semimartingala

Tipo de proceso estocástico

En teoría de la probabilidad , un proceso estocástico de valor real X se llama semimartingala si puede descomponerse como la suma de una martingala local y un proceso de variación finita adaptado a càdlàg . Las semimartingalas son "buenos integradores" y forman la clase más grande de procesos con respecto a los cuales se pueden definir la integral de Itô y la integral de Stratonovich .

La clase de semimartingalas es bastante grande (incluye, por ejemplo, todos los procesos continuamente diferenciables, el movimiento browniano y los procesos de Poisson ). Las submartingalas y supermartingalas juntas representan un subconjunto de las semimartingalas.

Definición

Un proceso de valor real X definido en el espacio de probabilidad filtrado (Ω, F ,( F _t ) _{t  ≥ 0} ,P) se llama semimartingala si se puede descomponer como

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$

donde M es una martingala local y A es un proceso adaptado a càdlàg de variación localmente acotada . ^{[ se necesita aclaración ]}

Un proceso con valor ^R n ^X = ( X ¹ ,..., X ⁿ ) es una semimartingala si cada uno de sus componentes Xi es una semimartingala.

Definición alternativa

Primero, los procesos predecibles simples se definen como combinaciones lineales de procesos de la forma H t ₌ A 1 { _{t > T } para} tiempos de parada T y F _T -variables aleatorias mensurables A. La integral H · X para cualquier proceso simple y predecible H y un proceso X de valor real es

${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv 1_{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$

Esto se extiende a todos los procesos simples y predecibles mediante la linealidad de H · X en H.

Un proceso X valorado real es una semimartingala si es càdlàg, adaptado, y para cada t ≥ 0,

${\displaystyle \left\{H\cdot X_{t}:H{\rm {\ is\ simple\ predictable\ and\ }}|H|\leq 1\right\}}$

está acotado en probabilidad. El teorema de Bichteler-Dellacherie establece que estas dos definiciones son equivalentes (Protter 2004, p. 144).

Ejemplos

• Los procesos adaptados y continuamente diferenciables son procesos de variación finita continua ^{[ se necesita aclaración ]} y, por lo tanto, semimartingalas.
• El movimiento browniano es una semimartingala.
• Todas las martingalas , submartingalas y supermartingalas de càdlàg son semimartingalas.
• Los procesos de Itō , que satisfacen una ecuación diferencial estocástica de la forma dX = σdW + μdt son semimartingalas. Aquí, W es un movimiento browniano y σ, μ son procesos adaptados.
• Todo proceso de Lévy es una semimartingala.

Aunque la mayoría de los procesos continuos y adaptados estudiados en la literatura son semimartingalas, no siempre es así.

• El movimiento browniano fraccional con parámetro de Hurst H ≠ 1/2 no es una semimartingala.

Propiedades

• Las semimartingalas forman la clase más grande de procesos para los cuales se puede definir la integral de Itō .
• Las combinaciones lineales de semimartingalas son semimartingalas.
• Los productos de las semimartingalas son semimartingalas, lo cual es consecuencia de la fórmula de integración por partes de la integral de Itō .
• La variación cuadrática existe para cada semimartingala.
• La clase de semimartingalas está cerrada bajo detención opcional , localización , cambio de tiempo y cambio absolutamente continuo de medida de probabilidad (ver Teorema de Girsanov ).
• Si X es una semimartingala con valor de R ^m y f es una función dos veces diferenciable de forma continua de R ^m a R ⁿ , entonces f ( X ) es una semimartingala. Esto es una consecuencia del lema de Itō .
• La propiedad de ser una semimartingala se conserva al reducir la filtración. Más precisamente, si _X es una semimartingala con respecto a la filtración _Ft , y está adaptada con respecto a la subfiltración Gt , entonces X es una Gt _- semimartingala.
• (Expansión contable de Jacod) La propiedad de ser una semimartingala se conserva al ampliar la filtración mediante un conjunto contable de conjuntos disjuntos. Supongamos que F _t es una filtración y G _t es la filtración generada por F _t y un conjunto contable de conjuntos mensurables disjuntos. Entonces, cada F _t -semimartingala es también una G _t -semimartingala. (Protter 2004, pág. 53)

Descomposiciones de semimartingala

Por definición, cada semimartingala es la suma de una martingala local y un proceso de variación finito. Sin embargo, esta descomposición no es única.

Semimartingalas continuas

Una semimartingala continua se descompone únicamente como X = M + A donde M es una martingala local continua y A es un proceso de variación finita continua que comienza en cero. (Rogers y Williams 1987, pág. 358)

Por ejemplo, si X es un proceso de Itō que satisface la ecuación diferencial estocástica d X _t = σ _t d W _t + b _t dt, entonces

${\displaystyle M_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dW_{s},\ A_{t}=\int _{0}^{t}b_{s}\,ds.}$

Semimartingalas especiales

Una semimartingala especial es un proceso de valor real con descomposición , donde es una martingala local y es un proceso de variación finita predecible que comienza en cero. Si esta descomposición existe, entonces es única hasta un conjunto P-nulo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=M^{X}+B^{X}}$ ${\displaystyle M^{X}}$ ${\displaystyle B^{X}}$

Cada semimartingala especial es una semimartingala. Por el contrario, una semimartingala es una semimartingala especial si y sólo si el proceso X _t ^*  ≡ sup _{s  ≤  t}  |X _s | es localmente integrable (Protter 2004, p. 130).

Por ejemplo, cada semimartingala continua es una semimartingala especial, en cuyo caso M y A son procesos continuos.

Descomposiciones multiplicativas

Recuerde que denota el exponencial estocástico de la semimartingala . Si es una semimartingala especial tal que ^{[ se necesita aclaración ]} , entonces y es una martingala local. ^[1] El proceso se llama compensador multiplicativo de y la identidad , descomposición multiplicativa de . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta B^{X}\neq -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})\neq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)/{\mathcal {E}}(B^{X})={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(B^{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {M_{u}^{X}}{1+\Delta B_{u}^{X}}}\right){\mathcal {E}}(B^{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

Semimartingalas puramente discontinuas / semimartingalas cuadráticas de salto puro

Una semimartingala se llama puramente discontinua (Kallenberg 2002) si su variación cuadrática [ X ] es un proceso de salto puro de variación finita, es decir,

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}}$.

Según esta definición, el tiempo es una semimartingala puramente discontinua, aunque no presenta ningún salto. La terminología alternativa (y preferida) de semimartingala de salto puro cuadrático para una semimartingala puramente discontinua (Protter 2004, p. 71) está motivada por el hecho de que la variación cuadrática de una semimartingala puramente discontinua es un proceso de salto puro. Cada semimartingala de variación finita es una semimartingala cuadrática de salto puro. Un proceso continuo adaptado es una semimartingala de salto puro cuadrático si y sólo si es de variación finita.

Para cada semimartingala X hay una martingala local continua única que comienza en cero, de modo que es una semimartingala cuadrática de salto puro (He, Wang y Yan 1992, p. 209; Kallenberg 2002, p. 527). La martingala local se llama parte continua de martingala de X. ${\displaystyle X^{c}}$ ${\displaystyle X-X^{c}}$ ${\displaystyle X^{c}}$

Observe que es específico de la medida. Si y son dos medidas equivalentes, entonces normalmente es diferente de , mientras que ambas y son semimartingalas cuadráticas de salto puro. Según el teorema de Girsanov , es un proceso de variación finita continua, que produce . ${\displaystyle X^{c}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X^{c}(P)}$ ${\displaystyle X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X-X^{c}(P)}$ ${\displaystyle X-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle X^{c}(P)-X^{c}(Q)}$ ${\displaystyle [X^{c}(P)]=[X^{c}(Q)]=[X]-\sum _{s\leq \cdot }(\Delta X_{s})^{2}}$

Componentes de tiempo continuo y discreto de una semimartingala

Cada semimartingala tiene una descomposición única. ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X=X_{0}+X^{\mathrm {qc} }+X^{\mathrm {dp} },}$$

^[2]el proceso Itôel proceso Lévycadena de Markovtopología de semimartingala ${\displaystyle X_{0}^{\mathrm {qc} }=X_{0}^{\mathrm {dp} }=0}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {qc} }}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle [X^{\mathrm {qc} },X^{\mathrm {dp} }]=0}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle X^{\mathrm {dp} }}$ ${\displaystyle \{\tau _{n}=2-1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \pm 1/n}$

Semimartingalas en un colector

El concepto de semimartingalas y la teoría asociada del cálculo estocástico se extienden a procesos que toman valores en una variedad diferenciable . Un proceso X en la variedad M es una semimartingala si f ( X ) es una semimartingala para cada función suave f de M a R . (Rogers & Williams 1987, p. 24) El cálculo estocástico para semimartingalas en variedades generales requiere el uso de la integral de Stratonovich .

Ver también

• sigma-martingala

Referencias

1. Lépingle, Dominique; Mémin, Jean (1978). "Sur l'integrabilité uniforme des martingales exponentielles". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete (en francés). 42 (3). Proposición II.1. doi : 10.1007/BF00641409 . ISSN  0044-3719.
2. Černý, Aleš; Ruf, Johannes (1 de noviembre de 2021). "Semimartingalas de puro salto". Bernoulli . 27 (4): 2631. arXiv : 1909.03020 . doi :10.3150/21-BEJ1325. ISSN  1350-7265. S2CID  202538473.

• Él, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Teoría de la semimartingala y cálculo estocástico , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 0-8493-7715-3
• Kallenberg, Olav (2002), Fundamentos de la probabilidad moderna (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-95313-2
• Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Rogers, LCG; Williams, David (1987), Difusiones, procesos de Markov y martingalas , vol. 2, John Wiley & Sons Ltd, ISBN 0-471-91482-7
• Karandikar, Rajeeva L.; Rao, BV (2018), Introducción al cálculo estocástico , Springer Ltd, ISBN 978-981-10-8317-4