Espacio de Lorentz

En el análisis matemático , los espacios de Lorentz , introducidos por George G. Lorentz en la década de 1950, ^{[1] [2]} son ​​generalizaciones de los espacios más familiares . ${\displaystyle L^{p}}$

Los espacios de Lorentz se denotan por . Al igual que los espacios, se caracterizan por una norma (técnicamente una cuasinorma ) que codifica información sobre el "tamaño" de una función, al igual que lo hace la norma. Las dos nociones cualitativas básicas de "tamaño" de una función son: qué tan alto es el gráfico de la función y qué tan extendido está. Las normas de Lorentz proporcionan un control más estricto sobre ambas cualidades que las normas, al reescalar exponencialmente la medida tanto en el rango ( ) como en el dominio ( ). Las normas de Lorentz, al igual que las normas, son invariantes ante reordenamientos arbitrarios de los valores de una función. ${\displaystyle L^{p,q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Definición

El espacio de Lorentz en un espacio de medida es el espacio de funciones medibles de valor complejo en X tales que la siguiente cuasinorma es finita ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

donde y . Por lo tanto, cuando , ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$ ${\displaystyle q<\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

y, cuando , ${\displaystyle q=\infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}$

También es convencional establecer . ${\displaystyle L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )}$

Reordenamientos decrecientes

La cuasinorma es invariante al reordenar los valores de la función , esencialmente por definición. En particular, dada una función medible de valor complejo definida en un espacio de medida, , su función de reordenamiento decreciente , se puede definir como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}}$

donde es la llamada función de distribución de , dada por ${\displaystyle d_{f}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).}$

Aquí, por conveniencia de notación, se define como . ${\displaystyle \inf \varnothing }$ ${\displaystyle \infty }$

Las dos funciones y son equimensurables , lo que significa que ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f^{\ast }}$

${\displaystyle \lambda {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}$

donde es la medida de Lebesgue en la línea real. La función de reordenamiento decreciente simétrica relacionada , que también es equimedible con , se definiría en la línea real por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}$

Dadas estas definiciones, para y , las cuasinormas de Lorentz están dadas por ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle 0<q\leq \infty }$

${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}$

Espacios de sucesiones de Lorentz

Cuando (la medida de conteo en ), el espacio de Lorentz resultante es un espacio de secuencia . Sin embargo, en este caso es conveniente utilizar una notación diferente. ${\displaystyle (X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Definición.

Para (o en el caso complejo), sea la p-norma para y la ∞-norma. Denote por el espacio de Banach de todas las sucesiones con p-norma finita. Sea el espacio de Banach de todas las sucesiones que satisfacen , dotado de la ∞-norma. Denote por el espacio normado de todas las sucesiones con solo un número finito de entradas distintas de cero. Todos estos espacios desempeñan un papel en la definición de los espacios de sucesiones de Lorentz a continuación. ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\mathbb {N} }}$ ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle d(w,p)}$

Sea una sucesión de números reales positivos que satisfacen , y definamos la norma . El espacio de sucesiones de Lorentz se define como el espacio de Banach de todas las sucesiones donde esta norma es finita. De manera equivalente, podemos definir como la completitud de bajo . ${\displaystyle w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}}$ ${\displaystyle 1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots }$ ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$ ${\displaystyle d(w,p)}$ ${\displaystyle d(w,p)}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{d(w,p)}}$

Propiedades

Los espacios de Lorentz son genuinamente generalizaciones de los espacios en el sentido de que, para cualquier , , que se sigue del principio de Cavalieri . Además, coincide con débil . Son espacios cuasi-Banach (es decir, espacios cuasi-normados que también son completos) y son normables para y . Cuando , está dotado de una norma, pero no es posible definir una norma equivalente a la cuasinorma de , el espacio débil . Como ejemplo concreto de que la desigualdad triangular falla en , considérese ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p,p}=L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{1,1}=L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1,\infty }}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}$

cuya cuasinorma es igual a uno, mientras que la cuasinorma de su suma es igual a cuatro. ${\displaystyle L^{1,\infty }}$ ${\displaystyle f+g}$

El espacio está contenido en siempre que . Los espacios de Lorentz son espacios de interpolación reales entre y . ${\displaystyle L^{p,q}}$ ${\displaystyle L^{p,r}}$ ${\displaystyle q<r}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$

Desigualdad de Hölder

${\displaystyle \|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}$donde , , , y . ${\displaystyle 0<p,p_{1},p_{2}<\infty }$ ${\displaystyle 0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty }$ ${\displaystyle 1/p=1/p_{1}+1/p_{2}}$ ${\displaystyle 1/q=1/q_{1}+1/q_{2}}$

Doble espacio

Si es un espacio de medida σ-finito no atómico, entonces (i) para , o ; (ii) para , o ; (iii) para . Aquí para , para , y . ${\displaystyle (X,\mu )}$
${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=\{0\}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle 1=p<q<\infty }$
${\displaystyle (L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,0<q\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<q\leq p=1}$
${\displaystyle (L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$
${\displaystyle p'=p/(p-1)}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle p'=\infty }$ ${\displaystyle 0<p\leq 1}$ ${\displaystyle \infty '=1}$

Descomposición atómica

Los siguientes son equivalentes para . (i) . (ii) donde tiene un soporte disjunto, con medida , en la que casi en todas partes, y . (iii) casi en todas partes, donde y . (iv) donde tiene un soporte disjunto , con medida distinta de cero, en la que casi en todas partes, son constantes positivas, y . (v) casi en todas partes, donde . ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty }$
${\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \leq 2^{n}}$ ${\displaystyle 0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}}$ ${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}}$ ${\displaystyle \mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}}$ ${\displaystyle \|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}}$ ${\displaystyle B_{0},B_{1}}$ ${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$
${\displaystyle |f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}}$ ${\displaystyle \|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$

Véase también

• Espacio de interpolación
• Desigualdad de Hardy-Littlewood

Referencias

• Grafakos, Loukas (2008), Análisis clásico de Fourier , Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, Sr.  2445437.

Notas

1. G. Lorentz, "Algunos nuevos espacios funcionales", Annals of Mathematics 51 (1950), págs. 37-55.
2. G. Lorentz, "Sobre la teoría de espacios Λ", Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), págs. 411-429.