La paradoja de Hausdorff es una paradoja de las matemáticas que lleva el nombre de Felix Hausdorff . Se trata de la esfera (la superficie de una bola tridimensional en ). Afirma que si se elimina un determinado subconjunto contable de , entonces el resto se puede dividir en tres subconjuntos disjuntos y de modo que y sean todos congruentes . En particular, se deduce que no hay una medida finitamente aditiva definida en todos los subconjuntos de manera que la medida de conjuntos congruentes sea igual (porque esto implicaría que la medida de es simultáneamente , y de la medida distinta de cero de toda la esfera ).
La paradoja fue publicada en Mathematische Annalen en 1914 y también en el libro de Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre , el mismo año. La prueba de la mucho más famosa paradoja de Banach-Tarski utiliza las ideas de Hausdorff. La prueba de esta paradoja se basa en el axioma de elección .
Esta paradoja muestra que no existe una medida finitamente aditiva en una esfera definida en todos los subconjuntos que sea igual en piezas congruentes. (Hausdorff mostró por primera vez en el mismo artículo el resultado más fácil de que no existe una medida aditiva contable definida en todos los subconjuntos). La estructura del grupo de rotaciones en la esfera juega un papel crucial aquí: la afirmación no es cierta en el plano o en el línea. De hecho, como demostró más tarde Banach , [1] es posible definir un "área" para todos los subconjuntos acotados en el plano euclidiano (así como una "longitud" en la recta real) de tal manera que los conjuntos congruentes tienen igual "área". (Esta medida de Banach , sin embargo, es sólo finitamente aditiva, por lo que no es una medida en el sentido pleno, pero es igual a la medida de Lebesgue en conjuntos para los cuales esta última existe). Esto implica que si dos subconjuntos abiertos del plano (o la línea real) son equidescomponibles, entonces tienen igual área.
