Espacio de proximidad

Estructura que describe una noción de "cercanía" entre subconjuntos

En topología , un espacio de proximidad , también llamado espacio de cercanía , es una axiomatización de la noción intuitiva de "cercanía" que sostienen los espacios de conjunto a conjunto, a diferencia de la noción más conocida de punto a conjunto que caracteriza a los espacios topológicos .

El concepto fue descrito por Frigyes Riesz  (1909) pero ignorado en su momento. ^[1] Fue redescubierto y axiomatizado por VA Efremovič en 1934 bajo el nombre de espacio infinitesimal , pero no publicado hasta 1951. Mientras tanto, AD Wallace  (1941) descubrió una versión del mismo concepto bajo el nombre de espacio de separación .

Definición

Un espacio de proximidad es un conjunto con una relación entre subconjuntos que satisfacen las siguientes propiedades: ${\displaystyle (X,\delta )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$

Para todos los subconjuntos ${\displaystyle A,B,C\subseteq X}$

1. ${\displaystyle A\;\delta \;B}$implica ${\displaystyle B\;\delta \;A}$
2. ${\displaystyle A\;\delta \;B}$implica ${\displaystyle A\neq \varnothing }$
3. ${\displaystyle A\cap B\neq \varnothing }$implica ${\displaystyle A\;\delta \;B}$
4. ${\displaystyle A\;\delta \;(B\cup C)}$implica ( o ) ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ ${\displaystyle A\;\delta \;C}$
5. (Para todos o ) implica ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle A\;\delta \;E}$ ${\displaystyle B\;\delta \;(X\setminus E)}$ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$

La proximidad sin el primer axioma se llama cuasi-proximidad (pero entonces los axiomas 2 y 4 deben enunciarse de manera bilateral).

Si decimos que está cerca o y son próximos ; de lo contrario decimos que y están separados . Decimos que es una vecindad próxima o próxima de escrito si y solo si y están separados. ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A\ll B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus B}$

Las principales propiedades de esta relación de vecindad de conjuntos, enumeradas a continuación, proporcionan una caracterización axiomática alternativa de los espacios de proximidad.

Para todos los subconjuntos ${\displaystyle A,B,C,D\subseteq X}$

1. ${\displaystyle X\ll X}$
2. ${\displaystyle A\ll B}$implica ${\displaystyle A\subseteq B}$
3. ${\displaystyle A\subseteq B\ll C\subseteq D}$implica ${\displaystyle A\ll D}$
4. ( y ) implica ${\displaystyle A\ll B}$ ${\displaystyle A\ll C}$ ${\displaystyle A\ll B\cap C}$
5. ${\displaystyle A\ll B}$implica ${\displaystyle X\setminus B\ll X\setminus A}$
6. ${\displaystyle A\ll B}$implica que existe algo tal que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\ll E\ll B.}$

Un espacio de proximidad se llama separado si implica ${\displaystyle \{x\}\;\delta \;\{y\}}$ ${\displaystyle x=y.}$

Una función de proximidad o proximal es aquella que preserva la cercanía, es decir, dado si en entonces en Equivalentemente, una función es proximal si la función inversa preserva la vecindad proximal. En la misma notación, esto significa que si se cumple en entonces se cumple en ${\displaystyle f:(X,\delta )\to \left(X^{*},\delta ^{*}\right),}$ ${\displaystyle A\;\delta \;B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f[A]\;\delta ^{*}\;f[B]}$ ${\displaystyle X^{*}.}$ ${\displaystyle C\ll ^{*}D}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle f^{-1}[C]\ll f^{-1}[D]}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades

Dado un espacio de proximidad, se puede definir una topología haciendo que sea un operador de clausura de Kuratowski . Si el espacio de proximidad está separado, la topología resultante es Hausdorff . Los mapas de proximidad serán continuos entre las topologías inducidas. ${\displaystyle A\mapsto \left\{x:\{x\}\;\delta \;A\right\}}$

La topología resultante es siempre completamente regular . Esto se puede demostrar imitando las demostraciones habituales del lema de Urysohn , utilizando la última propiedad de vecindades próximas para crear la cadena creciente infinita utilizada para demostrar el lema.

Dado un espacio de Hausdorff compacto, existe un único espacio de proximidad cuya topología correspondiente es la topología dada: es próximo si y solo si sus clausuras se intersecan. De manera más general, las proximidades clasifican las compactificaciones de un espacio de Hausdorff completamente regular. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Un espacio uniforme induce una relación de proximidad al declarar que está cerca si y solo si tiene una intersección no vacía con cada entorno. Los mapas uniformemente continuos serán entonces proximalmente continuos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$

Véase también

• Espacio de Cauchy  : concepto de topología general y análisis
• Espacio de convergencia  – Generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general
• Espacio pretopológico  – Espacio topológico generalizado

Referencias

1. WJ Thron, Contribuciones de Frederic Riesz a los fundamentos de la topología general , en CE Aull y R. Lowen (eds.), Handbook of the History of General Topology , Volumen 1, 21-29, Kluwer 1997.

• Efremovič, VA (1951), "Espacios infinitesimales", Doklady Akademii Nauk SSSR , New Series (en ruso), 76 : 341–343, MR  0040748
• Naimpally, Somashekhar A.; Warrack, Brian D. (1970). Espacios de proximidad . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 59. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-07935-7.Zbl 0206.24601  .
• Riesz, F. (1909), "Stetigkeit und abstrakte Mengenlehre", Rom. 4. Matemáticas. Kongr. 2 : 18–24, JFM  40.0098.07
• Wallace, AD (1941), "Espacios de separación", Ann. of Math. , 2, 42 (3): 687–697, doi :10.2307/1969257, JSTOR  1969257, MR  0004756
• Vita, Luminita; Bridges, Douglas (2001). "Una teoría constructiva de la proximidad de puntos". CiteSeerX  10.1.1.15.1415 .

Enlaces externos

• "Espacio de proximidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]