Hora local (matemáticas)

Una muestra de la trayectoria de un proceso de Itō junto con su superficie en tiempos locales.

En la teoría matemática de los procesos estocásticos , el tiempo local es un proceso estocástico asociado a procesos de semimartingala como el movimiento browniano , que caracteriza la cantidad de tiempo que una partícula ha pasado en un nivel dado. El tiempo local aparece en varias fórmulas de integración estocástica , como la fórmula de Tanaka , si el integrando no es suficientemente suave. También se estudia en mecánica estadística en el contexto de campos aleatorios .

Definición formal

Para una semimartingala continua de valor real , el tiempo local en el punto es el proceso estocástico que se define informalmente por ${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},}$

donde es la función delta de Dirac y es la variación cuadrática . Es una noción inventada por Paul Lévy . La idea básica es que es una medida (adecuadamente reescalada y parametrizada en el tiempo) de cuánto tiempo ha pasado hasta el momento . Más rigurosamente, se puede escribir como el límite casi seguro ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle [B]}$ ${\displaystyle L^{x}(t)}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},}$

que puede demostrarse que siempre existe. Nótese que en el caso especial del movimiento browniano (o más generalmente una difusión de valor real de la forma donde es un movimiento browniano), el término simplemente se reduce a , lo que explica por qué se lo llama tiempo local de en . Para un proceso discreto en el espacio de estados , el tiempo local puede expresarse de manera más simple como ^[1] ${\displaystyle dB=b(t,B)\,dt+dW}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle d[B]_{s}}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.}$

La fórmula de Tanaka

La fórmula de Tanaka también proporciona una definición de tiempo local para una semimartingala continua arbitraria en ^[2] ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} :}$

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

^{Meyer [3]} y Wang ^[4] demostraron independientemente una forma más general ; la fórmula extiende el lema de Itô para funciones dos veces diferenciables a una clase más general de funciones. Si es absolutamente continua con derivada de variación acotada, entonces ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F',}$

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),}$

¿Dónde está la derivada izquierda? ${\displaystyle F'_{-}}$

Si es un movimiento browniano, entonces para cualquier campo de tiempos locales tiene una modificación que es como Hölder continua en con exponente , uniformemente para acotado y . ^[5] En general, tiene una modificación que es como continua en y càdlàg en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$ ${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

La fórmula de Tanaka proporciona la descomposición explícita de Doob-Meyer para el movimiento browniano reflectante unidimensional , . ${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$

Teoremas de Ray-Knight

El campo de tiempos locales asociado a un proceso estocástico en un espacio es un tema muy estudiado en el área de campos aleatorios. Los teoremas de tipo Ray-Knight relacionan el campo L _t con un proceso gaussiano asociado . ${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$ ${\displaystyle E}$

En general, los teoremas de tipo Ray-Knight del primer tipo consideran el campo L _t en un tiempo de impacto del proceso subyacente, mientras que los teoremas del segundo tipo se basan en un tiempo de detención en el que el campo de tiempos locales excede por primera vez un valor dado.

Primer teorema de Ray-Knight

Sea ( B _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano unidimensional iniciado desde B ₀ = a > 0, y ( W _t ) _{t ≥0} un movimiento browniano bidimensional estándar iniciado desde W ₀ = 0 ∈ R ² . Defina el tiempo de detención en el que B toca por primera vez el origen, . Ray ^[6] y Knight ^[7] (independientemente) demostraron que ${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$

donde ( L _t ) _{t ≥ 0} es el campo de tiempos locales de ( B _t ) _{t ≥ 0} , y la igualdad está en distribución en C [0, a ]. El proceso | W _x | ^{2 se conoce como el} proceso de Bessel al cuadrado .

Segundo teorema de Ray-Knight

Sea ( B _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano unidimensional estándar B ₀ = 0 ∈ R , y sea ( L _t ) _{t ≥ 0} el campo asociado de horas locales. Sea T _a la primera hora en la que la hora local en cero excede a > 0

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

Sea ( W _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano unidimensional independiente iniciado desde W ₀ = 0, entonces ^[8]

De manera equivalente, el proceso (que es un proceso en la variable espacial ) es igual en distribución al cuadrado de un proceso de Bessel de dimensión 0 iniciado en , y como tal es markoviano. ${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

Teoremas generalizados de Ray-Knight

Los resultados del tipo Ray-Knight para procesos estocásticos más generales se han estudiado intensamente y se conocen enunciados análogos de ( 1 ) y ( 2 ) para procesos de Markov fuertemente simétricos.

Véase también

• La fórmula de Tanaka
• Movimiento browniano
• Campo aleatorio

Notas

1. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Springer.
2. Kallenberg (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Nueva York: Springer. pp. 428–449. ISBN. 0387949577.
3. Meyer, Paul-André (2002) [1976]. "Un curso sobre las estocásticas integrales". Seminario de probabilidades 1967–1980 . Lectura. Apuntes en Matemáticas. vol. 1771, págs. 174–329. doi :10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN 978-3-540-42813-8.
4. Wang (1977). "Fórmula de Itô generalizada y funcionales aditivos del movimiento browniano". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete . 41 (2): 153-159. doi : 10.1007/bf00538419 . S2CID  123101077.
5. Kallenberg (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Nueva York: Springer. pp. 370. ISBN. 0387949577.
6. Ray, D. (1963). "Tiempos de permanencia de un proceso de difusión". Illinois Journal of Mathematics . 7 (4): 615–630. doi : 10.1215/ijm/1255645099 . MR  0156383. Zbl  0118.13403.
7. Knight, FB (1963). "Paseos aleatorios y un proceso de densidad de estancia del movimiento browniano". Transacciones de la American Mathematical Society . 109 (1): 56–86. doi : 10.2307/1993647 . JSTOR  1993647.
8. Marcus; Rosen (2006). Procesos de Markov, procesos gaussianos y tiempos locales . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 53–56. ISBN 0521863007.

Referencias

• KL Chung y RJ Williams, Introducción a la integración estocástica , 2.ª edición, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 . 
• M. Marcus y J. Rosen, Procesos de Markov, procesos gaussianos y tiempos locales , 1.ª edición, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1 
• P. Mörters e Y. Peres, Brownian Motion , 1.ª edición, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8 .