Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)

Generalización de la acotación

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un conjunto en un espacio vectorial topológico se denomina acotado o acotado por von Neumann si cada entorno del vector cero se puede inflar para incluir el conjunto. Un conjunto que no está acotado se denomina ilimitado .

Los conjuntos acotados son una forma natural de definir topologías polares localmente convexas en los espacios vectoriales de un par dual , ya que el conjunto polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente . El concepto fue introducido por primera vez por John von Neumann y Andrey Kolmogorov en 1935 .

Definición

Supongamos que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre un campo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

Un subconjunto de se denomina acotado por von Neumann o simplemente acotado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

1. Definición : Para cada entorno del origen existe un real tal que ^{[nota 1]} para todos los escalares que satisfacen ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B\subseteq sV}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\geq r.}$
   • Esta fue la definición introducida por John von Neumann en 1935. ^[1]
2. ${\displaystyle B}$es absorbido por todos los alrededores del origen. ^[2]
3. Para cada vecindad del origen existe un escalar tal que ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. Para cada entorno del origen existe un real tal que para todos los escalares que satisfacen ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle sB\subseteq V}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle |s|\leq r.}$
5. Para cada entorno del origen existe un real tal que para todo real ^[3] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle tB\subseteq V}$ ${\displaystyle 0<t\leq r.}$
6. Cualquiera de las afirmaciones (1) a (5) anteriores, pero con la palabra "vecindario" reemplazada por cualquiera de las siguientes: " vecindario equilibrado ", "vecindario equilibrado abierto", "vecindario equilibrado cerrado", "vecindario abierto", "vecindario cerrado".
   • Por ejemplo, la afirmación (2) puede convertirse en: está acotada si y sólo si es absorbida por cada vecindad equilibrada del origen. ^[1] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
   • Si es localmente convexo , entonces el adjetivo "convexo" también puede agregarse a cualquiera de estos 5 reemplazos. ${\displaystyle X}$
7. Para cada secuencia de escalares que converge a y cada secuencia en la secuencia converge a en ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
   • Esta fue la definición de "acotado" que Andrey Kolmogorov utilizó en 1934, que es la misma que la definición introducida por Stanisław Mazur y Władysław Orlicz en 1933 para TVS metrizables. Kolmogorov utilizó esta definición para demostrar que un TVS es seminormable si y solo si tiene un entorno convexo acotado del origen. ^[1]
8. Para cada secuencia en la secuencia converge a en ^[4] ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$
9. Todo subconjunto contable de está acotado (según cualquier condición definitoria distinta de ésta). ^[1] ${\displaystyle B}$

Si se trata de una base de vecindad en el origen, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

10. Cualquiera de las afirmaciones (1) a (5) anteriores, pero con los vecindarios limitados a los que pertenecen a ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • Por ejemplo, la afirmación (3) puede convertirse en: Para cada existe un escalar tal que ${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle B\subseteq sV.}$

Si es un espacio localmente convexo cuya topología está definida por una familia de seminormas continuas , entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

11. ${\displaystyle p(B)}$está acotado para todos ^[1] ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
12. Existe una secuencia de escalares distintos de cero tales que para cada secuencia en la secuencia está acotada (de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta de ésta). ^[1] ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X}$
13. Porque todo está acotado (de acuerdo con cualquier condición definitoria distinta de ésta) en el espacio semi normado . ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$
14. B está débilmente acotado, es decir, todo funcional lineal continuo está acotado en B ^[5]

Si es un espacio normado con norma (o más generalmente, si es un espacio seminormado y es meramente una seminorma ), ^{[nota 2]} entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

14. ${\displaystyle B}$es un subconjunto acotado por norma de Por definición, esto significa que existe un número real tal que para todo ^[1] ${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \|b\|\leq r}$ ${\displaystyle b\in B.}$
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • Por lo tanto, si es una función lineal entre dos espacios normados (o semirregulados) y si es la bola unitaria cerrada (alternativamente, abierta) centrada en el origen, entonces es un operador lineal acotado (lo que, recordemos, significa que su norma de operador es finita) si y solo si la imagen de esta bola debajo es un subconjunto acotado por norma de ${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$ ${\displaystyle L(B)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$es un subconjunto de alguna bola (abierta o cerrada). ^{[nota 3]}
    • Esta bola no necesita estar centrada en el origen, pero su radio debe (como de costumbre) ser positivo y finito.

Si es un subespacio vectorial del TVS , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$

17. ${\displaystyle B}$está contenido en el cierre de ^[1] ${\displaystyle \{0\}.}$
    • En otras palabras, un subespacio vectorial de está acotado si y sólo si es un subconjunto de (el espacio vectorial) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • Recordemos que es un espacio de Hausdorff si y solo si es cerrado en Por lo tanto, el único subespacio vectorial acotado de un TVS de Hausdorff es ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Un subconjunto que no está acotado se llama ilimitado .

Bornología y sistemas fundamentales de conjuntos acotados

La colección de todos los conjuntos acotados en un espacio vectorial topológico se denomina bornología de von Neumann o bornología ( canónica ) de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Un sistema base o fundamental de conjuntos acotados de es un conjunto de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algún ^[1] El conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma trivial un sistema fundamental de conjuntos acotados de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Ejemplos

En cualquier TVS localmente convexo , el conjunto de discos cerrados y acotados son una base del conjunto acotado. ^[1]

Ejemplos y condiciones suficientes

A menos que se indique lo contrario, un espacio vectorial topológico (TVS) no necesita ser de Hausdorff ni localmente convexo .

• Los conjuntos finitos están acotados. ^[1]
• Todo subconjunto totalmente acotado de un TVS está acotado. ^[1]
• Todo conjunto relativamente compacto en un espacio vectorial topológico está acotado. Si el espacio está equipado con la topología débil, la inversa también es cierta.
• El conjunto de puntos de una secuencia de Cauchy está acotado, el conjunto de puntos de una red de Cauchy no necesita estar acotado.
• El cierre del origen (que se refiere al cierre del conjunto ) es siempre un subespacio vectorial cerrado acotado. Este conjunto es el único subespacio vectorial acotado más grande (con respecto a la inclusión del conjunto ) de En particular, si es un subconjunto acotado de entonces también lo es ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

Conjuntos ilimitados

Un conjunto que no está acotado se dice que no está acotado .

Cualquier subespacio vectorial de un TVS que no esté contenido en el cierre de es ilimitado. ${\displaystyle \{0\}}$

Existe un espacio de Fréchet que tiene un subconjunto acotado y también un subespacio vectorial denso tal que no está contenido en la clausura (en ) de ningún subconjunto acotado de ^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M.}$

Propiedades de estabilidad

• En cualquier TVS, las uniones finitas, las sumas de Minkowski finitas , los múltiplos escalares, las traducciones, los subconjuntos, los cierres , los interiores y las envolturas equilibradas de conjuntos acotados están a su vez acotados. ^[1]
• En cualquier TVS localmente convexo , la envoltura convexa (también llamada envoltura convexa ) de un conjunto acotado está a su vez acotada. ^{[7] Sin embargo, esto puede ser falso si el espacio no es localmente convexo, ya que los espacios} Lp (no localmente convexos) para no tienen subconjuntos convexos abiertos no triviales. ^[7] ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$
• La imagen de un conjunto acotado bajo una función lineal continua es un subconjunto acotado del codominio. ^[1]
• Un subconjunto de un producto arbitrario (cartesiano) de TVS está acotado si y solo si su imagen bajo cada proyección de coordenadas está acotada.
• Si y es un subespacio vectorial topológico de entonces está acotado en si y solo si está acotado en ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y.}$
  • En otras palabras, un subconjunto está acotado si y solo si está acotado en cada (o equivalentemente, en algún) superespacio vectorial topológico de ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Propiedades

Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una vecindad acotada de cero si y solo si su topología puede definirse mediante una única seminorma .

El polar de un conjunto acotado es un conjunto absolutamente convexo y absorbente .

Condición de contabilidad de Mackey ^[8]  — Sies una secuencia contable de subconjuntos acotados de unespacio vectorial topológico localmente convexometrizable, entonces existe un subconjunto acotadodey una secuenciade números reales positivos tales quepara todos(o equivalentemente, tales que). ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\ldots }$ ${\displaystyle B_{i}\subseteq r_{i}B}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}B_{1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B}$

Utilizando la definición de conjuntos uniformemente acotados que se da a continuación, la condición de numerabilidad de Mackey se puede reformular como: Si son subconjuntos acotados de un espacio localmente convexo metrizable , entonces existe una secuencia de números reales positivos tales que están uniformemente acotados. En palabras, dada cualquier familia contable de conjuntos acotados en un espacio localmente convexo metrizable, es posible escalar cada conjunto por su propio real positivo de modo que se vuelvan uniformemente acotados. ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$

Generalizaciones

Conjuntos uniformemente acotados

Se dice que una familia de conjuntos de subconjuntos de un espacio vectorial topológico es ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$uniformemente acotado ensi existe algún subconjunto acotadodetal que lo cual sucede si y solo si su unión es un subconjunto acotado de En el caso de unnormado(osemirregulado), una familiaestá uniformemente acotada si y solo si su uniónestánormada, lo que significa que existe algún realtal quepara cadao equivalentemente, si y solo si ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},}$$ $${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle M\geq 0}$ ${\textstyle \|b\|\leq M}$ ${\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}$ ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

Se dice que un conjunto de mapas de a es ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$uniformemente acotado en un conjunto dado si la familiaestá uniformemente acotada enlo que por definición significa que existe algún subconjunto acotadodetal queo equivalentemente, si y solo sies un subconjunto acotado de Un conjuntode aplicaciones lineales entre dos espacios normados (o semirregulados)yestá uniformemente acotado en alguna (o equivalentemente, cada) bola abierta (y/o bola cerrada no degenerada) ensi y solo si susnormas de operadorestán uniformemente acotadas; es decir, si y solo si ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}$ ${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

Proposición ^[9]  —  Sea un conjunto de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos y y sea cualquier subconjunto acotado de Entonces está uniformemente acotado en (es decir, la familia está uniformemente acotada en ) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{h(C):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$

1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo .
2. ${\displaystyle C}$es un subespacio de Hausdorff compacto convexo de y para cada órbita es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c\in C,}$ ${\displaystyle H(c):=\{h(c):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y.}$

Dado que cada subconjunto singleton de es también un subconjunto acotado, se deduce que si es un conjunto equicontinuo de operadores lineales continuos entre dos espacios vectoriales topológicos y (no necesariamente Hausdorff o localmente convexos), entonces la órbita de cada es un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle Y.}$

Subconjuntos acotados de módulos topológicos

La definición de conjuntos acotados se puede generalizar a módulos topológicos . Un subconjunto de un módulo topológico sobre un anillo topológico está acotado si para cualquier entorno de existe un entorno de tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle wA\subseteq B.}$

Véase también

• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Conjunto bornívoro  : Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado
• Función acotada  : Función matemática cuyo conjunto de valores está acotado.
• Operador acotado  : transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos
• Punto límite  : concepto matemático relacionado con los subconjuntos de espacios vectoriales
• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Criterio de normabilidad de Kolmogorov  – Caracterización de espacios normables
• Limitación local
• Espacio totalmente acotado  – Generalización de la compacidad

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
2. Schaefer 1970, pág. 25.
3. Rudin 1991, pág. 8.
4. Wilansky 2013, pág. 47.
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6. Wilansky 2013, pág. 57.
7. Narici y Beckenstein 2011, pag. 162.
8. Narici y Beckenstein 2011, pág. 174.
9. Rudin 1991, págs. 42−47.
10. Rudin 1991, págs. 46-47.

Notas

1. Para cualquier conjunto y escalar la notación denota el conjunto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle sA}$ ${\displaystyle sA:=\{sa:a\in A\}.}$
2. Esto significa que la topología en es igual a la topología inducida en ella por Nótese que todo espacio normado es un espacio seminormado y toda norma es una seminorma. La definición de la topología inducida por una seminorma es idéntica a la definición de la topología inducida por una norma. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|.}$
3. Si es un espacio normado o un espacio semirnormalizado , entonces las bolas abiertas y cerradas de radio (donde es un número real) centradas en un punto son, respectivamente, los conjuntos y Cualquier conjunto de este tipo se denomina bola (no degenerada) . ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r\neq \infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\textstyle B_{<r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}}$ ${\textstyle B_{\leq r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.}$

Bibliografía

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