Ecuación diferencial parcial hiperbólica

Tipos de ecuaciones diferenciales parciales

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial hiperbólica de orden es una ecuación diferencial parcial (EDP) que, en términos generales, tiene un problema de valor inicial bien planteado para las primeras derivadas. ^{[ cita requerida ]} Más precisamente, el problema de Cauchy se puede resolver localmente para datos iniciales arbitrarios a lo largo de cualquier hipersuperficie no característica . Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas, por lo que el estudio de las ecuaciones hiperbólicas es de gran interés contemporáneo. La ecuación hiperbólica modelo es la ecuación de onda . En una dimensión espacial, esta es La ecuación tiene la propiedad de que, si u y su primera derivada temporal son datos iniciales especificados arbitrariamente en la línea t = 0 (con suficientes propiedades de suavidad), entonces existe una solución para todo tiempo t . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$

Las soluciones de las ecuaciones hiperbólicas son "onda-onda". Si se produce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, no todos los puntos del espacio la sienten de inmediato. En relación con una coordenada temporal fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita . Viajan a lo largo de las características de la ecuación. Esta característica distingue cualitativamente las ecuaciones hiperbólicas de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Una perturbación de los datos iniciales (o de frontera) de una ecuación elíptica o parabólica se siente de inmediato en prácticamente todos los puntos del dominio.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen del tipo particular de ecuación diferencial en consideración. Existe una teoría bien desarrollada para los operadores diferenciales lineales , debido a Lars Gårding , en el contexto del análisis microlocal . Las ecuaciones diferenciales no lineales son hiperbólicas si sus linealizaciones son hiperbólicas en el sentido de Gårding. Existe una teoría algo diferente para los sistemas de ecuaciones de primer orden que provienen de sistemas de leyes de conservación .

Definición

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto siempre que el problema de Cauchy sea solucionable de manera única en un entorno de para cualquier dato inicial dado en una hipersuperficie no característica que pase por . ^[1] Aquí los datos iniciales prescritos consisten en todas las derivadas (transversales) de la función en la superficie hasta uno menos que el orden de la ecuación diferencial. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Ejemplos

Mediante un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma con puede transformarse en la ecuación de onda , salvo los términos de orden inferior que no son esenciales para la comprensión cualitativa de la ecuación. ^{[2] : 400} Esta definición es análoga a la definición de una hipérbola plana . $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(lower order derivative terms)}}=0}$$ $${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$

La ecuación de onda unidimensional es un ejemplo de ecuación hiperbólica. Las ecuaciones de onda bidimensionales y tridimensionales también entran en la categoría de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas. Este tipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica de segundo orden puede transformarse en un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales de primer orden. ^{[2] : 402} $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$

Sistemas hiperbólicos de ecuaciones de primer orden

El siguiente es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para funciones desconocidas , , donde : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$

donde son funciones que alguna vez fueron continuamente diferenciables y, en general , no lineales . ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$

A continuación, para cada uno defina la matriz jacobiana ${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$ ${\displaystyle s\times s}$ $${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ for }}j=1,\ldots ,d.}$$

El sistema ( ∗ ) es hiperbólico si para toda la matriz sólo tiene valores propios reales y es diagonalizable . ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$

Si la matriz tiene s valores propios reales distintos , se deduce que es diagonalizable. En este caso, el sistema ( ∗ ) se denomina estrictamente hiperbólico . ${\displaystyle A}$

Si la matriz es simétrica, se deduce que es diagonalizable y los valores propios son reales. En este caso el sistema ( ∗ ) se denomina simétrico hiperbólico . ${\displaystyle A}$

Sistema hiperbólico y leyes de conservación

Existe una conexión entre un sistema hiperbólico y una ley de conservación . Consideremos un sistema hiperbólico de una ecuación diferencial parcial para una función desconocida . Entonces el sistema ( ∗ ) tiene la forma ${\displaystyle u=u({\vec {x}},t)}$

Aquí, se puede interpretar como una cantidad que se mueve de acuerdo con el flujo dado por . Para ver que la cantidad se conserva, integre ( ∗∗ ) sobre un dominio ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)\,d\Omega =0.}$$

Si y son funciones suficientemente suaves, podemos usar el teorema de divergencia y cambiar el orden de la integración para obtener una ley de conservación para la cantidad en la forma general , lo que significa que la tasa de cambio temporal de en el dominio es igual al flujo neto de a través de su frontera . Como se trata de una igualdad, se puede concluir que se conserva dentro de . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\vec {f}}}$ ${\displaystyle \partial /\partial t}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u\,d\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}\,d\Gamma =0,}$$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$

Véase también

• Ecuación diferencial parcial elíptica
• Operador hipoelíptico
• Ecuación diferencial parcial parabólica

Referencias

1. Rozhdestvenskii, BL (2001) [1994], "Ecuación diferencial parcial hiperbólica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
2. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 19 (2.ª ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943, OCLC  465190110

Lectura adicional

• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 

Enlaces externos

• "Ecuación diferencial parcial hiperbólica, métodos numéricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones hiperbólicas lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones hiperbólicas no lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.