Cohomología Étale

En matemáticas , los grupos de cohomología étale de una variedad o esquema algebraico son análogos algebraicos de los grupos de cohomología habituales con coeficientes finitos de un espacio topológico , introducidos por Grothendieck para probar las conjeturas de Weil . La teoría de la cohomología de Étale se puede utilizar para construir la cohomología ℓ-ádica , que es un ejemplo de una teoría de la cohomología de Weil en geometría algebraica. Esto tiene muchas aplicaciones, como la prueba de las conjeturas de Weil y la construcción de representaciones de grupos finitos de tipo Lie .

Historia

La cohomología Étale fue introducida por Alexander Grothendieck (1960), utilizando algunas sugerencias de Jean-Pierre Serre , y fue motivada por el intento de construir una teoría de la cohomología de Weil para probar las conjeturas de Weil . Las bases fueron poco después elaboradas por Grothendieck junto con Michael Artin y publicadas como (Artin 1962) y SGA 4 . Grothendieck utilizó la cohomología étale para probar algunas de las conjeturas de Weil ( Bernard Dwork ya había logrado probar la parte de racionalidad de las conjeturas en 1960 utilizando métodos p-ádicos ), y la conjetura restante, análoga a la hipótesis de Riemann, fue demostrada por Pierre Deligne. (1974) utilizando cohomología ℓ-ádica.

Se encontró un mayor contacto con la teoría clásica en la forma de la versión Grothendieck del grupo Brauer ; esto fue aplicado en poco tiempo a la geometría diofántica , por Yuri Manin . La carga y el éxito de la teoría general fue ciertamente integrar toda esta información y demostrar resultados generales como la dualidad de Poincaré y el teorema del punto fijo de Lefschetz en este contexto.

Grothendieck desarrolló originalmente la cohomología étale en un entorno extremadamente general, trabajando con conceptos como los toposes de Grothendieck y los universos de Grothendieck . En retrospectiva, gran parte de esta maquinaria resultó innecesaria para la mayoría de las aplicaciones prácticas de la teoría étale, y Deligne (1977) dio una exposición simplificada de la teoría de la cohomología étale. El uso que hace Grothendieck de estos universos (cuya existencia no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) llevó a cierta especulación de que la cohomología étale y sus aplicaciones (como la prueba del último teorema de Fermat ) requieren axiomas más allá de ZFC. Sin embargo, en la práctica, la cohomología étale se utiliza principalmente en el caso de haces construibles sobre esquemas de tipo finito sobre números enteros, y esto no necesita axiomas profundos de la teoría de conjuntos: con cuidado, los objetos necesarios pueden construirse sin utilizar conjuntos incontables, y esto se puede hacer en ZFC, e incluso en teorías mucho más débiles.

La cohomología de Étale rápidamente encontró otras aplicaciones, por ejemplo Deligne y George Lusztig la usaron para construir representaciones de grupos finitos de tipo Lie ; ver teoría de Deligne-Lusztig .

Motivación

Para variedades algebraicas complejas, las invariantes de la topología algebraica, como el grupo fundamental y los grupos de cohomología, son muy útiles, y nos gustaría tener análogos de estos para variedades en otros campos, como los campos finitos. (Una razón para esto es que Weil sugirió que las conjeturas de Weil podrían demostrarse utilizando dicha teoría de cohomología). En el caso de la cohomología de haces coherentes , Serre demostró que se podía obtener una teoría satisfactoria simplemente usando la topología de Zariski de la ecuación algebraica. variedad, y en el caso de variedades complejas esto da los mismos grupos de cohomología (para haces coherentes) que la topología compleja mucho más fina. Sin embargo, para haces constantes, como el haz de números enteros, esto no funciona: los grupos de cohomología definidos utilizando la topología de Zariski se comportan mal. Por ejemplo, Weil imaginó una teoría de cohomología para variedades sobre campos finitos con un poder similar al de la cohomología singular habitual de espacios topológicos, pero, de hecho, cualquier haz constante en una variedad irreducible tiene una cohomología trivial (todos los grupos de cohomología superiores desaparecen).

La razón por la que la topología de Zariski no funciona bien es que es demasiado tosca: tiene muy pocos conjuntos abiertos. Parece que no hay una buena manera de solucionar este problema mediante el uso de una topología más fina en una variedad algebraica general. La idea clave de Grothendieck fue darse cuenta de que no hay ninguna razón por la que los conjuntos abiertos más generales deban ser subconjuntos de la variedad algebraica: la definición de haz funciona perfectamente para cualquier categoría, no sólo la categoría de subconjuntos abiertos de un espacio. Definió la cohomología étale reemplazando la categoría de subconjuntos abiertos de un espacio por la categoría de asignaciones étale a un espacio: en términos generales, estos pueden considerarse como subconjuntos abiertos de coberturas finitas no ramificadas del espacio. Estos resultan (después de mucho trabajo) proporcionar suficientes conjuntos abiertos adicionales para que se puedan obtener grupos de cohomología razonables para algunos coeficientes constantes, en particular para los coeficientes Z / n Z cuando n es coprimo con respecto a la característica del campo en el que se está trabajando. encima.

Algunas intuiciones básicas de la teoría son estas:

El requisito étale es la condición que permitiría aplicar el teorema de la función implícita si fuera cierto en geometría algebraica (pero no lo es: las funciones algebraicas implícitas se denominan algebroides en la literatura antigua).
Hay ciertos casos básicos, de dimensión 0 y 1, y para una variedad abeliana , donde se pueden predecir las respuestas con haces constantes de coeficientes (a través de la cohomología de Galois y los módulos de Tate ).

Definiciones

Para cualquier esquema X, la categoría Et( X ) es la categoría de todos los morfismos étale de un esquema a X . Es un análogo de la categoría de subconjuntos abiertos de un espacio topológico, y sus objetos pueden considerarse informalmente como "subconjuntos abiertos étale" de X. La intersección de dos conjuntos abiertos de un espacio topológico corresponde al retroceso de dos mapas de étale a X . Aquí hay un problema teórico de conjuntos bastante menor, ya que Et( X ) es una categoría "grande": sus objetos no forman un conjunto.

Un prehaz en un espacio topológico X es un functor contravariante de la categoría de subconjuntos abiertos a conjuntos. Por analogía, definimos un étale presheaf en un esquema X como un functor contravariante de Et( X ) a conjuntos.

Una pregavilla F en un espacio topológico se llama gavilla si satisface la condición de gavilla: siempre que un subconjunto abierto está cubierto por subconjuntos abiertos U _i , y se nos dan elementos de F ( U _i ) para todo i cuyas restricciones a U _i ∩ U _j concuerda para todo i , j , entonces son imágenes de un elemento único de F ( U ). Por analogía, una prehaz de étale se llama gavilla si satisface la misma condición (con intersecciones de conjuntos abiertos reemplazadas por retrocesos de morfismos de étale, y donde se dice que un conjunto de mapas de étale a U cubre U si el espacio topológico subyacente a U es la unión de sus imágenes). De manera más general, se puede definir un haz para cualquier topología de Grothendieck en una categoría de manera similar.

La categoría de haces de grupos abelianos sobre un esquema tiene suficientes objetos inyectivos, por lo que se pueden definir funtores derivados por la derecha de funtores exactos por la izquierda. Los grupos de cohomología étale H ⁱ ( F ) de la gavilla F de grupos abelianos se definen como los functores derivados derechos del funtor de secciones,

F\a \Gamma (F)

(donde el espacio de las secciones Γ( F ) de F es F ( X )). Las secciones de una gavilla pueden considerarse como Hom( Z , F ), donde Z es la gavilla que devuelve los números enteros como un grupo abeliano . La idea del funtor derivado aquí es que el functor de secciones no respeta secuencias exactas ya que no es exacto; De acuerdo con los principios generales del álgebra homológica habrá una secuencia de functores H ⁰ , H ¹ , ... que representan las 'compensaciones' que deben realizarse para restaurar cierta medida de exactitud (secuencias exactas largas que surgen de secuencias cortas) . El funtor H ⁰ coincide con el funtor de sección Γ.

De manera más general, un morfismo de esquemas f : X → Y induce un mapa f _∗ de gavillas étale sobre X a gavillas étale sobre Y , y sus funtores derivados derechos se denotan por R ^q f _∗ , para q un entero no negativo. En el caso especial en el que Y es el espectro de un campo algebraicamente cerrado (un punto), R ^q f _∗ ( F ) es lo mismo que H ^q ( F ).

Supongamos que X es un esquema noetheriano. Una gavilla étale abeliana F sobre X se llama finita localmente constante si está representada por una cubierta étale de X. Se llama construible si X puede ser cubierto por una familia finita de subesquemas en cada uno de los cuales la restricción de F es finita localmente constante. Se llama torsión si F ( U ) es un grupo de torsión para todo étale cubre U de X. Las poleas finitas localmente constantes son construibles y las poleas construibles son de torsión. Cada haz de torsión es un límite inductivo filtrado de haces construibles.

Grupos de cohomología ℓ-ádica

En aplicaciones a geometría algebraica sobre un cuerpo finito F _q con característica p , el objetivo principal era encontrar un reemplazo para los grupos de cohomología singulares con coeficientes enteros (o racionales), que no están disponibles de la misma manera que para la geometría de un cuerpo algebraico. variedad sobre el campo de números complejos . La cohomología Étale funciona bien para coeficientes Z / n Z para n coprimo a p , pero da resultados insatisfactorios para coeficientes que no son de torsión. Para obtener grupos de cohomología sin torsión a partir de la cohomología étale hay que tomar un límite inverso de los grupos de cohomología étale con ciertos coeficientes de torsión; esto se llama cohomología ℓ-ádica , donde ℓ representa cualquier número primo diferente de p . Se consideran, para los esquemas V , los grupos de cohomología

H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

y define el grupo de cohomología ℓ-ádico

H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

como su límite inverso . Aquí Z _ℓ denota los enteros ℓ-ádicos , pero la definición se realiza mediante el sistema de haces 'constantes' con los coeficientes finitos Z / ℓ ^k Z. (Aquí hay una trampa notoria: la cohomología no conmuta con la toma de límites inversos, y el grupo de cohomología ℓ-ádico, definido como un límite inverso, no es la cohomología con coeficientes en la gavilla étale Z _ℓ ; el último grupo de cohomología existe pero da los grupos de cohomología "incorrectos").

De manera más general, si F es un sistema inverso de gavillas étale Fi _, entonces la cohomología de F se define como el límite inverso de la cohomología de las gavillas F _i.

H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

y aunque hay un mapa natural

H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

Esto no suele ser un isomorfismo. Una gavilla ℓ-ádica es un tipo especial de sistema inverso de gavillas étale F _i , donde i pasa por enteros positivos, y F _i es un módulo sobre Z /ℓ ⁱ Z y el mapa de F _{i +1} a F _i es simplemente reducción mod Z /ℓ ⁱ Z .

Cuando V es una curva algebraica no singular de género g , H ¹ es un módulo Z _ℓ libre de rango 2 g , dual al módulo Tate de la variedad jacobiana de V. Dado que el primer número de Betti de una superficie de Riemann del género g es 2 g , esto es isomorfo a la cohomología singular habitual con coeficientes Z _ℓ para curvas algebraicas complejas. También muestra una razón por la cual se requiere la condición ℓ ≠ p : cuando ℓ = p el rango del módulo Tate es como máximo g .

Pueden ocurrir subgrupos de torsión y Michael Artin y David Mumford los aplicaron a preguntas geométricas ^{[ cita necesaria ]} . Para eliminar cualquier subgrupo de torsión de los grupos de cohomología ℓ-ádicos y obtener grupos de cohomología que sean espacios vectoriales sobre campos de característica 0, se define

H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _ {\ell}.

Esta notación es engañosa: el símbolo Q _ℓ a la izquierda no representa ni una gavilla étale ni una gavilla ℓ-ádica. La cohomología etale con coeficientes en la gavilla etale constante Q _ℓ también existe, pero es bastante diferente de . Confundir estos dos grupos es un error común. $H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }$

Propiedades

En general, los grupos de cohomología ℓ-ádicos de una variedad tienden a tener propiedades similares a los grupos de cohomología singulares de variedades complejas, excepto que son módulos sobre los enteros (o números) ℓ-ádicos en lugar de los enteros (o racionales). Satisfacen una forma de dualidad de Poincaré en variedades proyectivas no singulares, y los grupos de cohomología ℓ-ádica de un "mod de reducción p" de una variedad compleja tienden a tener el mismo rango que los grupos de cohomología singulares. También se cumple una fórmula de Künneth .

Por ejemplo, el primer grupo de cohomología de una curva elíptica compleja es un módulo libre de rango 2 sobre los números enteros, mientras que el primer grupo de cohomología ℓ-ádico de una curva elíptica sobre un campo finito es un módulo libre de rango 2 sobre el ℓ- enteros ádicos, siempre que ℓ no sea la característica del campo en cuestión y sea dual con su módulo Tate .

Hay una forma en la que los grupos de cohomología ℓ-ádicos son mejores que los grupos de cohomología singulares: tienden a ser influenciados por grupos de Galois . Por ejemplo, si se define una variedad compleja sobre los números racionales, el grupo absoluto de Galois de los números racionales actúa sobre sus grupos de cohomología ádica : proporcionan representaciones de Galois .

Los elementos del grupo de Galois de los racionales, distintos de la identidad y la conjugación compleja , no suelen actuar de forma continua sobre una variedad compleja definida sobre los racionales, por lo que no actúan sobre los grupos de cohomología singulares. Este fenómeno de las representaciones de Galois está relacionado con el hecho de que el grupo fundamental de un espacio topológico actúa sobre los grupos de cohomología singulares, porque Grothendieck demostró que el grupo de Galois puede considerarse como una especie de grupo fundamental. (Véase también la teoría de Galois de Grothendieck .)

Cálculo de grupos de cohomología étale para curvas algebraicas.

El principal paso inicial para calcular grupos de cohomología étale de una variedad es calcularlos para curvas algebraicas suaves y conectadas completas X sobre campos algebraicamente cerrados k . Los grupos de cohomología étale de variedades arbitrarias se pueden controlar utilizando análogos de la maquinaria habitual de la topología algebraica, como la secuencia espectral de una fibración. Para las curvas, el cálculo requiere varios pasos, como se indica a continuación (Artin 1962). Sea G _m el haz de funciones que no desaparecen.

Cálculo de H 1 ( X , G m )

La secuencia exacta de las gavillas étale.

1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1

da una secuencia larga y exacta de grupos de cohomología

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

Aquí j es la inyección del punto genérico, i _x es la inyección de un punto cerrado x , G _{m , K} es la gavilla G _m en Spec K (el punto genérico de X ), y Z _x es una copia de Z para cada punto cerrado de X . Los grupos H ⁱ ( i _x* Z ) desaparecen si i > 0 (porque i _x* Z es un haz de rascacielos ) y para i = 0 son Z , por lo que su suma es solo el grupo divisor de X. Además, el primer grupo de cohomología H ¹ ( X , j _∗G _{m , K} ) es isomorfo al grupo de cohomología de Galois H ¹ ( K , K * ) que desaparece según el teorema de Hilbert 90 . Por lo tanto, la larga secuencia exacta de grupos de cohomología étale da una secuencia exacta

K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1

donde Div( X ) es el grupo de divisores de X y K es su campo funcional. En particular, H ¹ ( X , G _m ) es el grupo Picard Pic( X ) (y los primeros grupos de cohomología de G _m son los mismos para las topologías étale y Zariski). Este paso funciona para variedades X de cualquier dimensión (con puntos reemplazados por subvariedades de codimensión 1), no solo para curvas.

Cálculo de H i ( X , G m )

La misma secuencia larga y exacta anterior muestra que si i ≥ 2 entonces el grupo de cohomología ^Hi ( X , G m ₎ es isomorfo a Hi ⁽ X , j _*G _{m , K} ), que es isomorfo al grupo de cohomología de ^Galois Hi ( K , K *). El teorema de Tsen implica que el grupo de Brauer de un campo de función K en una variable sobre un campo algebraicamente cerrado desaparece. Esto a su vez implica que todos los grupos de cohomología de Galois ^Hi ( K , K * ) desaparecen para i ≥ 1, por lo que todos los grupos de cohomología Hi ⁽ X , G _m ) desaparecen si i ≥ 2.

Cálculo de H i ( X , μ n )

Si μ _n es el haz de n -ésimas raíces de la unidad y n y la característica del campo k son números enteros coprimos, entonces:

H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

donde Pic _n ( X ) es un grupo de n puntos de torsión de Pic ( X ). Esto se desprende de los resultados anteriores utilizando la secuencia larga exacta

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

de la secuencia exacta de Kummer de gavillas étale

1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.

e insertando los valores conocidos

H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}

En particular obtenemos una secuencia exacta

1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.

Si n es divisible por p, este argumento se desmorona porque las p -ésimas raíces de la unidad se comportan de manera extraña en campos de característica p . En la topología de Zariski, la secuencia de Kummer no es exacta a la derecha, ya que una función que no desaparece generalmente no tiene una raíz enésima localmente para la topología de Zariski, por lo que este es un lugar donde el uso de la topología étale en lugar de la La topología de Zariski es esencial.

Cálculo de H i ( X , Z/ n Z)

Al fijar una primitiva n -ésima raíz de la unidad, podemos identificar el grupo Z / n Z con el grupo μ _n de n -ésimas raíces de la unidad. El grupo étale H ⁱ ( X , Z / n Z ) es entonces un módulo libre sobre el anillo Z / n Z y su rango viene dado por:

\operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

donde g es el género de la curva X . Esto se desprende del resultado anterior, utilizando el hecho de que el grupo Picard de una curva son los puntos de su variedad jacobiana , una variedad abeliana de dimensión g , y si n es coprimo de la característica entonces los puntos de orden que dividen a n en una curva abeliana variedad de dimensión g sobre un campo algebraicamente cerrado forma un grupo isomorfo a ( Z / n Z ) ^{2 g} . Estos valores para el grupo étale H ⁱ ( X , Z / n Z ) son los mismos que los correspondientes grupos de cohomología singulares cuando X es una curva compleja.

Cálculo de H i ( X , Z/ p Z)

Es posible calcular grupos de cohomología étale con coeficientes de orden constantes divisibles por la característica de forma similar, utilizando la secuencia de Artin-Schreier.

0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0

en lugar de la secuencia de Kummer. (Para los coeficientes en Z / p ⁿ Z hay una secuencia similar que involucra vectores de Witt ). Los grupos de cohomología resultantes generalmente tienen rangos menores que los de los grupos correspondientes en la característica 0.

Ejemplos de grupos de cohomología étale

Si X es el espectro de un campo K con grupo absoluto de Galois G , entonces las gavillas étale sobre X corresponden a conjuntos continuos (o grupos abelianos) sobre los que actúa el grupo (profinito) G , y la cohomología étale de la gavilla es la misma que la cohomología de grupo de G , es decir, la cohomología de Galois de K .
Si X es una variedad compleja, entonces la cohomología étale con coeficientes finitos es isomorfa a la cohomología singular con coeficientes finitos. (Esto no es válido para coeficientes enteros). De manera más general, la cohomología con coeficientes en cualquier haz construible es la misma.
Si F es una gavilla coherente (o G _m ), entonces la cohomología étale de F es la misma que la cohomología de la gavilla coherente de Serre calculada con la topología de Zariski (y si X es una variedad compleja, esta es la misma que la cohomología de la gavilla calculada con la topología habitual topología compleja).
Para variedades y curvas abelianas existe una descripción elemental de cohomología ℓ-ádica. Para las variedades abelianas, el primer grupo de cohomología ℓ-ádico es el dual del módulo de Tate , y los grupos de cohomología superiores están dados por sus potencias exteriores. Para curvas, el primer grupo de cohomología es el primer grupo de cohomología de su jacobiano. Esto explica por qué Weil pudo dar una prueba más elemental de las conjeturas de Weil en estos dos casos: en general, se espera encontrar una prueba elemental siempre que haya una descripción elemental de la cohomología ℓ-ádica.

Dualidad y cohomología de Poincaré con soporte compacto.

Los grupos de cohomología étale con soporte compacto de una variedad X se definen como

H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)

donde j es una inmersión abierta de X en una variedad adecuada Y y j _! es la extensión en 0 de la gavilla étale F a Y . Esto es independiente de la inmersión j . Si X tiene dimensión como máximo n y F es una gavilla de torsión, entonces estos grupos de cohomología con soporte compacto desaparecen si q > 2 n , y si además X es afín de tipo finito sobre un campo separablemente cerrado, los grupos de cohomología desaparecen para q > n (para la última declaración, ver SGA 4, XIV, Cor.3.2). $H_{c}^{q}(X,F)$ $H^{q}(X,F)$

De manera más general, si f es un morfismo separado de tipo finito de X a S (con X y S noetherianos), entonces las imágenes directas superiores con soporte compacto R ^q f _! están definidos por

R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)

para cualquier gavilla de torsión F . Aquí j es cualquier inmersión abierta de X en un esquema Y con un morfismo adecuado g a S (con f = gj ), y como antes , la definición no depende de la elección de j e Y. La cohomología con soporte compacto es el caso especial de esto con S un punto. Si f es un morfismo separado de tipo finito entonces R ^q f _! lleva poleas construibles en X a poleas construibles en S . Si además las fibras de f tienen dimensión como máximo n entonces R ^q f _! desaparece en las poleas de torsión para q > 2n . Si X es una variedad compleja entonces R ^q f _! es igual que la imagen directa superior habitual con soporte compacto (para topología compleja) para poleas de torsión.

Si X es una variedad algebraica suave de dimensión N y n es coprimo de la característica, entonces hay un mapa de trazas

\operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}

y la forma bilineal Tr( a ∪ b ) con valores en Z / n Z identifica cada uno de los grupos

H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})

H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )

con el dual del otro. Este es el análogo de la dualidad de Poincaré para la cohomología étale.

Una aplicación a las curvas.

Así es como se podría aplicar la teoría a la función zeta local de una curva algebraica .

Teorema. Sea $X$ una curva de género $g$ definida sobre $F p$ , el campo finito con $p$ elementos. Entonces para $n \geq 1$

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},

donde $α i$ son ciertos números algebraicos que satisfacen $| α yo | = \sqrt pags$ .

Esto concuerda con que $P 1 (F p n)$ sea una curva de género0 con $p n + 1$ puntos. También muestra que el número de puntos en cualquier curva es bastante cercano (dentro de $2 po n / 2$ ) al de la línea proyectiva; en particular, generaliza el teorema de Hasse sobre curvas elípticas .

idea de prueba

Según el teorema del punto fijo de Lefschetz , el número de puntos fijos de cualquier morfismo $f : X \to X$ es igual a la suma

\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).

Esta fórmula es válida para variedades topológicas ordinarias y topología ordinaria, pero es incorrecta para la mayoría de las topologías algebraicas . Sin embargo, esta fórmula es válida para la cohomología étale (aunque no es tan sencillo de probar).

Los puntos de $X$ que se definen sobre $F p n$ son los fijados por $F n$ , donde $F$ es el automorfismo de Frobenius en la característica $p$ .

La cohomología actual Los números de Betti de $X$ en dimensiones 0, 1, 2 son 1, 2 g y 1 respectivamente.

Según todo esto,

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).

Esto da la forma general del teorema.

La afirmación sobre los valores absolutos de $α i$ es la hipótesis de Riemann unidimensional de las conjeturas de Weil.

Toda la idea encaja en el marco de los motivos : formalmente [ X ] = [punto] + [línea] + [1 parte], y [1 parte] tiene algo así como $\sqrt p$ puntos.

Ver también

Referencias

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Tamme, Günter (1994), Introducción a la cohomología étale , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57116-2

enlaces externos

Cohomología de Archibald y Savitt Étale
Programa Goresky Langlands para físicos
Milne, James S. (1998), Conferencias sobre cohomología Étale
Dolgachev, IV (2001) [1994], "L-adic-cohomology", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press