Hora local (matemáticas)

Un recorrido de muestra de un proceso de Itō junto con su superficie de horas locales.

En la teoría matemática de los procesos estocásticos , el tiempo local es un proceso estocástico asociado a procesos de semimartingala como el movimiento browniano , que caracteriza la cantidad de tiempo que una partícula ha pasado en un nivel determinado. La hora local aparece en varias fórmulas de integración estocástica , como la fórmula de Tanaka , si el integrando no es lo suficientemente suave. También se estudia en mecánica estadística en el contexto de campos aleatorios .

Definicion formal

Para una semimartingala continua de valor real , la hora local de en el punto es el proceso estocástico que se define informalmente por ${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,d[B]_{s},}$

donde es la función delta de Dirac y es la variación cuadrática . Es una noción inventada por Paul Lévy . La idea básica es que es una medida (adecuadamente reescalada y parametrizada en el tiempo) de cuánto tiempo se ha dedicado hasta time . Más rigurosamente, puede escribirse como el límite casi seguro ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle [B]}$ ${\displaystyle L^{x}(t)}$ ${\displaystyle B_{s}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,d[B]_{s},}$

que puede demostrarse que siempre existe. Tenga en cuenta que en el caso especial del movimiento browniano (o más generalmente una difusión en valor real de la forma donde es un movimiento browniano), el término simplemente se reduce a , lo que explica por qué se le llama tiempo local de a las . Para un proceso de espacio de estados discreto , la hora local se puede expresar de manera más simple como ^[1] ${\displaystyle dB=b(t,B)\,dt+dW}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle d[B]_{s}}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds.}$

La fórmula de Tanaka.

La fórmula de Tanaka también proporciona una definición de hora local para una semimartingala continua arbitraria en ^[2] ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} :}$

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)\,dX_{s},\qquad t\geq 0.}$

^{Meyer [3]} y Wang probaron independientemente una forma más general ; ^[4] la fórmula extiende el lema de Itô para funciones dos veces diferenciables a una clase más general de funciones. Si es absolutamente continua con la derivada que es de variación acotada, entonces ${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F',}$

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})\,dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)\,dF'_{-}(x),}$

¿Dónde está la derivada izquierda? ${\displaystyle F'_{-}}$

Si es un movimiento browniano, entonces para cualquier el campo de tiempos locales tiene una modificación que es, como Hölder, continua en con exponente , uniformemente para acotados y . ^[5] En general, tiene una modificación que es continua en y càdlàg en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$ ${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$

La fórmula de Tanaka proporciona la descomposición explícita de Doob-Meyer para el movimiento browniano reflectante unidimensional . ${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$

Teoremas de Ray-Knight

El campo de tiempos locales asociado a un proceso estocástico en un espacio es un tema bien estudiado en el área de campos aleatorios. Los teoremas de tipo Ray-Knight relacionan el campo Lt _con un proceso gaussiano asociado . ${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$ ${\displaystyle E}$

En general, los teoremas de tipo Ray-Knight del primer tipo consideran el campo L _t en un momento de impacto del proceso subyacente, mientras que los teoremas del segundo tipo se expresan en términos de un tiempo de parada en el que el campo de tiempos locales excede por primera vez un valor dado. .

Teorema del primer rayo-caballero

Sea ( B _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano unidimensional iniciado desde B ₀ = a > 0, y ( W _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano bidimensional estándar iniciado desde W ₀ = 0 ∈ R ² . Defina el tiempo de parada en el que B llega por primera vez al origen . Ray ^[6] y Knight ^[7] (independientemente) demostraron que ${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$

donde ( L _t ) _{t ≥ 0} es el campo de tiempos locales de ( B _t ) _{t ≥ 0} , y la igualdad está en distribución en C [0, a ]. El proceso | Ancho _x | ² se conoce como proceso de Bessel al cuadrado .

Teorema del segundo rayo-caballero

Sea ( B _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano unidimensional estándar B ₀ = 0 ∈ R , y sea ( L _t ) _{t ≥ 0} el campo asociado de tiempos locales. Sea T _a la primera vez en la que la hora local en cero excede a > 0

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

Sea ( W _t ) _{t ≥ 0} un movimiento browniano unidimensional independiente iniciado desde W ₀ = 0, entonces ^[8]

De manera equivalente, el proceso (que es un proceso en la variable espacial ) tiene la misma distribución que el cuadrado de un proceso de Bessel de dimensión 0 iniciado en y, como tal, es markoviano. ${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$

Teoremas generalizados de Ray-Knight

Se han estudiado intensamente los resultados del tipo Ray-Knight para procesos estocásticos más generales, y se conocen declaraciones análogas de ( 1 ) y ( 2 ) para procesos de Markov fuertemente simétricos.

Ver también

• La fórmula de Tanaka.
• movimiento browniano
• Campo aleatorio

Notas

1. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Saltador.
2. Kallenberg (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Nueva York: Springer. págs. 428–449. ISBN 0387949577.
3. Meyer, Paul-André (2002) [1976]. "Un curso sobre las estocásticas integrales". Seminario de probabilidades 1967–1980 . Lectura. Apuntes en Matemáticas. vol. 1771, págs. 174–329. doi :10.1007/978-3-540-45530-1_11. ISBN 978-3-540-42813-8.
4. Wang (1977). "Fórmula de Itô generalizada y funcionales aditivos del movimiento browniano". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete . 41 (2): 153-159. doi : 10.1007/bf00538419 . S2CID  123101077.
5. Kallenberg (1997). Fundamentos de la probabilidad moderna . Nueva York: Springer. págs.370. ISBN 0387949577.
6. Ray, D. (1963). "Tiempos de estancia de un proceso de difusión". Revista de Matemáticas de Illinois . 7 (4): 615–630. doi : 10.1215/ijm/1255645099 . SEÑOR  0156383. Zbl  0118.13403.
7. Caballero, FB (1963). "Paseos aleatorios y un proceso de densidad de estancia del movimiento browniano". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 109 (1): 56–86. doi : 10.2307/1993647 . JSTOR  1993647.
8. Marco; Rosen (2006). Procesos de Markov, Procesos Gaussianos y Tiempos Locales . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 53–56. ISBN 0521863007.

Referencias

• KL Chung y RJ Williams, Introducción a la integración estocástica , 2.ª edición, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8 . 
• M. Marcus y J. Rosen, Procesos de Markov, procesos gaussianos y tiempos locales , primera edición, 2006, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-86300-1 
• P. Mörters e Y. Peres, Brownian Motion , 1.ª edición, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8 .