Grupo de homeomorfismo

En matemáticas , particularmente en topología , el grupo de homeomorfismos de un espacio topológico es el grupo que consta de todos los homeomorfismos desde el espacio hacia sí mismo con la composición de funciones como operación del grupo . Los grupos de homeomorfismo son muy importantes en la teoría de espacios topológicos y en general son ejemplos de grupos de automorfismo . Los grupos de homeomorfismo son invariantes topológicos en el sentido de que los grupos de homeomorfismo de espacios topológicos homeomorfos son isomórficos como grupos .

Propiedades y ejemplos

Hay una acción grupal natural del grupo de homeomorfismo de un espacio en ese espacio. Sea un espacio topológico y denotemos el grupo de homeomorfismo de por . La acción se define de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

Esta es una acción grupal ya que para todos , ${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$

donde denota la acción del grupo, y el elemento de identidad de (que es la función de identidad en ) se envía puntos a sí mismos. Si esta acción es transitiva , entonces se dice que el espacio es homogéneo . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Topología

Al igual que con otros conjuntos de mapas entre espacios topológicos, al grupo de homeomorfismo se le puede dar una topología, como la topología compacta-abierta . En el caso de espacios regulares localmente compactos, la multiplicación de grupos es entonces continua.

Si el espacio es compacto y de Hausdorff, la inversión también es continua y se convierte en un grupo topológico . Si es Hausdorff, localmente compacto y localmente conectado, esto también es válido. ^[1] Sin embargo, existen espacios métricos separables localmente compactos para los cuales el mapa de inversión no es continuo y, por lo tanto, no es un grupo topológico. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Homeo} (X)}$

Grupo de clases de mapeo

Especialmente en topología geométrica , se considera el grupo de cocientes obtenido al cociente por isotopía , llamado grupo de clases de mapeo :

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$

El MCG también se puede interpretar como el 0º grupo de homotopía . Esto produce la secuencia corta exacta : ${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

En algunas aplicaciones, particularmente superficies, el grupo de homeomorfismos se estudia a través de esta breve secuencia exacta, y estudiando primero el grupo de clases de mapeo y el grupo de homeomorfismos isotópicamente triviales, y luego (a veces) la extensión.

Ver también

• Grupo de clases de mapeo

Referencias

1. Dijkstra, Jan J. (2005), "Sobre los grupos de homeomorfismo y la topología abierta compacta" (PDF) , American Mathematical Monthly , 112 (10): 910–912, doi :10.2307/30037630, MR  2186833

• "grupo de homeomorfismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]