Punto de acumulación

Punto de cluster en un espacio topológico

En matemáticas, un punto límite , un punto de acumulación o un punto de agrupación de un conjunto en un espacio topológico es un punto que puede ser "aproximado" por puntos de en el sentido de que cada vecindad de con respecto a la topología de también contiene un punto de aparte de sí mismo. Un punto límite de un conjunto no tiene por qué ser en sí mismo un elemento de. También existe un concepto estrechamente relacionado con las secuencias . Un punto de conglomerado o punto de acumulación de una secuencia en un espacio topológico es un punto tal que, para cada vecindad de hay infinitos números naturales tales que Esta definición de un conglomerado o punto de acumulación de una secuencia se generaliza a redes y filtros . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$

La noción de nombre similar de un punto límite de una secuencia ^[1] (respectivamente, un punto límite de un filtro , ^[2] un punto límite de una red ) por definición se refiere a un punto al que converge la secuencia (respectivamente, el filtro converge a , la red converge a ). Es importante destacar que, aunque "punto límite de un conjunto" es sinónimo de "punto de agrupación/acumulación de un conjunto", esto no es cierto para las secuencias (ni redes o filtros). Es decir, el término "punto límite de una secuencia" no es sinónimo de "punto de agrupación/acumulación de una secuencia".

Los puntos límite de un conjunto no deben confundirse con los puntos adherentes (también llamados puntos de cierre ) para los cuales cada vecindad de contiene algún punto de . A diferencia de los puntos límite, un punto adherente puede tener una vecindad que no contenga puntos distintos a él mismo. Un punto límite se puede caracterizar como un punto adherente que no es un punto aislado . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Los puntos límite de un conjunto tampoco deben confundirse con los puntos límite . Por ejemplo, es un punto límite (pero no un punto límite) del conjunto con topología estándar . Sin embargo, es un punto límite (aunque no un punto límite) de intervalo con topología estándar (para ver un ejemplo menos trivial de un punto límite, consulte el primer título). ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Este concepto generaliza provechosamente la noción de límite y es la base de conceptos como conjunto cerrado y cierre topológico . De hecho, un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de cierre topológico puede considerarse como una operación que enriquece un conjunto uniéndolo con sus puntos límite.

Con respecto a la topología euclidiana habitual , la secuencia de números racionales no tiene límite (es decir, no converge), pero tiene dos puntos de acumulación (que aquí se consideran puntos límite ), a saber. -1 y +1. Así, pensando en conjuntos, estos puntos son puntos límite del conjunto. ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}{\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle S=\{x_{n}\}.}$

Definición

Puntos de acumulación de un conjunto

Una secuencia que enumera todos los números racionales positivos . Cada número real positivo es un punto de agrupación.

Sea un subconjunto de un espacio topológico. Un punto en es un punto límite o un punto de conglomerado o ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$Punto de acumulación del conjunto si cadavecindaddecontiene al menos un puntodiferente desí mismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

No hay diferencia si restringimos la condición a barrios abiertos únicamente. A menudo es conveniente utilizar la forma de definición de "vecindad abierta" para mostrar que un punto es un punto límite y utilizar la forma de definición de "vecindad general" para derivar hechos de un punto límite conocido.

Si es un espacio (como un espacio métrico ), entonces es un punto límite de si y sólo si cada vecindad de contiene infinitos puntos de ^[6] De hecho, los espacios se caracterizan por esta propiedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Si es un espacio de Fréchet-Urysohn (que son todos los espacios métricos y los primeros espacios contables ), entonces es un punto límite de si y sólo si hay una secuencia de puntos en cuyo límite está . De hecho, los espacios de Fréchet-Urysohn se caracterizan por esta propiedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle x.}$

El conjunto de puntos límite de se llama conjunto derivado de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Tipos especiales de punto de acumulación de un conjunto.

Si cada vecindad de contiene infinitos puntos de entonces existe un tipo específico de punto límite llamado ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ω-punto de acumulación de ${\displaystyle S.}$

Si cada vecindad de contiene incontables puntos de entonces existe un tipo específico de punto límite llamado punto de condensación de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Si cada vecindad de es tal que la cardinalidad de es igual a la cardinalidad de entonces existe un tipo específico de punto límite llamado ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U\cap S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$punto de acumulación completo de ${\displaystyle S.}$

Puntos de acumulación de secuencias y redes.

En un espacio topológico se dice que un punto es un ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupación opunto de acumulación de una secuencia si, para cadavecindaddehay infinitostales que Es equivalente a decir que para cada vecindaddey cadahay algotal que Ifes unespacio métricoo unprimer espacio contable(o, más generalmente , unespacio de Fréchet-Urysohn), entonceses un punto de agrupación desi y solo sies un límite de alguna subsecuencia de El conjunto de todos los puntos de agrupación de una secuencia a veces se denominaconjunto límite. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}\in V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\bullet }.}$

Tenga en cuenta que ya existe la noción de límite de una secuencia para significar un punto al que la secuencia converge (es decir, cada vecindad de contiene todos menos un número finito de elementos de la secuencia). Es por eso que no utilizamos el término punto límite de una secuencia como sinónimo de punto de acumulación de la secuencia. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

El concepto de red generaliza la idea de secuencia . Una red es una función donde es un conjunto dirigido y es un espacio topológico. Se dice que un punto es un ${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$punto de agrupación opunto de acumulación de una red si, para cadavecindaddey cadahay algunoque, de maneraequivalente, sitiene unasubredque converge alos puntos de agrupamiento en las redes abarcan la idea tanto de puntos de condensación como de puntos de acumulación ω. También se definenpuntosde agrupamientoylos filtros. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p_{0}\in P,}$ ${\displaystyle p\geq p_{0}}$ ${\displaystyle f(p)\in V,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Relación entre el punto de acumulación de una secuencia y el punto de acumulación de un conjunto

Cada secuencia es, por definición, sólo un mapa, por lo que su imagen puede definirse de la forma habitual. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• Si existe un elemento que ocurre infinitas veces en la secuencia, es un punto de acumulación de la secuencia. Pero no es necesario que sea un punto de acumulación del conjunto correspondiente. Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con el valor que tenemos y es un punto aislado de y no un punto de acumulación de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Si ningún elemento aparece infinitas veces en la secuencia, por ejemplo si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un punto de acumulación del conjunto asociado. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

A la inversa, dado un conjunto infinito contable podemos enumerar todos los elementos de de muchas maneras, incluso con repeticiones, y así asociarle muchas secuencias que satisfarán ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• Cualquier punto de acumulación de es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier vecindad del punto contendrá infinitos elementos de y, por tanto, también infinitos términos en cualquier secuencia asociada). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

• Un punto que no es un punto de acumulación de no puede ser un punto de acumulación de ninguna de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque tiene una vecindad que contiene sólo un número finito (posiblemente incluso ninguno) de puntos de y esa vecindad sólo puede contener un número finito de términos de tales secuencias). ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Propiedades

Cada límite de una secuencia no constante es un punto de acumulación de la secuencia. Y por definición, todo punto límite es un punto adherente .

La clausura de un conjunto es una unión disjunta de sus puntos límite y puntos aislados ; eso es, ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle I(S)}$

$${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{and}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

Un punto es un punto límite de si y sólo si está en el cierre de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Prueba

Usamos el hecho de que un punto está en el cierre de un conjunto si y sólo si cada vecindad del punto coincide con el conjunto. Ahora, es un punto límite de si y sólo si cada vecindad de contiene un punto de distinto de si y sólo si cada vecindad de contiene un punto de si y sólo si está en el cierre de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

Si usamos para denotar el conjunto de puntos límite de entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre de : El cierre de es igual a la unión de y Este hecho a veces se toma como la definición de cierre . ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L(S).}$

Prueba

("Subconjunto izquierdo") Supongamos que está en el cierre de Si está en que hemos terminado. Si no está en entonces cada vecindad de contiene un punto de y este punto no puede ser En otras palabras, es un punto límite de y está en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S).}$

("Subconjunto derecho") Si está en entonces cada vecindad de claramente se encuentra en el cierre de Si está en entonces cada vecindad de contiene un punto de (distinto de ), entonces está nuevamente en el cierre de Esto completa la prueba. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L(S),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrados: un conjunto es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos límite. ${\displaystyle S}$

Prueba

Prueba 1: está cerrado si y sólo si es igual a su cierre si y sólo si si y sólo si está contenido en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S\cup L(S)}$ ${\displaystyle L(S)}$ ${\displaystyle S.}$

Prueba 2: Sea un conjunto cerrado y un punto límite de Si no está en entonces el complemento de comprende una vecindad abierta de Dado que es un punto límite de cualquier vecindad abierta de debería tener una intersección no trivial con Sin embargo, un conjunto no puede tener una intersección no trivial con su complemento. Por el contrario, supongamos que contiene todos sus puntos límite. Demostraremos que el complemento de es un conjunto abierto. Sea un punto en el complemento de Por supuesto, no es un punto límite y, por lo tanto, existe una vecindad abierta de que no se cruza y, por lo tanto, se encuentra completamente en el complemento de Dado que este argumento es válido para arbitrario en el complemento del complemento de se puede expresar como una unión de vecindades abiertas de los puntos en el complemento de Por lo tanto, el complemento de es abierto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$

Ningún punto aislado es punto límite de ningún conjunto.

Prueba

Si es un punto aislado, entonces es una vecindad de que no contiene más puntos que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Un espacio es discreto si y sólo si ningún subconjunto de tiene un punto límite. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Prueba

Si es discreto, entonces cada punto está aislado y no puede ser un punto límite de ningún conjunto. Por el contrario, si no es discreto, entonces hay un singleton que no es abierto. Por lo tanto, toda vecindad abierta de contiene un punto y, por lo tanto, es un punto límite de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle y\neq x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Si un espacio tiene la topología trivial y es un subconjunto de con más de un elemento, entonces todos los elementos de son puntos límite de Si es un singleton, entonces cada punto de es un punto límite de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle S.}$

Prueba

Mientras no esté vacío, su cierre será Sólo está vacío cuando está vacío o es el elemento único de ${\displaystyle S\setminus \{x\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S.}$

Ver también

• Punto adherente  : punto que pertenece al cierre de algún subconjunto dado de un espacio topológico.
• Punto de condensación  : un análogo más fuerte del punto límitePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro convergente  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto derivado (matemáticas)  : conjunto de todos los puntos límite de un conjuntoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Punto aislado  : punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Límite de una función  : punto al que convergen las funciones en el análisis
• Límite de una secuencia  – Valor al que tiende una secuencia infinita
• Límite posterior  : el límite de alguna subsecuencia

Citas

1. Dugundji 1966, págs. 209-210.
2. Bourbaki 1989, págs. 68–83.
3. "Diferencia entre punto límite y punto límite". 2021-01-13.
4. "¿Qué es un punto límite?". 2021-01-13.
5. "Ejemplos de puntos de acumulación". 2021-01-13. Archivado desde el original el 21 de abril de 2021 . Consultado el 14 de enero de 2021 .
6. Munkres 2000, págs. 97-102.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• "Punto límite de un conjunto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]