Espacio totalmente delimitado

Generalización de la compacidad.

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , la acotación total es una generalización de la compacidad para circunstancias en las que un conjunto no es necesariamente cerrado . Un conjunto totalmente acotado puede estar cubierto por un número finito de subconjuntos de cada “tamaño” fijo (donde el significado de “tamaño” depende de la estructura del espacio ambiental ).

El término precompacto (o precompacto ) se utiliza a veces con el mismo significado, pero precompacto también se utiliza para significar relativamente compacto . Estas definiciones coinciden para subconjuntos de un espacio métrico completo , pero no en general.

en espacios métricos

[0, 1] ² es un espacio totalmente acotado porque para cada ε > 0, el cuadrado unitario puede estar cubierto por un número finito de discos abiertos de radio ε .

Un espacio métrico es totalmente acotado si y sólo si para cada número real existe una colección finita de bolas abiertas de radio cuyos centros están en M y cuya unión contiene  a M. De manera equivalente, el espacio métrico M está totalmente acotado si y sólo si para cada existe una cobertura finita tal que el radio de cada elemento de la cobertura sea como máximo . Esto es equivalente a la existencia de una ε-net finita . ^[1] Se dice que un espacio métrico está totalmente acotado si cada secuencia admite una subsecuencia de Cauchy; en espacios métricos completos, un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y totalmente acotado. ^[2] ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Cada espacio totalmente acotado está acotado (como lo está la unión de un número finito de conjuntos acotados). Lo contrario es cierto para los subconjuntos del espacio euclidiano (con la topología subespacial ), pero no en general. Por ejemplo, un conjunto infinito equipado con la métrica discreta está acotado pero no totalmente acotado: ^[3] cada bola discreta de radio o menos es un singleton, y ninguna unión finita de singletons puede cubrir un conjunto infinito. ${\displaystyle \varepsilon =1/2}$

Espacios uniformes (topológicos)

Una métrica aparece en la definición de acotación total sólo para garantizar que cada elemento de la cobertura finita sea de tamaño comparable y pueda debilitarse al de una estructura uniforme . Un subconjunto S de un espacio uniforme X está totalmente acotado si y sólo si, para cualquier entorno E , existe una cobertura finita de S por subconjuntos de X , cada uno de cuyos cuadrados cartesianos es un subconjunto de E. (En otras palabras, E reemplaza el "tamaño" ε , y un subconjunto es de tamaño E si su cuadrado cartesiano es un subconjunto de E. ) ^[4]

La definición puede extenderse aún más, a cualquier categoría de espacios con una noción de compacidad y compleción de Cauchy : un espacio es totalmente acotado si y sólo si su completitud (de Cauchy) es compacta.

Ejemplos y propiedades elementales.

• Todo conjunto compacto es totalmente acotado, siempre que se defina el concepto.
• Todo conjunto totalmente acotado está acotado.
• Un subconjunto de la recta real , o más generalmente del espacio euclidiano de dimensión finita , está totalmente acotado si y sólo si está acotado . ^{[5] [3]}
• La bola unitaria en un espacio de Hilbert , o más generalmente en un espacio de Banach , está totalmente acotada (en la topología normal) si y sólo si el espacio tiene dimensión finita .
• Las funciones acotadas equicontinuas en un conjunto compacto son precompactas en la topología uniforme ; este es el teorema de Arzelà-Ascoli .
• Un espacio métrico es separable si y sólo si es homeomorfo a un espacio métrico totalmente acotado. ^[3]
• El cierre de un subconjunto totalmente acotado vuelve a ser totalmente acotado. ^[6]

Comparación con conjuntos compactos.

En espacios métricos, un conjunto es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado; ^[5] sin el axioma de elección sólo se mantiene la dirección de avance. Los conjuntos precompactos comparten varias propiedades con los conjuntos compactos.

• Al igual que los conjuntos compactos, una unión finita de conjuntos totalmente acotados es totalmente acotada.
• A diferencia de los conjuntos compactos, cada subconjunto de un conjunto totalmente acotado vuelve a estar totalmente acotado.
• La imagen continua de un conjunto compacto es compacta. La imagen uniformemente continua de un conjunto precompacto es precompacta.

En grupos topológicos

Aunque la noción de acotación total está estrechamente ligada a los espacios métricos, la mayor estructura algebraica de los grupos topológicos permite intercambiar algunas propiedades de separación . Por ejemplo, en espacios métricos, un conjunto es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado. Según la siguiente definición, lo mismo se aplica a cualquier espacio vectorial topológico (no necesariamente de Hausdorff ni completo). ^{[6] [7] [8]}

La forma lógica general de la definición es: un subconjunto de un espacio está totalmente acotado si y sólo si, dado cualquier tamaño , existe una cobertura finita de tal que cada elemento de tiene un tamaño como máximo, entonces está totalmente acotado si y sólo si es totalmente acotado cuando se considera como un subconjunto de sí mismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle X}$

Adoptamos la convención de que, para cualquier vecindad de la identidad, un subconjunto se llama ( izquierda ) -pequeño si y sólo si ^[6] Un subconjunto de un grupo topológico es ( izquierda ) totalmente acotado si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes : ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (-S)+S\subseteq U.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Definición : Para cualquier vecindad de la identidad existen un número finito de tales que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ ${\textstyle S\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}\left(x_{j}+U\right):=\left(x_{1}+U\right)+\cdots +\left(x_{n}+U\right).}$
2. Para cualquier vecindad de existe un subconjunto finito tal que (donde el lado derecho es la suma de Minkowski ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq F+U}$ ${\displaystyle F+U:=\{f+u:f\in F,u\in U\}}$
3. Para cualquier vecindad de existen un número finito de subconjuntos de tales que y cada uno es pequeño. ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}}$ ${\displaystyle B_{j}}$ ${\displaystyle U}$
4. Para cualquier subbase de filtro dada del filtro de vecindad del elemento de identidad (que consta de todas las vecindades de in ) y para cada existe una cobertura de un número finito de subconjuntos pequeños de ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$
5. ${\displaystyle S}$está acotado por Cauchy : para cada vecindad de la identidad y cada subconjunto contablemente infinito de existen distintos tales que ^[6] (si es finito, entonces esta condición se satisface de forma vacía ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x,y\in I}$ ${\displaystyle x-y\in U.}$ ${\displaystyle S}$
6. Cualquiera de los siguientes tres conjuntos satisface (cualquiera de las definiciones anteriores de) estar (a la izquierda) totalmente acotado:
   1. El cierre de en ^[6] ${\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$
      • Que este conjunto esté en la lista significa que se cumple la siguiente caracterización: está (a la izquierda) totalmente acotado si y sólo si está (a la izquierda) totalmente acotado (de acuerdo con cualquiera de las condiciones definitorias mencionadas anteriormente). La misma caracterización se aplica a los demás conjuntos que se enumeran a continuación. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$
   2. La imagen de bajo el cociente canónico que está definido por (dónde está el elemento de identidad). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\to X/{\overline {\{0\}}},}$ ${\displaystyle x\mapsto x+{\overline {\{0\}}}}$ ${\displaystyle 0}$
   3. La suma ^[9] ${\displaystyle S+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

El término precompacto suele aparecer en el contexto de los espacios vectoriales topológicos de Hausdorff. ^{[10] [11]} En ese caso, las siguientes condiciones también son equivalentes a estar (a la izquierda) totalmente acotado: ${\displaystyle S}$

7. En la realización del cierre de es compacto. ^{[10] [12]} ${\displaystyle {\widehat {X}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\widehat {X}}S}$ ${\displaystyle S}$
8. Cada ultrafiltro encendido es un filtro Cauchy . ${\displaystyle S}$

La definición de derecho totalmente acotado es análoga: basta con intercambiar el orden de los productos.

La condición 4 implica que cualquier subconjunto de está totalmente acotado (de hecho, compacto; ver § Comparación con conjuntos compactos arriba). Si no es Hausdorff, entonces es, por ejemplo, un juego completo compacto que no está cerrado. ^[6] ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Espacios vectoriales topológicos

Cualquier espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano bajo suma, por lo que se aplican las condiciones anteriores. Históricamente, el enunciado 6(a) fue la primera reformulación de la acotación total para espacios vectoriales topológicos ; data de un artículo de 1935 de John von Neumann. ^[13]

Esta definición tiene la atractiva propiedad de que, en un espacio localmente convexo dotado de topología débil , los conjuntos precompactos son exactamente los conjuntos acotados .

Para espacios de Banach separables, existe una buena caracterización de los conjuntos precompactos (en la topología normal) en términos de secuencias de funcionales débilmente convergentes: si es un espacio de Banach separable, entonces es precompacto si y solo si toda secuencia de funcionales débilmente convergente converge uniformemente en ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S.}$

Interacción con la convexidad

• La estructura equilibrada de un subconjunto totalmente acotado de un espacio vectorial topológico vuelve a estar totalmente acotada. ^{[6] [15]}
• La suma de Minkowski de dos conjuntos compactos (totalmente acotados) es compacta (resp. totalmente acotada).
• En un espacio localmente convexo (Hausdorff), la carcasa convexa y la carcasa en disco de un conjunto totalmente acotado está totalmente acotado si y sólo si es completo. ^[dieciséis] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Ver también

• Espacio compacto
• Espacio localmente compacto
• Medida de no compacidad
• Espacio ortocompacto
• Espacio paracompacto
• Subespacio relativamente compacto

Referencias

1. Sutherland 1975, pág. 139.
2. "Secuencias de Cauchy, completitud y una tercera formulación de compacidad" (PDF) . Departamento de Matemáticas de Harvard .
3. Willard 2004, pag. 182.
4. Willard, Stephen (1970). Loomis, Lynn H. (ed.). Topología general. Lectura, Massachusetts: Addison-Wesley. pag. 262. Cf. definición 39.7 y lema 39.8.
5. Kolmogorov, AN; Fomín, SV (1957) [1954]. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. vol. 1. Traducido por Boron, Leo F. Rochester, Nueva York: Graylock Press. págs. 51–3.
6. Narici y Beckenstein 2011, págs.
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 55–56.
8. Narici y Beckenstein 2011, págs. 55–66.
9. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-35.
10. Schaefer y Wolff 1999, pág. 25.
11. Tréves 2006, pag. 53.
12. Jarchow 1981, págs. 56–73.
13. von Neumann, Juan (1935). "Sobre espacios topológicos completos". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 37 (1): 1–20. doi : 10.2307/1989693 . ISSN  0002-9947.
14. Phillips, RS (1940). "Sobre transformaciones lineales". Anales de Matemáticas : 525.
15. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.
16. Narici y Beckenstein 2011, págs. 67-113.

Bibliografía

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Sutherland, WA (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853161-3. Zbl  0304.54002.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.