En matemáticas , la variedad jacobiana J ( C ) de una curva algebraica no singular C del género g es el espacio de módulos de paquetes de líneas de grado 0 . Es el componente conectado de la identidad en el grupo Picard de C , de ahí una variedad abeliana .
La variedad jacobiana lleva el nombre de Carl Gustav Jacobi , quien demostró la versión completa del teorema de Abel-Jacobi , convirtiendo el enunciado de inyectividad de Niels Abel en un isomorfismo. Es una variedad abeliana principalmente polarizada , de dimensión g , y por tanto, sobre los números complejos, es un toro complejo . Si p es un punto de C , entonces la curva C se puede asignar a una subvariedad de J con el punto p dado asignado a la identidad de J , y C genera J como grupo .
Sobre los números complejos, la variedad jacobiana se puede realizar como el espacio cociente V / L , donde V es el dual del espacio vectorial de todos los diferenciales holomórficos globales en C y L es la red de todos los elementos de V de la forma
donde γ es un camino cerrado en C. En otras palabras,
con incrustado a través del mapa de arriba. Esto se puede hacer explícitamente con el uso de funciones theta . [1]
Weil (1948) construyó el jacobiano de una curva sobre un campo arbitrario como parte de su prueba de la hipótesis de Riemann para curvas sobre un campo finito.
El teorema de Abel-Jacobi establece que el toro así construido es una variedad, el jacobiano clásico de una curva, que de hecho parametriza los haces de líneas de grado 0, es decir, puede identificarse con su variedad Picard de equivalencia lineal de módulo de divisores de grado 0.
Como grupo, la variedad jacobiana de una curva es isomorfa al cociente del grupo de divisores de grado cero por el subgrupo de divisores principales, es decir, divisores de funciones racionales. Esto es válido para campos que no son algebraicamente cerrados, siempre que se consideren divisores y funciones definidas sobre ese campo.
El teorema de Torelli establece que una curva compleja está determinada por su jacobiano (con su polarización).
El problema de Schottky pregunta qué variedades abelianas principalmente polarizadas son las jacobianas de las curvas.
La variedad Picard , la variedad Albanese , el jacobiano generalizado y el jacobiano intermedio son generalizaciones del jacobiano para variedades de dimensiones superiores. Para variedades de dimensión superior, la construcción de la variedad jacobiana como cociente del espacio de formas 1 holomorfas se generaliza para dar la variedad albanesa , pero en general no es necesario que sea isomorfa a la variedad Picard.
![{\displaystyle [\gamma ]:\ \omega \mapsto \int _{\gamma }\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5f223d670027d1ab1596db1fce4c457f489f9f)
