Colector de fibra

Concepto en geometría diferencial

En geometría diferencial , en la categoría de variedades diferenciables , una variedad fibrada es una inmersión sobreyectiva , es decir, una aplicación sobreyectiva diferenciable tal que en cada punto la aplicación tangente es sobreyectiva o, equivalentemente, su rango es igual a ^[1]. $${\displaystyle \pi :E\to B\,}$$ ${\displaystyle y\in U}$ $${\displaystyle T_{y}\pi :T_{y}E\to T_{\pi (y)}B}$$ ${\displaystyle \dim B.}$

Historia

En topología , las palabras fibra ( Faser en alemán) y espacio de fibras ( gefaserter Raum ) aparecieron por primera vez en un artículo de Herbert Seifert en 1932 , pero sus definiciones se limitan a un caso muy especial. ^[2] Sin embargo, la principal diferencia con la concepción actual de un espacio de fibras era que para Seifert lo que ahora se llama espacio base (espacio topológico) de un espacio de fibras (topológico) no era parte de la estructura, sino que se derivaba de ella como un espacio cociente de La primera definición de espacio de fibras la da Hassler Whitney en 1935 bajo el nombre de espacio de esferas , pero en 1940 Whitney cambió el nombre a fibrado de esferas . ^{[3] [4]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E.}$

La teoría de espacios fibrados, de los cuales los fibrados vectoriales , los fibrados principales , las fibraciones topológicas y las variedades fibradas son un caso especial, se atribuye a Seifert , Hopf , Feldbau , Whitney , Steenrod , Ehresmann , Serre y otros. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Definición formal

Una triple donde y son variedades diferenciables y es una inmersión sobreyectiva, se llama variedad fibrada . ^[10] se llama espacio total , se llama base . ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplos

• Cada haz de fibras diferenciable es una variedad fibrilada .
• Cada espacio de cobertura diferenciable es una variedad fibrada con fibra discreta.
• En general, una variedad fibrilada no tiene por qué ser necesariamente un haz de fibras: fibras diferentes pueden tener topologías diferentes. Un ejemplo de este fenómeno se puede construir tomando el haz trivial y eliminando dos puntos en dos fibras diferentes sobre la variedad base. El resultado es una nueva variedad fibrilada donde todas las fibras excepto dos están conectadas. ${\displaystyle \left(S^{1}\times \mathbb {R} ,\pi _{1},S^{1}\right)}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

Propiedades

• Toda inmersión sobreyectiva es abierta: para cada abierto el conjunto es abierto en ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle V\subseteq E,}$ ${\displaystyle \pi (V)\subseteq B}$ ${\displaystyle B.}$
• Cada fibra es una subvariedad cerrada incrustada de dimensión ^[11] ${\displaystyle \pi ^{-1}(b)\subseteq E,b\in B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \dim E-\dim B.}$
• Una variedad fibrada admite secciones locales: Para cada una hay un vecindario abierto de en y una aplicación suave con y ${\displaystyle y\in E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi (y)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle s:U\to E}$ ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{U}}$ ${\displaystyle s(\pi (y))=y.}$
• Una sobreyección es una variedad fibrada si y sólo si existe una sección local de (con ) que pasa por cada ^[12] ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle s:B\to E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} _{B}}$ ${\displaystyle y\in E.}$

Coordenadas fibrosas

Sea (resp. ) una variedad -dimensional (resp. -dimensional). Una variedad fibrada admite cartas de fibra . Decimos que una carta en es una carta de fibra , o está adaptada a la inmersión sobreyectiva si existe una carta en tal que y donde ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (E,\pi ,B)}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U=\pi (V)}$ $${\displaystyle u^{1}=x^{1}\circ \pi ,\,u^{2}=x^{2}\circ \pi ,\,\dots ,\,u^{n}=x^{n}\circ \pi \,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\left(u^{1},\dots ,u^{n},y^{1},\dots ,y^{p-n}\right).\quad y_{0}\in V,\\\varphi &=\left(x^{1},\dots ,x^{n}\right),\quad \pi \left(y_{0}\right)\in U.\end{aligned}}}$$

La condición del gráfico de fibras anterior se puede expresar de manera equivalente mediante donde es la proyección sobre las primeras coordenadas. El gráfico es, obviamente, único. En vista de la propiedad anterior, las coordenadas de fibra de un gráfico de fibras se denotan generalmente mediante donde las coordenadas del gráfico correspondiente se denotan, con la convención obvia, mediante donde $${\displaystyle \varphi \circ \pi =\mathrm {pr} _{1}\circ \psi ,}$$ $${\displaystyle {\mathrm {pr} _{1}}:{\mathbb {R} ^{n}}\times {\mathbb {R} ^{p-n}}\to {\mathbb {R} ^{n}}\,}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle (V,\psi )}$ ${\displaystyle \psi =\left(x^{i},y^{\sigma }\right)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle \sigma \in \{1,\ldots ,m\},}$ ${\displaystyle m=p-n}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi =\left(x_{i}\right)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}.}$

Por el contrario, si una sobreyección admite un atlas fibrado , entonces es una variedad fibrada. ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle \pi :E\to B}$

Trivialización local y haces de fibras

Sea una variedad fibrada y cualquier variedad. Entonces, un recubrimiento abierto de junto con mapas llamados mapas de trivialización , tal que es una trivialización local con respecto a ^[13] ${\displaystyle E\to B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{U_{\alpha }\right\}}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \psi :\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to U_{\alpha }\times V,}$$ $${\displaystyle \mathrm {pr} _{1}\circ \psi _{\alpha }=\pi ,{\text{ for all }}\alpha }$$ ${\displaystyle V.}$

Una variedad fibrada junto con una variedad es un fibrado con fibra típica (o simplemente fibra ) si admite una trivialización local con respecto al atlas se denomina entonces atlas de fibrados . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \Psi =\left\{\left(U_{\alpha },\psi _{\alpha }\right)\right\}}$

Véase también

• Espacio de fibra algebraica
• Conexión (colector de fibra)  – Funcionamiento en colectores de fibra
• Espacio de cobertura  – Tipo de mapa continuo en topología
• Fibras  : Sobreyección continua que satisface una condición de trivialidad local
• Fibración  – Concepto de topología algebraica
• Paquete natural
• Cuasi-fibración  : un concepto matemático
• Espacio de fibras de Seifert  – Espacio topológico

Notas

1. Kolář, Michor y Slovák 1993, p. 11
2. Seifert 1932
3. Whitney 1935
4. Whitney 1940
5. Feldbau 1939
6. Ehresmann 1947a
7. Ehresmann 1947b
8. Ehresmann 1955
9. Serre 1951
10. Krupka y Janyška 1990, pág. 47
11. Giachetta, Mangiarotti y Sardanashvily 1997, pág. 11
12. Giachetta, Mangiarotti y Sardanashvily 1997, pág. 15
13. Giachetta, Mangiarotti y Sardanashvily 1997, pág. 13

Referencias

• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 , consultado el 15 de junio de 2011
• Krupka, Deméter; Janyška, Josef (1990), Conferencias sobre invariantes diferenciales , Univerzita JE Purkyně V Brně, ISBN 80-210-0165-8
• Saunders, DJ (1989), La geometría de los haces jet , Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Nuevos métodos lagrangianos y hamiltonianos en teoría de campos . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.

Histórico

• Ehresmann, C. (1947a). "Sur la théorie des espaces fibrés". Col. Arriba. Álg. París (en francés). CNRS: 3-15.
• Ehresmann, C. (1947b). "Sur les espaces fibrés différentiables". CR Acad. Ciencia. París (en francés). 224 : 1611-1612.
• Ehresmann, C. (1955). "Les prolongements d'un espace fibré différentiable". CR Acad. Ciencia. París (en francés). 240 : 1755-1757.
• Feldbau, J. (1939). "Sobre la clasificación de espacios de fibras". CR Acad. Ciencia. París (en francés). 208 : 1621-1623.
• Seifert, H. (1932). "Topología dreidimensionaler geschlossener Räume". Acta Matemáticas. (en francés). 60 : 147–238. doi : 10.1007/bf02398271 .
• Serre, J.-P. (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Aplicaciones". Ana. de Matemáticas. (en francés). 54 : 425–505. doi :10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
• Whitney, H. (1935). "Espacios esféricos". Proc. Natl. Sci. USA . 21 (7): 464–468. Bibcode :1935PNAS...21..464W. doi : 10.1073/pnas.21.7.464 . PMC  1076627 . PMID  16588001.
• Whitney, H. (1940). "Sobre la teoría de los haces esféricos". Proc. Natl. Sci. USA . 26 (2): 148–153. Bibcode :1940PNAS...26..148W. doi : 10.1073/pnas.26.2.148 . MR  0001338. PMC  1078023 . PMID  16588328.

Enlaces externos

• McCleary, J. "Una historia de variedades y espacios de fibras: tortugas y liebres" (PDF) .