La fórmula de Tanaka

En el cálculo estocástico , la fórmula de Tanaka para el movimiento browniano establece que

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})\,dB_{s}+L_{t}}$

donde B _t es el movimiento browniano estándar, sgn denota la función de signo

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}}$

y L _t es su tiempo local en 0 (el tiempo local que B pasó en 0 antes del tiempo t ) dado por el límite L 2

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|.}$

También se puede extender la fórmula a las semimartingalas .

Propiedades

La fórmula de Tanaka es la descomposición explícita de Doob-Meyer de la submartingala | B _t | en la parte martingala (la integral del lado derecho, que es un movimiento browniano ^[1] ), y un proceso continuo creciente (tiempo local). También puede verse como el análogo del lema de Itō para la función de valor absoluto (no suave) , con y ; consulte el tiempo local para una explicación formal del término de Itō. ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$

Esquema de la prueba

La función | x | no es C 2 en x en x  = 0, por lo que no podemos aplicar la fórmula de Itō directamente. Pero si la aproximamos cerca de cero (es decir, en [− ε ,  ε ]) mediante parábolas

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2|\varepsilon |}}+{\frac {|\varepsilon |}{2}}.}$

y usamos la fórmula de Itō , podemos entonces tomar el límite como ε  → 0, lo que conduce a la fórmula de Tanaka.

Referencias

1. Rogers, LGC "I.14". Difusiones, procesos de Markov y martingalas: Volumen 1, Fundamentos . p. 30.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Ejemplo 5.3.2)
• Shiryaev, Albert N. ; trad. N. Kruzhilin (1999). Fundamentos de finanzas estocásticas: hechos, modelos, teoría . Serie avanzada sobre ciencia estadística y probabilidad aplicada n.º 3. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc. ISBN 981-02-3605-0.