de agrupación dese denota pordónde se puede eliminar el subíndice si no es necesario. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x:\ {\mathcal {B}}\#{\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}},}$

En las definiciones anteriores, basta con comprobar que se malla con alguna (o equivalentemente, se malla con cada) base de vecindad en Cuando es un prefiltro, entonces la definición de " malla " se puede caracterizar enteramente en términos del preorden de subordinación. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x{\text{ or }}S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \,\leq \,.}$

Dos familias de conjuntos equivalentes tienen exactamente los mismos puntos límite y también los mismos puntos de grupo. No importa la topología, para cada uno de los dos y el grupo de ultrafiltro principal en Si se agrupa en un punto, entonces lo mismo se aplica a cualquier familia más gruesa que En consecuencia, los puntos de grupo de una familia son los mismos que los puntos de grupo de su cierre ascendente: ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}~=~\operatorname {cl} _{X}\left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right).}$$

Dado lo siguiente son equivalentes para un prefiltro : ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$grupos en ${\displaystyle x.}$
2. La familia generada por clusters en ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
3. Existe una familia equivalente a la que se agrupa en ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
4. ${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}F.}$^[42]
5. ${\displaystyle X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$para cada barrio de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$
   • Si hay un filtro activado, entonces para cada vecindario. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus N\not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N{\text{ of }}x.}$
6. Existe un prefiltro subordinado a (es decir, ) que converge a ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$
   • Este es el filtro equivalente a " es un punto de agrupación de una secuencia si y sólo si existe una subsecuencia que converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
   • En particular, si es un punto de agrupación de un prefiltro , entonces un prefiltro está subordinado a eso converge a ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x.}$

El conjunto de todos los puntos de agrupación de un prefiltro satisface ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$$

cualquier^{[43] [8].[8]} ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{K\}=\operatorname {cl} _{X}K}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{B\in {\mathcal {B}}}}\operatorname {cl} _{X}B.}$

Propiedades y relaciones

Al igual que las secuencias y las redes, es posible que un prefiltro en un espacio topológico de cardinalidad infinita no tenga puntos de grupo o puntos límite. ^[43]

Si es un punto límite de entonces es necesariamente un punto límite de cualquier familia más fina que (es decir, si entonces ). ^[43] Por el contrario, si es un punto de agrupación de entonces es necesariamente un punto de agrupación de cualquier familia más gruesa que (es decir, si se malla y luego se malla). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)\leq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

Familias equivalentes y subordinación

Dos familias equivalentes cualesquiera se pueden utilizar indistintamente en las definiciones de "límite de" y "agrupar en" porque su equivalencia garantiza que si y sólo si y también que si y sólo si En esencia, el preorden es incapaz de distinguir entre familias equivalentes. Dados dos prefiltros, si se engranan o no se puede caracterizar enteramente en términos de subordinación. Por lo tanto, los dos conceptos más fundamentales relacionados con los (pre)filtros de la topología (es decir, los puntos límite y de agrupación) pueden definirse completamente en términos de la relación de subordinación. Es por eso que el pedido anticipado es de gran importancia al aplicar (pre)filtros a la topología. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\leq {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}\#{\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$

Relaciones de puntos límite y de agrupación y condiciones suficientes.

Todo punto límite de una familia no degenerada es también un punto de agrupación; en símbolos: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$$

^{[19] [43][8]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{K\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{K\}^{\uparrow X}}$

Sin embargo, cada punto de agrupación de un ultraprefiltro es un punto límite. En consecuencia, los puntos límite de un ultra prefiltro son los mismos que sus puntos de agrupación: es decir, un punto dado es un punto de agrupación de un ultra prefiltro si y sólo si converge a ese punto. ^{[33] [44]} Aunque un punto de agrupación de un filtro no tiene por qué ser un punto límite, siempre existirá un filtro más fino que converge a él; en particular, si los grupos en entonces son una subbase de filtro cuyo filtro generado converge a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}=\operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}};}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {N}}(x)=\{B\cap N:B\in {\mathcal {B}},N\in {\mathcal {N}}(x)\}}$ ${\displaystyle x.}$

Si es una subbase de filtro tal que entonces En particular, cualquier punto límite de una subbase de filtro subordinada a es necesariamente también un punto de agrupación de Si es un punto de agrupación de un prefiltro entonces es un prefiltro subordinado a que converge a ${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {S}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}X.}$

Si y si es un prefiltro, entonces cada punto del grupo pertenece y cualquier punto es un punto límite de un filtro en ^[43] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S.}$

Conjuntos primitivos

Un subconjunto se llama ${\displaystyle P\subseteq X}$primitivo ^[45]si es el conjunto de puntos límite de algún ultrafiltro (o equivalentemente, algún ultra prefiltro). Es decir, si existe un ultrafiltrotal quesea igual alcual la recuperación denota el conjunto de puntos límite deDado que los puntos límite son los mismos que los puntos de grupo de los ultraprefiltros, un subconjunto es primitivo si y sólo si es igual al conjuntode puntos de agrupación de algún ultra prefiltro. Por ejemplo, cada subconjunto singleton cerrado es primitivo.^[45]La imagen de un subconjunto primitivo debajo un mapa continuoestá contenida en un subconjunto primitivo de^[45] ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X.}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

Supongamos que son dos subconjuntos primitivos de If es un subconjunto abierto de que se cruza entonces para cualquier ultrafiltro tal que ^[45] Además, si son distintos entonces existen algunos y algunos ultrafiltros tales que y ^[45] ${\displaystyle P,Q\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle P{\text{ and }}Q}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{P}{\text{ and }}{\mathcal {B}}_{Q}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle P=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{P},Q=\operatorname {lim} _{X}{\mathcal {B}}_{Q},S\in {\mathcal {B}}_{P},}$ ${\displaystyle X\setminus S\in {\mathcal {B}}_{Q}.}$

Otros resultados

Si es una red completa entonces: ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle X}$

• El límite inferior de es el mínimo del conjunto de todos los puntos del grupo de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• El límite superior de es el supremo del conjunto de todos los puntos del grupo de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$
• ${\displaystyle B}$es un prefiltro convergente si y sólo si su límite inferior y su límite superior coinciden; en este caso, el valor en el que coinciden es el límite del prefiltro.

Límites de funciones definidas como límites de prefiltros

Supongamos que es un mapa de un conjunto a un espacio topológico y Si es un punto límite (respectivamente, un punto de conglomerado) de entonces se llama punto límite o límite (respectivamente, un punto de conglomerado ) de con respecto a ^[43] Explícitamente, es un límite de con respecto a si y sólo si que puede escribirse como (por definición de esta notación) y expresarse como tender a [ ^46] Si el límite es único, entonces la flecha puede reemplazarse con un signo igual ^[32] El El filtro de vecindario se puede reemplazar con cualquier equivalente familiar y lo mismo ocurre con ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle y\in Y.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)\leq f({\mathcal {B}}),}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to y{\text{ or }}\lim f({\mathcal {B}})\to y{\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle =.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

La definición de red convergente es un caso especial de la definición anterior de límite de una función. Específicamente, si es una red entonces ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}\chi :(I,\leq )\to X}$

$${\displaystyle \chi \to x{\text{ in }}X\quad {\text{ if and only if }}\quad \chi (\operatorname {Tails} (I,\leq ))\to x{\text{ in }}X,}$$

límite de la redde la función ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\operatorname {Tails} (I,\leq )}$

La siguiente tabla muestra cómo se pueden definir varios tipos de límites encontrados en el análisis y la topología en términos de la convergencia de imágenes (bajo ) de prefiltros particulares en el dominio. Esto muestra que los prefiltros proporcionan un marco general en el que muchas de las diversas definiciones de límites adaptar. ^[41] Los límites en la columna más a la izquierda se definen en su forma habitual con sus definiciones obvias. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

En todo momento, sea un mapa entre espacios topológicos. Si es Hausdorff, entonces todas las flechas " " en la tabla pueden reemplazarse con signos iguales " " y " " pueden reemplazarse con " ". ^[32] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{0}\in X,{\text{ and }}y\in Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to y}$ ${\displaystyle =y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})\to y}$ ${\displaystyle \lim f({\mathcal {B}})=y}$

Al definir diferentes prefiltros, se pueden definir muchas otras nociones de límites; Por ejemplo, ${\displaystyle \lim _{\stackrel {|x|\to |x_{0}|}{|x|\neq |x_{0}|}}f(x)\to y.}$

Divergencia al infinito

La divergencia de una función de valor real hasta el infinito se puede definir/caracterizar utilizando los prefiltros

$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty ):=\{(r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}~~{\text{ and }}~~(-\infty ,\mathbb {R} ):=\{(-\infty ,r):r\in \mathbb {R} \},}$$

" "" "), ${\displaystyle f\to \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f\to -\infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f({\mathcal {B}}).}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} ,\infty ):=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle f(x)>r}$ ${\displaystyle f(x)\geq r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ).}$

Entonces, por ejemplo, si, entonces , si y solo si se cumple. De manera similar, si y sólo si o equivalentemente, si y sólo si ${\displaystyle {\mathcal {B}}\,:=\,{\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to \infty }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\infty )\leq f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\to -\infty }$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} )\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right),}$ ${\displaystyle (-\infty ,\mathbb {R} ]\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right).}$

De manera más general, si se valora en (o algún otro espacio vectorial seminormado ) y si entonces si y solo si se cumple, donde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{n}{\text{ or }}Y=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{\geq r}:=\{y\in Y:|y|\geq r\}=Y\setminus B_{<r}}$ ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}|f(x)|\to \infty }$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }\leq f\left({\mathcal {N}}\left(x_{0}\right)\right)}$ ${\displaystyle B_{\geq \mathbb {R} }:=\left\{B_{\geq r}:r\in \mathbb {R} \right\}.}$

Filtros y redes

Esta sección describirá las relaciones entre prefiltros y redes con gran detalle debido a la importancia que tienen estos detalles al aplicar filtros a la topología, particularmente al pasar de utilizar redes a utilizar filtros y viceversa.

Redes para prefiltros

En las definiciones siguientes, la primera afirmación es la definición estándar de un punto límite de una red (respectivamente, un punto de agrupación de una red) y se reformula gradualmente hasta alcanzar el concepto de filtro correspondiente.

Se dice que una red ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$convergen en un puntoescritoyse denomina límite o punto límite de ^[47] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet },}$

1. Definición: Para cada existe alguno tal que si ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle i\leq j\in I{\text{ then }}x_{j}\in N.}$
2. Para cada existe algo tal en el que está contenida la cola de inicio en (es decir, tal que ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq N}$
3. Por cada existe alguno tal que ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle B\subseteq N.}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$
5. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x{\text{ in }}X;}$es decir, el prefiltro converge a ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle x.}$

Como de costumbre, se define en el sentido de eso y es el único punto límite de eso, si también ^[47] ${\displaystyle \lim x_{\bullet }=x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet };}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to z{\text{ then }}z=x.}$

Un punto se llama ${\displaystyle x\in X}$Grupo o punto de acumulación de una redsi se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}(X,\tau )}$

1. Definición: Para todos y cada uno existe algo tal que ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i\leq j\in I}$ ${\displaystyle x_{j}\in N.}$
2. Para todos y cada uno, la cola que comienza en se cruza (es decir, ). ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{\geq i}\cap N\neq \varnothing }$
3. Para todos y cada uno ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{\tau }(x)}$ ${\displaystyle B\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right),B\cap N\neq \varnothing .}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }(x){\text{ and }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$malla (por definición de "malla").
5. ${\displaystyle x}$es un punto de agrupación de ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Si es un mapa y es una red en entonces ^[3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

Prefiltros para redes

Un conjunto puntiagudo es un par que consta de un conjunto no vacío y un elemento. Para cualquier familia, sea ${\displaystyle (S,s)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$

$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\}.}$$

Defina un pedido anticipado canónico en conjuntos puntiagudos declarando ${\displaystyle \,\leq \,}$

$${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

Hay un mapa canónico definido por Si entonces la cola de la asignación que comienza en es ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$ ${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle i_{0}}$ ${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

Aunque en general no es un conjunto parcialmente ordenado, es un conjunto dirigido si (y sólo si) es un prefiltro. Entonces, la elección más inmediata para la definición de "la red inducida por un prefiltro " es la asignación desde dentro ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X.}$

Si hay un prefiltro activado, entonces la red asociada es el mapa. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

eso es, ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

Si hay un prefiltro activado, es una red y el prefiltro asociado es ; es decir: ^{[nota 6]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$

${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$

Si es una red en entonces , en general no es cierto que sea igual a porque, por ejemplo, el dominio de puede tener una cardinalidad completamente diferente a la de (ya que a diferencia del dominio de una red arbitraria en podría tener cualquier cardinalidad). ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$ ${\displaystyle X}$

Proposición  :  si hay un prefiltro activado y luego ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$
2. ${\displaystyle x}$es un punto de conglomerado de si y sólo si es un punto de conglomerado de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Prueba

Recuerde que y que si es una red en entonces (1) y (2) es un punto de conglomerado de si y sólo si es un punto de conglomerado de Al usarlo se deduce que ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\to x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right),}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)\to x\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\to x.}$$

También se deduce que es un punto de conglomerado de si y sólo si es un punto de conglomerado de si y sólo si es un punto de conglomerado de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Red parcialmente ordenada

El dominio de la red canónica en general no está parcialmente ordenado. Sin embargo, en 1955 Bruns y Schmidt descubrieron ^[48] una construcción (detallada aquí: Filtro (teoría de conjuntos)#Red parcialmente ordenada ) que permite que la red canónica tenga un dominio que esté parcialmente ordenado y dirigido; esto fue redescubierto de forma independiente por Albert Wilansky en 1970. ^[3] Debido a que las colas de esta red parcialmente ordenada son idénticas a las colas de (dado que ambas son iguales al prefiltro ), normalmente no se pierde nada al suponer que el dominio de la red asociado con un prefiltro está dirigido y parcialmente ordenado. ^[3] Además, se puede suponer que el dominio parcialmente ordenado también es un orden denso . ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Filtros subordinados y subredes.

La noción de " está subordinado a " (escrita ) es para filtros y prefiltros lo que " es una subsecuencia de " es para secuencias. ^[26] Por ejemplo, if denota el conjunto de colas de y if denota el conjunto de colas de la subsecuencia (donde ) entonces (que por definición significa ) es verdadero pero en general es falso. Si es una red en un espacio topológico y si es el filtro de vecindad en un punto , entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$ ${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{j}}~:~j\geq i{\text{ and }}j\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {N}}(x)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$

Si es un mapa abierto sobreyectivo y es un prefiltro que converge, entonces existe un prefiltro tal que y es equivalente a (es decir, ). ^[49] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}}$

Análogos de subordinación de resultados que involucran subsecuencias.

Los siguientes resultados son análogos de prefiltro de declaraciones que involucran subsecuencias. ^[50] La condición " " que también está escrita es análoga a " es una subsecuencia de " Así que " más fino que " y " subordinado a " es el análogo prefiltro de " subsecuencia de " . Algunas personas prefieren decir "subordinado a" en lugar de "más fino que" porque recuerda más a "subsecuencia de". ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Proposición ^{[50] [43]}  —  Sea un prefiltro y sea ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$

1. Supongamos que es un prefiltro tal que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}.}$
   1. Si ^{[prueba 1]} ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ then }}{\mathcal {C}}\to x.}$
      • Esto es lo análogo a "si una secuencia converge, entonces también lo hace cada subsecuencia". ${\displaystyle x}$
   2. Si es un punto de conglomerado de entonces es un punto de conglomerado de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
      • Este es el análogo de "si es un punto de agrupación de alguna subsecuencia, entonces es un punto de agrupación de la secuencia original". ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$si y sólo si para cualquier prefiltro más fino existe algún prefiltro aún más fino tal que ^[43] ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x.}$
   • Este es el análogo de "una secuencia converge a si y sólo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge a " ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle x}$es un punto de agrupación de si y sólo si existe algún prefiltro más fino tal que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to x.}$
   • Este es el análogo de la siguiente afirmación falsa : " es un punto de agrupación de una secuencia si y sólo si tiene una subsecuencia que converge a " (es decir, si y sólo si es un límite subsiguiente ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
   • La analogía para las secuencias es falsa ya que hay una topología de Hausdorff y una secuencia en este espacio (ambas definidas aquí ^{[nota 7] [51]} ) que se agrupa en pero que tampoco tiene ninguna subsecuencia que converja en ^[52] ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

No equivalencia de subredes y filtros subordinados

Subredes en el sentido de Willard y subredes en el sentido de Kelley son las definiciones más utilizadas de " subred ". ^[53] La primera definición de subred ("Kelley-subred") fue introducida por John L. Kelley en 1955. ^[53] Stephen Willard introdujo en 1970 su propia variante ("Willard-subred") de la definición de subred de Kelley. ^[53] Las subredes AA fueron introducidas de forma independiente por Smiley (1957), Aarnes y Andenaes (1972) y Murdeshwar (1983); Aarnes y Andenaes estudiaron con gran detalle las subredes AA, pero no se utilizan con frecuencia. ^[53]

Un subconjunto de un espacio reservado es ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle (I,\leq )}$frecuente o cofinal ensi para cadaexiste algotal queIfcontiene una cola deentoncesse dice que es ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle i\leq r.}$ ${\displaystyle R\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$eventualmente en}}; explícitamente, esto significa que existe algotal que(es decir,para todos losque satisfacen). Un subconjunto es eventual si y sólo si su complemento no es frecuente (lo que se denomina ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle I_{\geq i}\subseteq R}$ ${\displaystyle j\in R}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle i\leq j}$poco frecuente ).^[53] Un mapaentre dos conjuntos preordenados es ${\displaystyle h:A\to I}$orden-preservar si siemprese satisfaceentonces ${\displaystyle a,b\in A}$ ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle h(a)\leq h(b).}$

Definiciones : Sean redes. Entonces ^[53] ${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unWillard: subred deo unasubred en el sentido de Willardsi existe un mapa que preserva el ordeny quees cofinal en ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$ ${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unKelley: subred deo unasubred en el sentido de Kelleysi existe un mapatal quey siempre quesea eventual enentonceses eventual en ${\displaystyle N_{\bullet }}$ ${\displaystyle h~:~A\to I}$ ${\displaystyle S=N\circ h}$ ${\displaystyle E\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle h^{-1}(E)}$ ${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$es unAA–subred deo unasubred en el sentido de Aarnes y Andenaessi se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. Si es eventual en es eventual en ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$ ${\displaystyle A.}$
   4. Para cualquier malla de subconjunto, entonces también ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

Kelley no requirió que el mapa preservara el orden, mientras que la definición de una subred AA elimina por completo cualquier mapa entre los dominios de las dos redes y en su lugar se centra completamente en el codominio común de las redes. Cada subred Willard es una subred Kelley y ambas son subredes AA. ^[53] En particular, si es una subred Willard o una subred Kelley de entonces ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

Ejemplo: Si y es una secuencia constante y si y entonces es una subred AA de pero no es una subred Willard ni una subred Kelley de ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle A=\{1\}}$ ${\displaystyle s_{1}:=x_{1}}$ ${\displaystyle \left(s_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Las subredes AA tienen una caracterización definitoria que muestra inmediatamente que son totalmente intercambiables con filtros subordinados. ^{[53] [54]} Explícitamente, lo que se quiere decir es que la siguiente afirmación es cierta para las subredes AA:

     Si hay prefiltros, entonces si y solo si es una subred AA de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Si "AA–subred" se reemplaza por "Willard–subred" o "Kelley–subred", la afirmación anterior se vuelve falsa . En particular, como demuestra este contraejemplo , el problema es que la siguiente afirmación es, en general, falsa:

     Declaración falsa : si los prefiltros son tales queson una subred Kelley de ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

Dado que cada subred de Willard es una subred de Kelley, esta afirmación sigue siendo falsa si la palabra "subred de Kelley" se reemplaza por "subred de Willard".

Si "subred" se define como Willard-subred o Kelley-subred, entonces las redes y los filtros no son completamente intercambiables porque existe una relación filtro-filtro subordinado que no se puede expresar en términos de una relación red-subred entre los dos. redes inducidas. En particular, el problema es que las subredes Kelley y Willard no son completamente intercambiables con filtros subordinados. Si no se utiliza la noción de "subred" o si "subred" se define como AA-subred, entonces esto deja de ser un problema y, por lo tanto, resulta correcto decir que las redes y los filtros son intercambiables. A pesar de que las subredes AA no tienen el problema que tienen las subredes Willard y Kelley, no se utilizan ni se conocen ampliamente. ^{[53] [54]}

Topologías y prefiltros

En todas partes, hay un espacio topológico . ${\displaystyle (X,\tau )}$

Ejemplos de relaciones entre filtros y topologías

Bases y prefiltros

Sea una familia de conjuntos que cubre y define para cada La definición de una base para alguna topología se puede reformular inmediatamente como: es una base para alguna topología en si y solo si es una base de filtro para cada Si es una topología en y luego las definiciones de es una base (resp. subbase ) se pueden reformular como: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}=\{B\in {\mathcal {B}}~:~x\in B\}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

      ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base (resp. subbase) para si y solo si para cada es una base de filtro (resp. subbase de filtro) que genera el filtro de vecindad de en ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}_{x}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle x.}$

Filtros de barrio

El ejemplo arquetípico de filtro es el conjunto de todas las vecindades de un punto en un espacio topológico. Cualquier base de vecindad de un punto (o de un subconjunto de) un espacio topológico es un prefiltro. De hecho, la definición de base de vecindad puede reformularse de manera equivalente como: "una base de vecindad es cualquier prefiltro que sea equivalente al filtro de vecindad".

Las bases de vecindario en puntos son ejemplos de prefiltros que son fijos pero que pueden ser principales o no. Si tiene su topología habitual y si entonces cualquier base de filtro de vecindad de está fijada por (de hecho, es incluso cierto que ) pero no es principal ya que , por el contrario, un espacio topológico tiene la topología discreta si y sólo si el filtro de vecindad de cada punto es un filtro principal generado exactamente por un punto. Esto muestra que un filtro no principal en un conjunto infinito no es necesariamente gratuito. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}\not \in {\mathcal {B}}.}$

El filtro de vecindad de cada punto en el espacio topológico es fijo ya que su núcleo contiene (y posiblemente otros puntos si, por ejemplo, no es un espacio T 1 ). Esto también es válido para cualquier base de vecindad en Para cualquier punto en un espacio T 1 (por ejemplo, un espacio de Hausdorff ), el núcleo del filtro de vecindad es igual al conjunto singleton ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}.}$

Sin embargo, es posible que un filtro de vecindad en un punto sea principal pero no discreto (es decir, no principal en un solo punto). Una base de vecindad de un punto en un espacio topológico es principal si y sólo si el núcleo de es un conjunto abierto. Si además el espacio es T 1 entonces esta base es principal si y sólo si es un conjunto abierto. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Generando topologías a partir de filtros y prefiltros.

Supongamos que no está vacío (y ). Si hay un filtro activado, entonces hay una topología activada, pero lo contrario es, en general, falso. Esto muestra que, en cierto sentido, los filtros son casi topologías. Las topologías de la forma en la que hay un ultrafiltro son una subclase aún más especializada de dichas topologías; tienen la propiedad de que todo subconjunto adecuado es abierto o cerrado, pero (a diferencia de la topología discreta ) nunca ambos. Estos espacios son, en particular, ejemplos de espacios de puertas . ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq X}$

Si es un prefiltro (resp. subbase de filtro, π –sistema, propio) entonces lo mismo es cierto para ambos y el conjunto de todas las uniones posibles de uno o más elementos de Si está cerrado bajo intersecciones finitas, entonces el conjunto es una topología en siendo ambos bases para ello. Si el sistema π cubre entonces ambos también son bases para Si es una topología entonces es un prefiltro (o equivalentemente, un sistema π ) si y solo si tiene la propiedad de intersección finita (es decir, es una subbase de filtro) , en cuyo caso un subconjunto será una base para si y solo si es equivalente a, en cuyo caso será un prefiltro. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}=\{\varnothing ,X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X\}\cup {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}\{X\}\cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\cup }{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle \tau \setminus \{\varnothing \},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\setminus \{\varnothing \}}$

Propiedades topológicas y prefiltros.

Barrios y topologías

El filtro de vecindad de un subconjunto no vacío en un espacio topológico es igual a la intersección de todos los filtros de vecindad de todos los puntos en ^[55] Un subconjunto está abierto en si y sólo si siempre hay un filtro activado y luego ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to s{\text{ in }}X{\text{ implies }}S\in {\mathcal {F}}.}$

Supongamos que hay topologías en Then es mejor que (es decir, ) si y solo si siempre hay un filtro en si entonces ^[45] En consecuencia, si y solo si para cada filtro y cada si y solo si ^[32] Sin embargo, es posible que mientras también para cada filtro converge a algún punto de si y solo si converge a algún punto de ^[32] ${\displaystyle \sigma {\text{ and }}\tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \subseteq \tau }$ ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma ).}$ ${\displaystyle \sigma =\tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle x\in X,{\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle \sigma \neq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X,{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\sigma )}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X{\text{ in }}(X,\tau ).}$

Cierre

Si es un prefiltro en un subconjunto , entonces cada punto del grupo pertenece a ^[44] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S.}$

Si es un subconjunto no vacío, entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}S\subseteq X}$

1. ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}S}$
2. ${\displaystyle x}$es un punto límite de un prefiltro en Explícitamente: existe un prefiltro tal que ^[50] ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$
3. ${\displaystyle x}$es un punto límite de un filtro en ^[44] ${\displaystyle S.}$
4. Existe un prefiltro tal que ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$
5. El prefiltro se engrana con el filtro de vecindad. Dicho de otra manera, es un punto de agrupación del prefiltro. ${\displaystyle \{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{S\}.}$
6. El prefiltro se acopla con alguna (o equivalentemente, con cada) base de filtro para (es decir, con cada base de vecindad en ). ${\displaystyle \{S\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle x}$es un punto límite de ${\displaystyle S{\text{ in }}X.}$
2. Existe un prefiltro tal que ^[50] ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (S){\text{ on }}\{S\}\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X.}$

Conjuntos cerrados

Si no está vacío entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle S\subseteq X}$

1. ${\displaystyle S}$es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle X.}$
2. Si hay un prefiltro activado tal que entonces ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$
3. Si hay un prefiltro tal que hay puntos de acumulación de entonces ^[50] ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {F}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}X,}$ ${\displaystyle x\in S.}$
4. Si es tal que el filtro de vecindad encaja entonces ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle \{S\}}$ ${\displaystyle x\in S.}$

hausdorffness

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$es un espacio de Hausdorff .
2. Cada prefiltro activado converge como máximo a un punto en ^[8] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. La declaración anterior pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por cualquiera de las siguientes: filtro, ultra prefiltro, ultrafiltro. ^[8]

Compacidad

Como se analiza en este artículo , el lema del ultrafiltro está estrechamente relacionado con muchos teoremas importantes relacionados con la compacidad.

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle (X,\tau )}$Es un espacio compacto .
2. Cada ultrafiltro converge a al menos un punto en ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Que esta condición implica compacidad se puede demostrar utilizando únicamente el lema del ultrafiltro. Esa compacidad implica que esta condición se puede probar sin el lema del ultrafiltro (o incluso el axioma de elección).
3. La declaración anterior pero con la palabra "ultrafiltro" reemplazada por "ultra prefiltro". ^[8]
4. Para cada filtro existe un filtro tal que y converge a algún punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$
5. La declaración anterior pero con cada instancia de la palabra "filtro" reemplazada por: prefiltro.
6. Cada filtro tiene al menos un punto de agrupación en ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Que esta condición es equivalente a la compacidad se puede demostrar utilizando únicamente el lema del ultrafiltro.
7. La declaración anterior pero con la palabra "filtro" reemplazada por "prefiltro". ^[8]
8. Teorema de la subbase de Alexander : Existe una subbase tal que cada cobertura de conjuntos tiene una subcubierta finita. ${\displaystyle {\mathcal {S}}{\text{ for }}\tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
   • Que esta condición es equivalente a la compacidad se puede demostrar utilizando únicamente el lema del ultrafiltro.

Si es el conjunto de todos los complementos de subconjuntos compactos de un espacio topológico dado, entonces hay un filtro si y solo si no es compacto. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Teorema ^[57]  -  Si es un filtro en un espacio compacto y es el conjunto de puntos de conglomerado de entonces cada vecindad de pertenece. Por lo tanto, un filtro en un espacio compacto de Hausdorff converge si y solo si tiene un único punto de conglomerado. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Continuidad

Sea un mapa entre espacios topológicos. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (X,\tau ){\text{ and }}(Y,\upsilon ).}$

Dado que los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle x\in X,}$

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$es continuo en ${\displaystyle x.}$
2. Definición: Para cada vecindad de existe alguna vecindad de tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f(x){\text{ in }}Y}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle f(N)\subseteq V.}$
3. ${\displaystyle f({\mathcal {N}}(x))\to f(x){\text{ in }}Y.}$^[52]
4. Si hay un filtro activado tal que entonces ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$
5. La declaración anterior pero con la palabra "filtro" reemplazada por "prefiltro".

Los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle f:X\to Y}$es continuo.
2. Si hay un prefiltro tal que entonces ^[52] ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ in }}X}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}})\to f(x){\text{ in }}Y.}$
3. Si es un punto límite de un prefiltro entonces es un punto límite de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}){\text{ in }}Y.}$
4. Cualquiera de las dos declaraciones anteriores pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".

Si un prefiltro es un punto de grupo es continuo, entonces es un punto de grupo en el prefiltro ^[45] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},{\text{ and }}f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

Un subconjunto de un espacio topológico es denso en si y sólo si para cada la traza del filtro de vecindad a lo largo no contiene el conjunto vacío (en cuyo caso será un filtro en ). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Supongamos que es un mapa continuo en un espacio regular de Hausdorff y que es un subconjunto denso de un espacio topológico. Entonces tiene una extensión continua si y sólo si para cada uno el prefiltro converge a algún punto en Además, esta extensión continua será única siempre que exista. ^[58] ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {N}}_{X}(x){\big \vert }_{D}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$

Productos

Supongamos que es una familia no vacía de espacios topológicos no vacíos y que es una familia de prefiltros donde cada uno es un prefiltro. Entonces el producto de estos prefiltros (definidos anteriormente) es un prefiltro en el espacio producto que, como de costumbre, está dotado de La topología del producto . ${\displaystyle X_{\bullet }:=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$

Si entonces si y solo si ${\displaystyle x_{\bullet }:=\left(x_{i}\right)_{i\in I}\in {\textstyle \prod }X_{\bullet },}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }\to x_{\bullet }{\text{ in }}{\textstyle \prod }X_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\to x_{i}{\text{ in }}X_{i}{\text{ for every }}i\in I.}$

Supongamos que son espacios topológicos, es un prefiltro al tener como punto de conglomerado y es un prefiltro al tener como punto de conglomerado. Entonces hay un punto de agrupación de en el espacio del producto ^[45] Sin embargo, si entonces existen secuencias tales que ambas secuencias tienen un punto de agrupación en pero la secuencia no tiene un punto de agrupación en ^[45] ${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X{\text{ and }}\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(x_{i},y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y.}$

Aplicación de ejemplo: el lema del ultrafiltro junto con los axiomas de ZF implican el teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff:

Ejemplos de aplicaciones de prefiltros

Uniformidades y prefiltros de Cauchy

Un espacio uniforme es un conjunto dotado de un filtro que tiene determinadas propiedades. Una base o sistema fundamental de entornos es un prefiltro sobre cuyo cierre hacia arriba se encuentra un espacio uniforme. Un prefiltro en un espacio uniforme con uniformidad se llama prefiltro de Cauchy si para cada entorno existe algo que es pequeño , lo que significa que un filtro de Cauchy mínimo es un elemento mínimo (con respecto a o equivalentemente a ) del conjunto de todos Filtros de Cauchy en Ejemplos de filtros de Cauchy mínimos incluyen el filtro de vecindad de cualquier punto. Cada filtro convergente en un espacio uniforme es Cauchy. Además, cada punto de agrupación de un filtro de Cauchy es un punto límite. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\times B\subseteq N.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \,\subseteq }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Un espacio uniforme se llama completo (resp. secuencialmente completo ) si cada prefiltro de Cauchy (resp. cada prefiltro de Cauchy elemental) converge en al menos un punto de (reemplazar todas las instancias de la palabra "prefiltro" con "filtro" da como resultado una declaración equivalente ). Todo espacio uniforme compacto es completo porque cualquier filtro de Cauchy tiene un punto de agrupación (por compacidad), que necesariamente es también un punto límite (ya que el filtro es Cauchy). ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios uniformes fueron el resultado de intentos de generalizar nociones como "continuidad uniforme" y "convergencia uniforme" que están presentes en los espacios métricos. Cada espacio vectorial topológico y, más generalmente, cada grupo topológico puede convertirse en un espacio uniforme de forma canónica. Cada uniformidad también genera una topología canónica inducida. Los filtros y prefiltros juegan un papel importante en la teoría de espacios uniformes. Por ejemplo, la finalización de un espacio uniforme de Hausdorff (incluso si no es metrizable ) normalmente se construye utilizando filtros mínimos de Cauchy. Las redes son menos ideales para esta construcción porque sus dominios son extremadamente variados (por ejemplo, la clase de todas las redes de Cauchy no es un conjunto); Las secuencias no se pueden utilizar en el caso general porque la topología puede no ser metrizable, contable en primer lugar o incluso secuencial . El conjunto de todos los filtros mínimos de Cauchy en un espacio vectorial topológico (TVS) de Hausdorff se puede convertir en un espacio vectorial y topologíarse de tal manera que se complete ( con la asignación convirtiéndose en una incrustación topológica lineal que se identifica como un subespacio vectorial denso). de esta finalización). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$

De manera más general, unEl espacio de Cauchy es un parque consta de un conjuntouna familiade filtros (adecuados), cuyos miembros se declaran como "filtros de Cauchy", y tienen todas las propiedades siguientes: ${\displaystyle (X,{\mathfrak {C}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}\subseteq \wp (\wp (X))}$

1. Para cada uno, el ultrafiltro discreto en es un elemento de ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}.}$
2. Si es un subconjunto de un filtro adecuado , entonces ${\displaystyle F\in {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G\in {\mathfrak {C}}.}$
3. Si y si cada miembro de interseca a cada miembro de entonces ${\displaystyle F,G\in {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle F\cap G\in {\mathfrak {C}}.}$

El conjunto de todos los filtros de Cauchy en un espacio uniforme forma un espacio de Cauchy. Todo espacio de Cauchy es también un espacio de convergencia . Un mapa entre dos espacios de Cauchy se llama Cauchy continuo si la imagen de cada filtro de Cauchy es un filtro de Cauchy. A diferencia de la categoría de espacios topológicos , la categoría de espacios de Cauchy y mapas continuos de Cauchy es cartesiana cerrada y contiene la categoría de espacios de proximidad . . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Topología del conjunto de prefiltros

A partir de nada más que un conjunto, es posible topología del conjunto. ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle \mathbb {P} :=\operatorname {Prefilters} (X)}$$

${\displaystyle X}$Topología de piedraMarshall Harvey Stone

Para reducir la confusión, este artículo se adherirá a las siguientes convenciones de notación:

• Letras minúsculas para elementos. ${\displaystyle x\in X.}$
• Letras mayúsculas para subconjuntos ${\displaystyle S\subseteq X.}$
• Letras de caligrafía mayúsculas para subconjuntos (o de manera equivalente, para elementos como prefiltros). ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X)),}$
• Letras mayúsculas de doble trazo para subconjuntos ${\displaystyle \mathbb {P} \subseteq \wp (\wp (X)).}$

por cada permiso ${\displaystyle S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \mathbb {O} (S):=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}}$$

^{[nota 8]} ${\displaystyle \mathbb {O} (X)=\mathbb {P} {\text{ and }}\mathbb {O} (\varnothing )=\varnothing .}$ ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X}$

$${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~R\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}~\subseteq ~\left\{{\mathcal {B}}\in \wp (\wp (X))~:~S\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}.}$$

De esta inclusión, es posible deducir todas las inclusiones de subconjuntos que se muestran a continuación con la excepción de ^{[nota 9]} Para todos ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S).}$ ${\displaystyle R\subseteq S\subseteq X,}$

$${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~=~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R)\cup \mathbb {O} (S)~\subseteq ~\mathbb {O} (R\cup S)}$$

sistemabasetopología de Stonetopología subespacial ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)=\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ ${\displaystyle \{\mathbb {O} (S)~:~S\subseteq X\}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

A diferencia de la mayoría de las otras construcciones generales de topologías (por ejemplo, el producto , el cociente , las topologías subespaciales , etc.), esta topología se definió sin usar nada más que el conjunto, no había estructuras o suposiciones preexistentes , por lo que esta topología es completamente independiente de todo lo demás excepto (y sus subconjuntos). ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Se pueden utilizar los siguientes criterios para comprobar los puntos de cierre y los barrios. Si entonces: ${\displaystyle \mathbb {B} \subseteq \mathbb {P} {\text{ and }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {P} }$

• Cierre en ${\displaystyle \mathbb {P} }$ : pertenece al cierre de si y sólo si ${\displaystyle \ {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {B} {\text{ in }}\mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\textstyle \bigcup \limits _{{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$
• Barrios en ${\displaystyle \mathbb {P} }$ : es un barrio de si y sólo si existe algo tal que (es decir, tal que para todos ). ${\displaystyle \ \mathbb {B} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ in }}\mathbb {P} }$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} (F)=\left\{{\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ~:~F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right\}\subseteq \mathbb {B} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\in \mathbb {P} ,{\text{ if }}F\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\in \mathbb {B} }$

De ahora en adelante se asumirá que, de lo contrario , la topología no es interesante. ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {P} =\varnothing }$ ${\displaystyle \{\varnothing \},}$

Subespacio de ultrafiltros

El conjunto de ultrafiltros activado (con la topología subespacial) es un espacio de Piedra , lo que significa que es compacto, Hausdorff y totalmente desconectado . Si tiene una topología discreta, entonces el mapa definido mediante el envío al ultrafiltro principal es una incrustación topológica cuya imagen es un subconjunto denso de (consulte el artículo Compactificación de Stone-Čech para obtener más detalles). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta :X\to \operatorname {UltraFilters} (X),}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$

Relaciones entre las topologías activadas y la topología Stone activada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Cada induce un mapa canónico definido por el cual envía al filtro de vecindad de Si , entonces, si y solo si. Por lo tanto, cada topología puede identificarse con el mapa canónico que permite identificarse canónicamente como un subconjunto de (como nota al margen, ahora es posible colocar sobre y por lo tanto también sobre la topología de la convergencia puntual de modo que ahora tiene sentido hablar de cosas como secuencias de topologías que convergen puntualmente). Para cada, la sobreyección es siempre continua, cerrada y abierta , pero es inyectiva si y sólo si (es decir, un espacio de Kolmogorov ). En particular, para cada topología el mapa es una incrustación topológica (dicho de otra manera, cada espacio de Kolmogorov es un subespacio topológico del espacio de prefiltros). ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {N}}_{\tau }(x),}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x{\text{ in }}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle \tau ,\sigma \in \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle \tau =\sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }={\mathcal {N}}_{\sigma }.}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }\in \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Top} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Func} (X;\mathbb {P} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \in \operatorname {Top} (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \operatorname {image} {\mathcal {N}}_{\tau }}$ ${\displaystyle \tau {\text{ is }}T_{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \tau {\text{ on }}X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\tau }:(X,\tau )\to \mathbb {P} }$

Además, si es un mapa tal que (lo cual es cierto, por ejemplo), entonces para cada conjunto es una vecindad (en la topología subespacial) de ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:X\to \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle x\in \ker {\mathfrak {F}}(x):={\textstyle \bigcap \limits _{F\in {\mathfrak {F}}(x)}}F{\text{ for every }}x\in X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:={\mathcal {N}}_{\tau },}$ ${\displaystyle x\in X{\text{ and }}F\in {\mathfrak {F}}(x),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(F)=\{{\mathfrak {F}}(f):f\in F\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(x){\text{ in }}\operatorname {image} {\mathfrak {F}}.}$

Ver también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos.
• Espacio de convergencia  : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
• Filtración (matemáticas)
• Filtración (teoría de la probabilidad)  : modelo de información disponible en un punto determinado de un proceso aleatorio.
• Filtración (álgebra abstracta)
• Filtro Fréchet  – filtro FrechetPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Filtro genérico  : en teoría de conjuntos, dada una colección de subconjuntos abiertos densos de un poset, un filtro que cumple con todos los conjuntos de esa colección.Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Ideal (teoría de conjuntos)  : familia de conjuntos no vacía que está cerrada bajo uniones y subconjuntos finitos
• Compactación de Stone-Čech # Construcción utilizando ultrafiltros  : un mapa universal desde un espacio topológico X hasta un espacio compacto de Hausdorff βX, de modo que cualquier mapa desde X hasta un espacio compacto de Hausdorff factoriza a través de βX de forma única; si X es Tychonoff, entonces X es un subespacio denso de βXPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• El teorema fundamental de los ultraproductos  – Construcción matemáticaPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Notas

1. Las secuencias y redes en un espacio son mapas de conjuntos dirigidos como el número natural , que en general pueden no tener ninguna relación con el conjunto y, por lo tanto, ellos, y en consecuencia también sus nociones de convergencia, no son intrínsecos a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Técnicamente, cualquier subfamilia infinita de este conjunto de colas es suficiente para caracterizar la convergencia de esta secuencia. Pero en general, a menos que se indique lo contrario, se toma el conjunto de todas las colas a menos que haya alguna razón para hacer lo contrario.
3. De hecho, la convergencia neta se define utilizando filtros de vecindad, mientras que los (pre)filtros son conjuntos dirigidos con respecto a, por lo que es difícil mantener estas nociones completamente separadas. ${\displaystyle \,\supseteq \,,}$
4. Los términos "Base de filtro" y "Filtro" se utilizan si y sólo si ${\displaystyle S\neq \varnothing .}$
5. Por ejemplo, un sentido en el que una red podría interpretarse como "máximamente profunda" es si todas las propiedades importantes relacionadas (como la convergencia, por ejemplo) de cualquier subred están completamente determinadas por en todas las topologías de En este caso y su subred. se vuelven efectivamente indistinguibles (al menos topológicamente) si la información que uno tiene sobre ellos se limita solo a aquello que puede describirse únicamente en términos de conjuntos directamente relacionados (como sus subconjuntos). ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle u_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$
6. La igualdad de conjuntos se cumple de manera más general: si la familia de conjuntos , entonces la familia de colas del mapa (definida por ) es igual a ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing {\text{ satisfies }}\varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$ ${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
7. La topología de se define de la siguiente manera: cada subconjunto de está abierto en esta topología y las vecindades de son todos aquellos subconjuntos que contienen para los cuales existe algún número entero positivo tal que para cada número entero contiene todos, excepto como máximo, un número finito de puntos de . Por ejemplo, el conjunto es una vecindad de Cualquier enumeración diagonal de proporciona una secuencia que se agrupa pero no posee una subsecuencia convergente. Un ejemplo explícito es la inversa de la función de emparejamiento biyectiva de Hopcroft y Ullman que se define por ${\displaystyle X:=[\mathbb {N} \times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle N>0}$ ${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{n\}\times \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle W:=[\{2,3,\ldots \}\times \mathbb {N} ]\cup \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle (0,0).}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (p,q)\mapsto p+{\tfrac {1}{2}}(p+q-1)(p+q-2).}$
8. Como nota al margen, si las definiciones de "filtro" y "prefiltro" no hubieran requerido propiedad, entonces el ideal dual degenerado habría sido un prefiltro de modo que, en particular, con ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {O} (\varnothing )=\{\wp (X)\}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \wp (X)\in \mathbb {O} (S){\text{ for every }}S\subseteq X.}$
9. Esto se debe a que la inclusión es la única en la secuencia siguiente cuya prueba utiliza el supuesto definitorio de que ${\displaystyle \mathbb {O} (R\cap S)~\supseteq ~\mathbb {O} (R)\cap \mathbb {O} (S)}$ ${\displaystyle \mathbb {O} (S)\subseteq \mathbb {P} .}$

Pruebas

1. Por definición, dado que la transitividad implica ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x).}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\geq {\mathcal {N}}(x).\blacksquare }$

Citas

1. Cartan 1937a.
2. Wilansky 2013, pag. 44.
3. Schechter 1996, págs. 155-171.
4. Fernández-Bretón, David J. (22 de diciembre de 2021). "Uso de ultrafiltros para demostrar teoremas de tipo Ramsey". El Mensual Matemático Estadounidense . 129 (2). Informa Reino Unido limitado: 116–131. arXiv : 1711.01304 . doi :10.1080/00029890.2022.2004848. ISSN  0002-9890. S2CID  231592954.
5. Howes 1995, págs. 83–92.
6. Dolecki y Mynard 2016, págs.
7. Dolecki y Mynard 2016, págs.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs.
9. Császár 1978, págs. 53–65.
10. Bourbaki 1989, pág. 58.
11. Schubert 1968, págs. 48–71.
12. Narici y Beckenstein 2011, págs.
13. Dugundji 1966, págs.
14. Dugundji 1966, pag. 215.
15. Wilansky 2013, pag. 5.
16. Dolecki y Mynard 2016, pag. 10.
17. Schechter 1996, págs. 100-130.
18. Császár 1978, págs. 82–91.
19. Dugundji 1966, págs.
20. Dolecki y Mynard 2016, págs. 27–54.
21. Schechter 1996, pág. 100.
22. Cartan 1937b.
23. Császár 1978, págs. 53–65, 82–91.
24. Arkhangel'skii y Ponomarev 1984, págs. 7-8.
25. Joshi 1983, pag. 244.
26. Dugundji 1966, pag. 212.
27. Wilansky 2013, págs.
28. Bourbaki 1989, págs. 57–68.
29. Castillo, Jesús MF; Montalvo, Francisco (enero de 1990), "Un contraejemplo en espacios semimétricos" (PDF) , Extracta Mathematicae , 5 (1): 38–40
30. Schaefer y Wolff 1999, págs. 1-11.
31. Bourbaki 1989, págs. 129-133.
32. Wilansky 2008, págs. 32-35.
33. Dugundji 1966, págs.
34. Jech 2006, págs. 73–89.
35. Császár 1978, págs. 53–65, 82–91, 102–120.
36. Dolecki y Mynard 2016, págs.
37. Dolecki y Mynard 2016, págs.
38. Arkhangel'skii y Ponomarev 1984, págs. 20-22.
39. Császár 1978, págs. 102-120.
40. Bourbaki 1989, págs. 68–83.
41. Dixmier 1984, págs. 13-18.
42. Bourbaki 1989, págs.69.
43. Bourbaki 1989, págs. 68–74.
44. Bourbaki 1989, pag. 70.
45. Bourbaki 1989, págs. 132-133.
46. Dixmier 1984, págs. 14-17.
47. Kelley 1975, págs. 65–72.
48. Bruns G., Schmidt J., Zur Aquivalenz von Moore-Smith-Folgen und Filtern, Matemáticas. Nachr. 13 (1955), 169-186.
49. Dugundji 1966, pag. 220–221.
50. Dugundji 1966, págs.
51. Dugundji 1966, pag. 60.
52. Dugundji 1966, págs.
53. Schechter 1996, págs. 157-168.
54. Clark, Pete L. (18 de octubre de 2016). "Convergencia" (PDF) . math.uga.edu/ . Consultado el 18 de agosto de 2020 .
55. Bourbaki 1989, pag. 129.
56. Bourbaki 1989, pág. 83.
57. Bourbaki 1989, págs. 83–84.
58. Dugundji 1966, págs.216.

Referencias

• Adams, Colin ; Franzosa, Robert (2009). Introducción a la topología: pura y aplicada . Nueva Delhi: Educación Pearson. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovich ; Ponomarev, VI (1984). Fundamentos de Topología General: Problemas y Ejercicios . Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 13. Dordrecht Boston: D. Reidel . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489.
• Berberiano, Sterling K. (1974). Conferencias sobre Análisis Funcional y Teoría del Operador . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 15. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1967]. Topología general 2: Capítulos 5 a 10 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . vol. 4. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Bourbaki, Nicolás (1987) [1981]. Espacios vectoriales topológicos: capítulos 1 a 5 . Elementos matemáticos . Traducido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• Burris, Stanley; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . Springer-Verlag. ISBN 978-0-9880552-0-9. Archivado desde el original el 1 de abril de 2022.
• Cartan, Henri (1937a). "Teoría de los filtros". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 205 : 595–598.
• Cartan, Henri (1937b). "Filtros y ultrafiltros". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 205 : 777–779.
• Confort, William Wistar; Negrepontis, Stylianos (1974). La teoría de los ultrafiltros . vol. 211. Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-06604-2. OCLC  1205452.
• Császár, Ákos (1978). Topología general . Traducido por Császár, Klára. Bristol Inglaterra: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011.
• Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Berberian, SK Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303.
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1988). Operadores lineales . Matemática pura y aplicada. vol. 1. Nueva York: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC  18412261.
• Edwards, Robert E. (1995). Análisis funcional: teoría y aplicaciones . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Howes, Norman R. (23 de junio de 1995). Análisis y topología modernos . Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC  31969970. OL  1272666M.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Jech, Thomas (2006). Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939.
• Joshi, KD (1983). Introducción a la Topología General . Nueva York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 27. Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espacios vectoriales topológicos I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 159. Traducido por Garling, DJH Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. SEÑOR  0248498. OCLC  840293704.
• MacIver R., David (1 de julio de 2004). «Filtros en Análisis y Topología» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de octubre de 2007.(Proporciona una revisión introductoria de los filtros en topología y espacios métricos).
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Espacios vectoriales topológicos . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 53. Cambridge Inglaterra: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Prensa académica. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Schubert, Horst (1968). Topología . Londres: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.