Teorema de Hilbert 90

Resultado debido a Kummer sobre extensiones cíclicas de campos que conduce a la teoría de Kummer

En álgebra abstracta , el Teorema 90 de Hilbert (o Satz 90 ) es un resultado importante sobre extensiones cíclicas de campos (o una de sus generalizaciones) que conduce a la teoría de Kummer . En su forma más básica, establece que si L / K es una extensión de campos con grupo de Galois cíclico G  = Gal( L / K ) generado por un elemento y si es un elemento de L de norma relativa 1, es decir ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle N(a):=a\,\sigma (a)\,\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1,}$

entonces existe en L tal que ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=b/\sigma (b).}$

El teorema toma su nombre del hecho de que es el teorema número 90 del Zahlbericht de David Hilbert (Hilbert 1897, 1998), aunque originalmente se debe a Kummer  (1855, p.213, 1861).

 A menudo se le da el nombre a un teorema más general debido a Emmy Noether (1933), que establece que si L / K es una extensión de Galois finita de campos con un grupo de Galois arbitrario G  = Gal ( L / K ), entonces el primer grupo de cohomología de G , con coeficientes en el grupo multiplicativo de L , es trivial:

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Ejemplos

Sea la extensión cuadrática . El grupo de Galois es cíclico de orden 2 y su generador actúa mediante conjugación: ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma :c+di\mapsto c-di.}$

Un elemento en tiene norma . Un elemento de norma uno corresponde así a una solución racional de la ecuación o, en otras palabras, a un punto con coordenadas racionales en el círculo unitario . El teorema 90 de Hilbert luego establece que cada elemento a de norma uno puede escribirse como ${\displaystyle a=x+yi}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle a\sigma (a)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle a={\frac {c-di}{c+di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}-{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i,}$

donde es como en la conclusión del teorema, y ​​c y d son ambos números enteros. Esto puede verse como una parametrización racional de los puntos racionales en el círculo unitario. Los puntos racionales en el círculo unitario corresponden a ternas pitagóricas , es decir, ternas de números enteros que satisfacen . ${\displaystyle b=c+di}$ ${\displaystyle (x,y)=(p/r,q/r)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=r^{2}}$

Cohomología

El teorema se puede expresar en términos de cohomología de grupo : si L ^× es el grupo multiplicativo de cualquier extensión de Galois L (no necesariamente finita) de un campo K con el correspondiente grupo de Galois G , entonces

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Específicamente, la cohomología de grupo es la cohomología del complejo cuyas icocadenas son funciones arbitrarias desde i -tuplas de elementos del grupo hasta el grupo de coeficientes multiplicativos, con diferenciales definidos en dimensiones por: ${\displaystyle C^{i}(G,L^{\times })=\{\phi :G^{i}\to L^{\times }\}}$ ${\displaystyle d^{i}:C^{i}\to C^{i+1}}$ ${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle (d^{0}(b))(\sigma )=b/b^{\sigma },\quad {\text{ and }}\quad (d^{1}(\phi ))(\sigma ,\tau )\,=\,\phi (\sigma )\phi (\tau )^{\sigma }/\phi (\sigma \tau ),}$

donde denota la imagen del elemento módulo bajo la acción del elemento grupo . Tenga en cuenta que en el primero de ellos hemos identificado una cocadena 0 , con su valor de imagen único . La trivialidad del primer grupo de cohomología es entonces equivalente a que los 1-cociclos sean iguales a los 1-colímites , a saber: ${\displaystyle x^{g}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{b}:G^{0}=id_{G}\to L^{\times }}$ ${\displaystyle b\in L^{\times }}$ ${\displaystyle Z^{1}}$ ${\displaystyle B^{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}Z^{1}&=&\ker d^{1}&=&\{\phi \in C^{1}{\text{ satisfying }}\,\,\forall \sigma ,\tau \in G\,\colon \,\,\phi (\sigma \tau )=\phi (\sigma )\,\phi (\tau )^{\sigma }\}\\{\text{ is equal to }}\\B^{1}&=&{\text{im }}d^{0}&=&\{\phi \in C^{1}\ \,\colon \,\,\exists \,b\in L^{\times }{\text{ such that }}\phi (\sigma )=b/b^{\sigma }\ \ \forall \sigma \in G\}.\end{array}}}$

Para cíclico , un 1-cociclo está determinado por , con y: ${\displaystyle G=\{1,\sigma ,\ldots ,\sigma ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle \phi (\sigma )=a\in L^{\times }}$ ${\displaystyle \phi (\sigma ^{i})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{i-1}(a)}$

${\displaystyle 1=\phi (1)=\phi (\sigma ^{n})=a\,\sigma (a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=N(a).}$

Por otro lado, un colímite 1 está determinado por . Al equipararlos se obtiene la versión original del teorema. ${\displaystyle \phi (\sigma )=b/b^{\sigma }}$

Una generalización adicional es la cohomología con coeficientes no abelianos : que si H es el grupo lineal general o especial sobre L , incluido , entonces ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(L)=L^{\times }}$

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

Otra generalización es a un esquema X :

${\displaystyle H_{\text{et}}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X),}$

donde es el grupo de clases de isomorfismo de haces de módulos localmente libres de rango 1 para la topología de Zariski, y es el haz definido por la línea afín sin el origen considerado como un grupo bajo multiplicación. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

Hay otra generalización más de la teoría K de Milnor que juega un papel en la prueba de Voevodsky de la conjetura de Milnor .

Prueba

Sea cíclico de grado y genere . Elige cualquiera de las normas ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle a\in L}$

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

Limpiando denominadores, resolver es lo mismo que mostrar que tiene como valor propio. Extendemos esto a un mapa de espacios vectoriales mediante ${\displaystyle a=x/\sigma ^{-1}(x)\in L}$ ${\displaystyle a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\to L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma ^{-1}(\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma ^{-1}(\ell ').\end{cases}}}$

El teorema del elemento primitivo da para algunos . Dado que tiene un polinomio mínimo. ${\displaystyle L=K(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

podemos identificar

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

a través de

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

Aquí escribimos el segundo factor como un polinomio en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$

Bajo esta identificación, nuestro mapa se convierte en

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma ^{-1}(\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma ^{n-1}\alpha ),\sigma ap(\alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n-2}\alpha )\right).\end{cases}}}$

Es decir debajo de este mapa.

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$es un vector propio con valor propio si y solo si tiene norma . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$

Así, podemos elegir . ${\displaystyle x=1+\sigma a+\sigma a\sigma ^{2}a+\ldots +\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a}$

Referencias

1. Milne, James S. (2013). "Conferencias sobre cohomología de Etale (v2.21)" (PDF) . pag. 80.

• Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), La teoría de los campos de números algebraicos, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1, señor  1646901
• Kummer, Ernst Eduard (1855), "Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 50 : 212–232, doi :10.1515/crll.1855.50.212, ISSN  0075-4102
• Kummer, Ernst Eduard (1861), "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist", Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (en alemán), reimpreso en el volumen 1 de sus obras completas, páginas 699–839
• Capítulo II de JS Milne, Class Field Theory , disponible en su sitio web [1].
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, SEÑOR  1737196, Zbl  0948.11001
• Noether, Emmy (1933), "Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper.", Mathematische Annalen (en alemán), 108 (1): 411–419, doi :10.1007/BF01452845, ISSN  0025-5831, Zbl  0007.29501
• Snaith, Victor P. (1994), Estructura del módulo Galois , monografías del Fields Institute, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0264-X, Zbl  0830.11042

enlaces externos