brecha de Hausdorff

Un par de colecciones de secuencias enteras sin ninguna secuencia entre ellas.

En matemáticas, una brecha de Hausdorff consta aproximadamente de dos colecciones de secuencias de números enteros, de modo que no hay ninguna secuencia entre las dos colecciones. El primer ejemplo lo encontró Hausdorff  (1909). La existencia de brechas de Hausdorff muestra que el conjunto parcialmente ordenado de posibles tasas de crecimiento de secuencias no está completo.

Definición

Sea el conjunto de todas las secuencias de números enteros no negativos y definamos como significado . ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle f<g}$ ${\displaystyle \lim \left(g(n)-f(n)\right)=+\infty }$

Si es un poset y y son cardinales, entonces a - pregap in es un conjunto de elementos para y un conjunto de elementos para tal que: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle (\kappa ,\lambda )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in \kappa }$ ${\displaystyle g_{\beta }}$ ${\displaystyle \beta \in \lambda }$

• La secuencia transfinita es estrictamente creciente; ${\displaystyle f}$
• La secuencia transfinita es estrictamente decreciente; ${\displaystyle g}$
• Cada elemento de la secuencia es menor que cada elemento de la secuencia . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Un pregap se llama brecha si satisface la condición adicional:

• No hay ningún elemento mayor que todos los elementos de y menor que todos los elementos de . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Una brecha de Hausdorff es una brecha tal que para cada número ordinal contable y cada número natural hay solo un número finito menor que el que tenemos para todos . ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{1})}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(k)<g_{\beta }(k)}$

Existen algunas variaciones de estas definiciones, en las que el conjunto ordenado se reemplaza por un conjunto similar. Por ejemplo, se puede redefinir como significa para todos menos para un número finito . Otra variación introducida por Hausdorff (1936) es reemplazar por el conjunto de todos los subconjuntos de , con el orden dado por si solo tiene un número finito de elementos que no están en pero tiene infinitos elementos que no están en . ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle f<g}$ ${\displaystyle f(n)<g(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle A<B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Existencia

Es posible demostrar en ZFC que existen brechas y brechas de Hausdorff donde es la cardinalidad del conjunto ilimitado más pequeño en , y que no hay brechas. El axioma de coloración abierta más fuerte puede descartar todos los tipos de espacios excepto los espacios de Hausdorff y los de tipo con . ${\displaystyle (b,\omega )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ ${\displaystyle (\omega ,\omega )}$ ${\displaystyle (\kappa ,\omega )}$ ${\displaystyle \kappa \geq \omega _{2}}$

Referencias

• Carotenuto, Gemma (2013), Introducción a OCA (PDF) , notas sobre las conferencias de Matteo Viale
• Ryszard, Frankiewicz; Paweł, Zbierski (1994), Brechas y límites de Hausdorff , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 132, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-89490-X, señor  1311476
• Hausdorff, F. (1909), Die Graduierung nach dem Endverlauf , Abhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, vol. 31, BG Teubner, págs. 296–334
• Hausdorff, F. (1936), "Summen von ℵ1 Mengen" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 26 (1), Instituto de Matemáticas Academia Polaca de Ciencias: 241–255, doi : 10.4064/fm-26-1-241- 255 , ISSN  0016-2736
• Scheepers, Marion (1993), "Gaps in ωω", en Judah, Haim (ed.), Teoría de conjuntos de los reales (Ramat Gan, 1991) , Israel Math. Conf. Proc., vol. 6, Ramat Gan: Universidad Bar-Ilan, págs. 439–561, ISBN 978-9996302800, señor  1234288

enlaces externos

• "Brecha de Hausdorff", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]