Transporte de estructura

Propiedad del isomorfismo estructural.

En matemáticas , particularmente en álgebra universal y teoría de categorías , el transporte de estructura se refiere al proceso por el cual un objeto matemático adquiere una nueva estructura y sus definiciones canónicas , como resultado de ser isomorfo a (o identificado de otro modo con) otro objeto con una pre- estructura existente. ^[1] Las definiciones por transporte de estructura se consideran canónicas.

Dado que las estructuras matemáticas a menudo se definen en referencia a un espacio subyacente , muchos ejemplos de transporte de estructura involucran espacios y asignaciones entre ellos. Por ejemplo, si y son espacios vectoriales que son un producto interno de , de modo que hay un isomorfismo de a , entonces se puede definir un producto interno de mediante la siguiente regla: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle [v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))}$

Aunque la ecuación tiene sentido incluso cuando no es un isomorfismo, sólo define un producto interno cuando lo es, ya que de lo contrario provocará que sea degenerada . La idea es que permite considerar y como "el mismo" espacio vectorial y, siguiendo esta analogía, se puede transportar un producto interno de un espacio a otro. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Un ejemplo más elaborado proviene de la topología diferencial , en la que está involucrada la noción de variedad suave : si es tal variedad, y si es cualquier espacio topológico que sea homeomorfo , entonces también se puede considerar como una variedad suave. Es decir, dado un homeomorfismo , se pueden definir gráficos de coordenadas "retirando" los gráficos de coordenadas hasta . Recuerde que un gráfico de coordenadas es un conjunto abierto junto con un mapa inyectivo . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi \colon X\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

para algún número natural ; Para obtener un gráfico de este tipo , se utilizan las siguientes reglas: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle U'=\phi ^{-1}(U)}$y . ${\displaystyle c'=c\circ \phi }$

Además, se requiere que las cartas cubran (el hecho de que las cartas transportadas cubran se deriva inmediatamente del hecho de que es una biyección ). Dado que es una variedad suave , si U y V , con sus mapas y , son dos gráficos en , entonces la composición, el "mapa de transición" ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}}$(un automapa de ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

es suave. Para verificar esto para las cartas transportadas en , observe que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)}$,

y por lo tanto

${\displaystyle c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)}$, y

${\displaystyle d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}}$.

Por lo tanto, el mapa de transición para y es el mismo que para y , por lo tanto, suave. Es decir, es un colector liso mediante transporte de estructura. Este es un caso especial del transporte de estructuras en general. ^[2] ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$

El segundo ejemplo también ilustra por qué el "transporte de estructura" no siempre es deseable. Es decir, se puede considerar el plano y un cono infinito de una cara. Al "aplanar" el cono, se puede obtener un homeomorfismo de y y, por lo tanto, la estructura de una variedad suave en , pero el cono no es "naturalmente" una variedad suave. Es decir, se puede considerar un subespacio del espacio tridimensional, en cuyo contexto no es suave en el punto del cono. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un ejemplo más sorprendente es el de las esferas exóticas , descubierta por Milnor , que afirma que hay exactamente 28 variedades suaves que son homeomorfas pero no difeomorfas con respecto a la esfera de 7 dimensiones en el espacio de 8. Por tanto, el transporte de estructura es más productivo cuando existe un isomorfismo canónico entre los dos objetos. ${\displaystyle S^{7}}$

Ver también

• Lista de jerga matemática
• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas#Transporte de estructuras; isomorfismo

Referencias

1. Holm, Henrik (2015). "Una nota sobre el transporte de estructuras algebraicas" (PDF) . Teoría y Aplicaciones de Categorías . 30 (34): 1121-1131. arXiv : 1504.07366 .
2. Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas: teoría de conjuntos , Hermann (original), Addison-Wesley (traducción), Capítulo IV, Sección 5 "Isomorfismo y transporte de estructuras".