Espacio estándar de Borel

Construcción matemática en topología

En matemáticas , un espacio de Borel estándar es el espacio de Borel asociado a un espacio polaco . Salvo en el caso de los espacios polacos discretos , el espacio de Borel estándar es único, salvo isomorfismo de espacios medibles .

Definición formal

Se dice que un espacio medible es "Borel estándar" si existe una métrica en que lo convierte en un espacio métrico completamente separable de tal manera que entonces es el σ-álgebra de Borel . ^[1] Los espacios de Borel estándar tienen varias propiedades útiles que no se cumplen para los espacios medibles generales. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Propiedades

• Si y son Borel estándar, entonces cualquier aplicación biyectiva medible es un isomorfismo (es decir, la aplicación inversa también es medible). Esto se desprende del teorema de Souslin , ya que un conjunto que es tanto analítico como coanalítico es necesariamente Borel. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )}$
• Si y son espacios de Borel estándar y entonces es medible si y sólo si el gráfico de es Borel. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle (Y,T)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• El producto y la unión directa de una familia contable de espacios de Borel estándar son estándar.
• Cada medida de probabilidad completa en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

Teorema de Kuratowski

Teorema . Sea un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que existe una métrica en que define la topología de y que forma un espacio métrico separable completo. Entonces, como un espacio de Borel es Borel isomorfo a uno de (1) (2) o (3) un espacio discreto finito. (Este resultado recuerda al teorema de Maharam ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

De ello se deduce que un espacio de Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad , ^[2] y que cualquier espacio de Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo .

Los isomorfismos de Borel en espacios de Borel estándar son análogos a los homeomorfismos en espacios topológicos : ambos son biyectivos y cerrados bajo composición, y un homeomorfismo y su inverso son ambos continuos , en lugar de que ambos sean solo medibles mediante Borel.

Véase también

• Espacio medible  – Objeto básico de la teoría de la medida; conjunto y álgebra sigma

Referencias

1. Mackey, GW (1957): Estructura de Borel en grupos y sus duales. Trans. Am. Math. Soc. , 85, 134-165.
2. Srivastava, SM (1991), Un curso sobre conjuntos de Borel , Springer Verlag , ISBN 0-387-98412-7