En matemáticas , un proceso de Bessel , llamado así en honor a Friedrich Bessel , es un tipo de proceso estocástico .
El proceso de Bessel de orden n es el proceso de valor real X dado (cuando n ≥ 2) por
donde ||·|| denota la norma euclidiana en R n y W es un proceso de Wiener n -dimensional ( movimiento browniano ). Para cualquier n , el proceso de Bessel n -dimensional es la solución de la ecuación diferencial estocástica (EDS)
donde W es un proceso de Wiener unidimensional ( movimiento browniano ). Nótese que esta ecuación diferencial simple tiene sentido para cualquier parámetro real (aunque el término de deriva es singular en cero).
Una notación para el proceso de Bessel de dimensión n iniciado en cero es BES 0 ( n ) .
Para n ≥ 2, el proceso de Wiener n -dimensional iniciado en el origen es transitorio desde su punto de partida: con probabilidad uno , es decir, X t > 0 para todo t > 0. Sin embargo, es recurrente en el vecindario para n = 2, lo que significa que con probabilidad 1, para cualquier r > 0, hay t arbitrariamente grandes con X t < r ; por otro lado, es verdaderamente transitorio para n > 2, lo que significa que X t ≥ r para todo t suficientemente grande.
Para n ≤ 0, el proceso de Bessel suele iniciarse en puntos distintos de 0, ya que la deriva hacia 0 es tan fuerte que el proceso queda estancado en 0 tan pronto como llega a 0.
Los procesos de Bessel de 0 y 2 dimensiones están relacionados con los tiempos locales del movimiento browniano a través de los teoremas de Ray-Knight . [1]
La ley de un movimiento browniano cerca del extremo x es la ley de un proceso de Bessel tridimensional (teorema de Tanaka).
