Medida exterior

Función matemática

En el campo matemático de la teoría de la medida , una medida externa o medida exterior es una función definida en todos los subconjuntos de un conjunto dado con valores en los números reales extendidos que satisfacen algunas condiciones técnicas adicionales. La teoría de medidas externas fue introducida por primera vez por Constantin Carathéodory para proporcionar una base abstracta para la teoría de conjuntos medibles y medidas aditivas contables . ^{[1] [2] El trabajo de Carathéodory sobre medidas externas encontró muchas aplicaciones en} la teoría de conjuntos de teoría de medidas (las medidas externas se utilizan, por ejemplo, en la prueba del teorema de extensión fundamental de Carathéodory ), y fue utilizado de manera esencial por Hausdorff para definir un invariante métrico de tipo dimensión ahora llamado dimensión de Hausdorff . Las medidas externas se utilizan comúnmente en el campo de la teoría de medidas geométricas .

Las medidas son generalizaciones de longitud, área y volumen, pero son útiles para conjuntos mucho más abstractos e irregulares que los intervalos en o las bolas en . Se podría esperar definir una función de medición generalizada en que cumpla los siguientes requisitos: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. Cualquier intervalo de reales tiene medida ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b-a}$
2. La función de medición es una función de valor real extendida no negativa definida para todos los subconjuntos de . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
3. Invariancia de la traducción: Para cualquier conjunto y cualquier real , los conjuntos y tienen la misma medida. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}}$
4. Aditividad contable : para cualquier secuencia de subconjuntos disjuntos por pares de ${\displaystyle (A_{j})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i}).}$

Resulta que estos requisitos son condiciones incompatibles; véase conjunto no medible . El propósito de construir una medida externa sobre todos los subconjuntos de es seleccionar una clase de subconjuntos (que se llamará medible ) de tal manera que satisfaga la propiedad de aditividad contable. ${\displaystyle X}$

Medidas exteriores

Dado un conjunto, denotemos la colección de todos los subconjuntos de incluido el conjunto vacío. Una medida externa en es una función de conjunto tal que ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 2^{X}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$$

• conjunto vacío nulo : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• subaditivo contable : para subconjuntos arbitrarios de ${\displaystyle A,B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\text{if }}A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}{\text{ then }}\mu (A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Obsérvese que en esta definición no hay ninguna sutileza sobre la suma infinita. Dado que se supone que todos los sumandos son no negativos, la secuencia de sumas parciales solo podría divergir aumentando sin límite. Por lo tanto, la suma infinita que aparece en la definición siempre será un elemento bien definido de Si, en cambio, se permitiera que una medida externa tomara valores negativos, su definición tendría que modificarse para tener en cuenta la posibilidad de sumas infinitas no convergentes. ${\displaystyle [0,\infty ].}$

Una definición alternativa y equivalente. ^[3] Algunos libros de texto, como Halmos (1950), definen en cambio una medida externa como una función tal que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :2^{X}\to [0,\infty ]}$

• conjunto vacío nulo : ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• monótona : si y son subconjuntos de con entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$
• para subconjuntos arbitrarios de ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{j}).}$$

Medibilidad de conjuntos en relación con una medida exterior

Sea un conjunto con una medida exterior Se dice que un subconjunto de es -medible (a veces llamado Carathéodory-medible en relación con , en honor al matemático Carathéodory ) si y solo si para cada subconjunto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap E)+\mu (A\setminus E)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$

De manera informal, esto dice que un subconjunto -medible es aquel que puede usarse como un bloque de construcción, descomponiendo cualquier otro subconjunto en partes (a saber, la parte que está dentro del conjunto medible junto con la parte que está fuera del conjunto medible). En términos de la motivación para la teoría de la medida, uno esperaría que el área , por ejemplo, fuera una medida exterior en el plano. Uno podría entonces esperar que cada subconjunto del plano fuera considerado "medible", siguiendo el principio esperado de que siempre que y son subconjuntos disjuntos del plano. Sin embargo, el desarrollo lógico formal de la teoría muestra que la situación es más complicada. Una implicación formal del axioma de elección es que para cualquier definición de área como una medida exterior que incluya como un caso especial la fórmula estándar para el área de un rectángulo, debe haber subconjuntos del plano que no sean medibles. En particular, el "principio esperado" anterior es falso, siempre que uno acepte el axioma de elección. ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \operatorname {area} (A\cup B)=\operatorname {area} (A)+\operatorname {area} (B)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El espacio de medida asociado a una medida exterior

Es sencillo utilizar la definición anterior de -mensurabilidad para ver que ${\displaystyle \mu }$

• Si es -medible entonces su complemento también es -medible. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\setminus A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu }$

La siguiente condición se conoce como " aditividad contable de subconjuntos mensurables". ${\displaystyle \mu }$

• si son subconjuntos -medibles y disjuntos por pares ( para ) de , entonces se tiene ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mu {\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Big )}=\sum _{j=1}^{\infty }\mu (A_{j}).}$$

Una prueba similar muestra que:

• Si son subconjuntos -medibles de entonces la unión y la intersección también son -medibles. ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ ${\displaystyle \mu }$

Las propiedades aquí dadas se pueden resumir con la siguiente terminología:

Dada cualquier medida externa en un conjunto, la colección de todos los subconjuntos -medibles de es una σ-álgebra . La restricción de a esta -álgebra es una medida. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

De este modo, se obtiene una estructura de espacio de medida que surge naturalmente de la especificación de una medida externa en Este espacio de medida tiene la propiedad adicional de completitud , que está contenida en la siguiente afirmación: ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

• Todo subconjunto tal que sea -medible. ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$

Esto es fácil de demostrar utilizando la segunda propiedad en la "definición alternativa" de medida externa.

Restricción y avance de una medida externa

Sea una medida exterior en el conjunto . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Empujar hacia adelante

Dado otro conjunto y un mapa definido por ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu :2^{Y}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\big (}f_{\sharp }\mu {\big )}(A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}.}$

Se puede verificar directamente a partir de las definiciones que es una medida externa en . ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle Y}$

Restricción

Sea B un subconjunto de X. Defina μ _B  : 2 ^X →[0,∞] por

${\displaystyle \mu _{B}(A)=\mu (A\cap B).}$

Se puede comprobar directamente a partir de las definiciones que μ _B es otra medida externa en X .

Medibilidad de conjuntos en relación con un avance o una restricción

Si un subconjunto A de X es μ -medible, entonces _también es μB -medible para cualquier subconjunto B de X.

Dado un mapa f  : X → Y y un subconjunto A de Y , si f ⁻¹ ( A ) es μ -medible entonces A es f _# μ -medible. De manera más general, f ⁻¹ ( A ) es μ -medible si y solo si A es f _# ( μ _B ) -medible para cada subconjunto B de X .

Medidas exteriores regulares

Definición de una medida exterior regular

Dado un conjunto X , se dice que una medida externa μ en X es regular si cualquier subconjunto puede aproximarse "desde el exterior" mediante conjuntos μ -medibles. Formalmente, esto requiere cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle A\subseteq X}$

• ${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (B)\mid A\subseteq B,B{\text{ is μ-measurable}}\}}$
• Existe un subconjunto μ -medible B de X que contiene a A y tal que . ${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

Es automático que la segunda condición implica la primera; la primera implica la segunda al tomar la intersección contable de con ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle \mu (B_{i})\to \mu (A)}$

La medida exterior regular asociada a una medida exterior

Dada una medida exterior μ en un conjunto X , defina ν  : 2 ^X →[0,∞] por

${\displaystyle \nu (A)=\inf {\Big \{}\mu (B):\mu {\text{-measurable subsets }}B\subset X{\text{ with }}B\supset A{\Big \}}.}$

Entonces ν es una medida exterior regular en X que asigna la misma medida que μ a todos los subconjuntos μ -medibles de X. Cada subconjunto μ -medible es también ν -medible, y cada subconjunto ν -medible de una ν -medida finita es también μ -medible.

Por lo tanto, el espacio de medida asociado a ν puede tener una σ-álgebra mayor que el espacio de medida asociado a μ . Las restricciones de ν y μ a la σ-álgebra menor son idénticas. Los elementos de la σ-álgebra mayor que no están contenidos en la σ-álgebra menor tienen una ν -medida infinita y una μ -medida finita .

Desde esta perspectiva, ν puede considerarse como una extensión de μ .

Medida exterior y topología

Supongamos que (X, d) es un espacio métrico y φ una medida exterior en X . Si φ tiene la propiedad de que

${\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)}$

cuando sea

${\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,}$

entonces φ se llama medida métrica exterior .

Teorema . Si φ es una medida externa métrica de X , entonces cada subconjunto de Borel de X es φ -medible. (Los conjuntos de Borel de X son los elementos de la σ -álgebra más pequeña generada por los conjuntos abiertos).

Construcción de medidas exteriores

Existen varios procedimientos para construir medidas externas en un conjunto. La referencia clásica de Munroe que aparece a continuación describe dos particularmente útiles, a los que se hace referencia como Método I y Método II .

Método I

Sea X un conjunto, C una familia de subconjuntos de X que contiene el conjunto vacío y p una función real extendida no negativa en C que se desvanece en el conjunto vacío.

Teorema . Supóngase que la familia C y la función p son como las anteriores y definamos

${\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}.}$

Es decir, el ínfimo se extiende sobre todas las secuencias {A _i } de elementos de C que cubren E , con la convención de que el ínfimo es infinito si no existe dicha secuencia. Entonces φ es una medida externa sobre X .

Método II

La segunda técnica es más adecuada para construir medidas externas en espacios métricos, ya que produce medidas externas métricas. Supongamos que (X, d) es un espacio métrico. Como antes, C es una familia de subconjuntos de X que contiene el conjunto vacío y p una función extendida no negativa de valor real en C que se anula en el conjunto vacío. Para cada δ > 0 , sea

${\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}}$

y

${\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.}$

Obviamente, φ _δ ≥ φ _δ' cuando δ ≤ δ' puesto que el ínfimo se toma sobre una clase más pequeña a medida que δ disminuye. Por lo tanto

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]}$

existe (posiblemente infinito).

Teorema . φ ₀ es una medida métrica exterior en X .

Esta es la construcción utilizada en la definición de medidas de Hausdorff para un espacio métrico.

Véase también

• Medida interior

Notas

1. Carathéodory 1968
2. Aliprantis y Border 2006, págs. S379
3. La definición original que se da más arriba se basa en los textos ampliamente citados de Federer y de Evans y Gariepy. Nótese que ambos libros utilizan una terminología no estándar para definir una "medida" como lo que aquí se denomina una "medida externa".

Referencias

• Aliprantis, CD; Border, KC (2006). Análisis de dimensión infinita (3.ª ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag . ISBN 3-540-29586-0.
• Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (en alemán) (3ª ed.). Publicaciones de Chelsea . ISBN 978-0828400381.
• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (2015). Teoría de la medida y propiedades finas de funciones. Edición revisada . Libros de texto de matemáticas. CRC Press, Boca Raton, FL. pp. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6.
• Federer, H. (1996) [1969]. Teoría de la medida geométrica . Clásicos de las matemáticas (1.ª ed., reimpresión). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag . ISBN. 978-3540606567.
• Halmos, P. (1978) [1950]. Teoría de la medida. Textos de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.
• Munroe, ME (1953). Introducción a la medición y la integración (1.ª ed.). Addison Wesley . ISBN 978-1124042978.
• Kolmogorov, AN ; Fomin, SV (1970). Introducción al análisis real. Richard A. Silverman trad. Nueva York: Dover Publications . ISBN 0-486-61226-0.

Enlaces externos

• Medida exterior en Enciclopedia de Matemáticas
• Medida carateodórica en la Enciclopedia de Matemáticas