Medida exterior métrica

En matemáticas , una medida externa métrica es una medida externa μ definida en los subconjuntos de un espacio métrico dado ( X ,  d ) tal que

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$

para cada par de subconjuntos A y B separados positivamente de X.

Construcción de medidas métricas exteriores

Sea τ  : Σ → [0, +∞] una función de conjunto definida en una clase Σ de subconjuntos de X que contienen el conjunto vacío ∅, tal que τ (∅) = 0. Se puede demostrar que la función de conjunto μ definida por

${\displaystyle \mu (E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }(E),}$

dónde

${\displaystyle \mu _{\delta }(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\tau (C_{i})\right|C_{i}\in \Sigma ,\operatorname {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\},}$

no es sólo una medida externa, sino también una medida externa métrica. (Algunos autores prefieren tomar un supremo sobre δ  > 0 en lugar de un límite cuando δ  → 0; los dos dan el mismo resultado, ya que μ _δ ( E ) aumenta a medida que δ disminuye).

Para la función τ se puede utilizar

${\displaystyle \tau (C)=\operatorname {diam} (C)^{s},\,}$

donde s es una constante positiva; este τ se define en el conjunto potencia de todos los subconjuntos de X . Por el teorema de extensión de Carathéodory , la medida exterior puede ser promovida a una medida completa; la medida asociada μ es la medida de Hausdorff s -dimensional . De manera más general, se podría utilizar cualquier función denominada de dimensión .

Esta construcción es muy importante en geometría fractal , ya que así se obtiene la medida de Hausdorff . La medida de empaquetamiento es superficialmente similar, pero se obtiene de una manera diferente, empaquetando bolas dentro de un conjunto, en lugar de cubrirlo.

Propiedades de las medidas métricas exteriores

Sea μ una medida métrica exterior en un espacio métrico ( X ,  d ).

• Para cualquier secuencia de subconjuntos A _n , n  ∈  N , de X con

${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n},}$

y tal que A _n y A  \  A _{n +1} están separados positivamente, se sigue que

${\displaystyle \mu (A)=\sup _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n}).}$

• Todos los d - subconjuntos cerrados E de X son μ -medibles en el sentido de que satisfacen la siguiente versión del criterio de Carathéodory: para todos los conjuntos A y B con A  ⊆  E y B  ⊆  X  \  E ,

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

• En consecuencia, todos los subconjuntos de Borel de X (aquellos que se pueden obtener como uniones contables, intersecciones y diferencias teóricas de conjuntos abiertos/cerrados) son μ -medibles.

Referencias

• Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Cambridge Mathematical Library (tercera edición). Cambridge: Cambridge University Press. pp. xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.