Densidad de Hausdorff

En la teoría de la medida , un campo de las matemáticas, la densidad de Hausdorff mide qué tan concentrada está una medida de radón en algún punto.

Definición

Sea una medida de radón y algún punto en el espacio euclidiano . Las densidades de Hausdorff superior e inferior s -dimensionales se definen como, respectivamente, ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Theta ^{*s}(\mu ,a)=\limsup _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

y

${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)=\liminf _{r\rightarrow 0}{\frac {\mu (B_{r}(a))}{r^{s}}}}$

¿Dónde está la bola de radio r > 0 centrada en a ? Claramente, para todos . En el caso de que los dos sean iguales, llamamos a su valor común densidad s de at a y lo denotamos . ${\displaystyle B_{r}(a)}$ ${\displaystyle \Theta _{*}^{s}(\mu ,a)\leq \Theta ^{*s}(\mu ,a)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Theta ^{s}(\mu ,a)}$

teorema de marstrand

El siguiente teorema establece que los momentos en que existe la densidad s son bastante raros.

Teorema de Marstrand: Sea una medida de radón en . Supongamos que la densidad s existe y es positiva y finita para a en un conjunto de medida positiva . Entonces s es un número entero. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \Theta ^{s}(\mu ,a)}$ ${\displaystyle \mu }$

teorema de preiss

En 1987, David Preiss demostró una versión más sólida del teorema de Marstrand. Una consecuencia es que los conjuntos con densidad positiva y finita son conjuntos rectificables .

Teorema de Preiss: Sea una medida de radón en . Supongamos que m es un número entero y que la densidad m existe y es positiva y finita para casi todas las a que respaldan . Entonces es m -rectificable, es decir ( es absolutamente continuo con respecto a la medida de Hausdorff ) y el soporte de es un conjunto m -rectificable. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \geq 1}$ ${\displaystyle \Theta ^{m}(\mu ,a)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu \ll H^{m}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H^{m}}$ ${\displaystyle \mu }$

enlaces externos

• Densidad de un conjunto en la Enciclopedia de Matemáticas
• Conjunto rectificable en la Enciclopedia de Matemáticas

Referencias

• Pertti Mattila , Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos. Prensa de Cambridge, 1995.
• Preiss, David (1987). "Geometría de medidas en : distribución, rectificabilidad y densidades". Ana. Matemáticas . 125 (3): 537–643. doi :10.2307/1971410. hdl : 10338.dmlcz/133417 . JSTOR  1971410. ${\displaystyle R^{n}}$