En matemáticas , la convergencia Gromov-Hausdorff , llamada así en honor a Mikhail Gromov y Felix Hausdorff , es una noción de convergencia de espacios métricos que es una generalización de la convergencia de Hausdorff .
La distancia Gromov-Hausdorff fue introducida por David Edwards en 1975, [1] [2] y luego fue redescubierta y generalizada por Mikhail Gromov en 1981. [3] [4] Esta distancia mide qué tan lejos están dos espacios métricos compactos de ser isométrico . Si X e Y son dos espacios métricos compactos, entonces d GH ( X , Y ) se define como el mínimo de todos los números d H ( f ( X ), g ( Y )) para todos los espacios métricos (compactos) M y todos incrustaciones isométricas f : X → M y g : Y → M . Aquí d H denota la distancia de Hausdorff entre subconjuntos en M y la incrustación isométrica se entiende en el sentido global, es decir, debe preservar todas las distancias, no sólo las infinitamente pequeñas; por ejemplo, ninguna variedad riemanniana compacta admite tal incrustación en un espacio euclidiano de la misma dimensión.
La distancia de Gromov-Hausdorff convierte el conjunto de todas las clases de isometría de espacios métricos compactos en un espacio métrico, llamado espacio de Gromov-Hausdorff, y por lo tanto define una noción de convergencia para secuencias de espacios métricos compactos, llamada convergencia de Gromov-Hausdorff. Un espacio métrico al que converge tal secuencia se llama límite de Gromov-Hausdorff de la secuencia.
El espacio de Gromov-Hausdorff está conectado por caminos , es completo y separable . [5] También es geodésica , es decir, dos de sus puntos cualesquiera son los extremos de una geodésica minimizadora . [6] [7] En el sentido global, el espacio de Gromov-Hausdorff es totalmente heterogéneo, es decir, su grupo de isometría es trivial, [8] pero localmente hay muchas isometrías no triviales. [9]
La convergencia puntiaguda de Gromov-Hausdorff es análoga a la convergencia de Gromov-Hausdorff apropiada para espacios no compactos. Un espacio métrico puntiagudo es un par ( X , p ) que consta de un espacio métrico X y un punto p en X. Una secuencia ( X n , p n ) de espacios métricos puntiagudos converge a un espacio métrico puntiagudo ( Y , p ) si, para cada R > 0, la secuencia de R -bolas cerradas alrededor de p n en X n converge a la R cerrada -bola alrededor de p en Y en el sentido habitual de Gromov-Hausdorff. [10]
Gromov utilizó la noción de convergencia Gromov-Hausdorff para demostrar que cualquier grupo discreto con crecimiento polinómico es prácticamente nilpotente (es decir, contiene un subgrupo nilpotente de índice finito ). Véase el teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinómico . (Ver también D. Edwards para un trabajo anterior.) El ingrediente clave en la prueba fue la observación de que para el gráfico de Cayley de un grupo con crecimiento polinomial una secuencia de reescalamientos converge en el sentido agudo de Gromov-Hausdorff.
Otro resultado simple y muy útil en geometría de Riemann es el teorema de compacidad de Gromov , que establece que el conjunto de variedades de Riemann con curvatura de Ricci ≥ c y diámetro ≤ D es relativamente compacto en la métrica de Gromov-Hausdorff. Los espacios límite son espacios métricos. Cheeger y Colding han demostrado propiedades adicionales en los espacios longitudinales . [11]
La métrica de distancia Gromov-Hausdorff se ha aplicado en el campo de los gráficos por computadora y la geometría computacional para encontrar correspondencias entre diferentes formas. [12] También se ha aplicado en el problema de la planificación del movimiento en robótica. [13]
Sormani ha utilizado la distancia Gromov-Hausdorff para demostrar la estabilidad del modelo de Friedmann en cosmología. Este modelo de cosmología no es estable con respecto a variaciones suaves de la métrica. [14]
En un caso especial, el concepto de límites de Gromov-Hausdorff está estrechamente relacionado con la teoría de las grandes desviaciones . [15]
La métrica de distancia Gromov-Hausdorff se ha utilizado en neurociencia para comparar redes cerebrales. [dieciséis]