Función holomorfa

Función (matemática) compleja-diferenciable

Una cuadrícula rectangular (arriba) y su imagen bajo un mapa conforme ( abajo ${\displaystyle f}$ ).

En matemáticas , una función holomorfa es una función de valor complejo de una o más variables complejas que es compleja diferenciable en un entorno de cada punto en un dominio en el espacio de coordenadas complejo . La existencia de una derivada compleja en un entorno es una condición muy fuerte: implica que una función holomorfa es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor (es analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Aunque el término función analítica se utiliza a menudo indistintamente con el de "función holomorfa", la palabra "analítica" se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de tipo más general) que pueda escribirse como una serie de potencias convergentes en un entorno de cada punto de su dominio . Que todas las funciones holomorfas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema importante en el análisis complejo . ^[1]

Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares . ^[2] Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se llama función completa . La frase "holomorfa en un punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ " significa no solo diferenciable en ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ , sino diferenciable en todas partes dentro de algún entorno cercano de ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ en el plano complejo.

Definición

La función ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(z)={\bar {z}}}$ no es compleja \diferenciable en cero, porque como se muestra arriba, el valor de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}}$ varía dependiendo de la dirección desde la que se aproxima a cero. Solo en el eje real, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es igual a la función ⁠ ⁠ ${\displaystyle g(z)=z}$ y el límite es ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ , mientras que solo a lo largo del eje imaginario, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es igual a la función diferente ⁠ ⁠ ${\displaystyle h(z)=-z}$ y el límite es ⁠ ⁠ ${\displaystyle -1}$ . Otras direcciones producen otros límites.

Dada una función de valor complejo de una única ${\displaystyle f}$ variable compleja, la derivada de en un ${\displaystyle f}$ punto de su dominio se define ${\displaystyle z_{0}}$ como el límite ^[3]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Esta es la misma definición que para la derivada de una función real , excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma como el número complejo ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ que tiende a ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ , y esto significa que se obtiene el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos para ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ que tiende a ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . Si existe el límite, se dice que ⁠ ⁠ es ${\displaystyle f}$compleja diferenciable en ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece a la regla del producto , la regla del cociente y la regla de la cadena . ^[4]

Una función es holomorfa en un conjunto abierto ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ si es compleja diferenciable en cada punto de ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ . Una función ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es holomorfa en un punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ si es holomorfa en algún entorno de ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ . ^[5] Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ si es holomorfa en cada punto de ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$ .

Una función puede ser compleja diferenciable en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función es compleja diferenciable en ⁠ ⁠ , pero no es compleja diferenciable en ningún otro lugar, esp. incluyendo ningún lugar cercano a ⁠ ⁠ (ver las ecuaciones de Cauchy–Riemann, a continuación). Por lo tanto, no es holomorfa en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

La relación entre diferenciabilidad real y diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ es holomorfa, entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ tienen primeras derivadas parciales con respecto a ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann : ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

o, equivalentemente, la derivada de Wirtinger de ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ con respecto a ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ , el complejo conjugado de ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ , es cero: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

lo que quiere decir que, aproximadamente, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es funcionalmente independiente de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ , el complejo conjugado de ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ .

Si no se da continuidad, la recíproca no es necesariamente cierta. Una recíproca simple es que si ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ tienen derivadas parciales primeras continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann, entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es holomorfa. Una recíproca más satisfactoria, que es mucho más difícil de demostrar, es el teorema de Looman–Menchoff : si ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es continua, ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ tienen derivadas parciales primeras (pero no necesariamente continuas), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy–Riemann, entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es holomorfa. ^[8]

Terminología

El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet , dos de los estudiantes de Cauchy , y deriva del griego ὅλος ( hólos ) que significa "todo", y μορφή ( morphḗ ) que significa "forma" o "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromórfico derivado de μέρος ( méros ) que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("todo") en un dominio del plano complejo mientras que una función meromórfica (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados ), se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo. ^{[a] [9] [10]} Cauchy había usado en cambio el término sinéctico . ^[b]

En la actualidad, el término "función holomorfa" se prefiere a veces al de "función analítica". Un resultado importante del análisis complejo es que toda función holomorfa es analítica compleja, un hecho que no se desprende de manera obvia de las definiciones. Sin embargo, el término "analítica" también se utiliza ampliamente.

Propiedades

Como la diferenciación compleja es lineal y obedece las reglas del producto, el cociente y la cadena, las sumas, productos y composiciones de funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas es holomorfas siempre que el denominador no sea cero. ^[12] Es decir, si las funciones ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ son holomorfas en un dominio ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ , entonces también lo son ⁠ ⁠ ${\displaystyle f+g}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f-g}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle fg}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\circ g}$ . Además, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f/g}$ es holomorfa si ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ no tiene ceros en ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ ; de lo contrario, es meromórfica .

Si uno se identifica con ${\displaystyle \mathbb {C} }$ el plano real , ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ entonces las funciones holomorfas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con derivadas primeras continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann , un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales . ^[6]

Toda función holomorfa se puede separar en sus partes real e imaginaria ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ , y cada una de ellas es una función armónica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ (cada una satisface la ecuación de Laplace ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$ ), con ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ el conjugado armónico de ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ . ^[13] A la inversa, toda función armónica ⁠ ⁠ ${\displaystyle u(x,y)}$ en un dominio simplemente conexo ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ es la parte real de una función holomorfa: Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle v}$ es el conjugado armónico de ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ , único hasta una constante, entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$ es holomorfa.

El teorema integral de Cauchy implica que la integral de contorno de cada función holomorfa a lo largo de un bucle se desvanece: ^[14]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Aquí ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ hay un camino rectificable en un dominio complejo simplemente conexo ⁠ ⁠ ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ cuyo punto de inicio es igual a su punto final, y ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ es una función holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy establece que cada función holomorfa dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el borde del disco. ^[14] Además: Supóngase que ⁠ ⁠ ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ es un dominio complejo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ es una función holomorfa y el disco cerrado ⁠ ⁠ ${\displaystyle D\equiv \{z:}$ está completamente contenido en ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ . Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ el círculo que forma el borde de ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ . Entonces, para cada ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ en el interior de ⁠ ⁠ ${\displaystyle D}$ :

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

donde la integral del contorno se toma en sentido antihorario .

La derivada ⁠ ⁠ ${\displaystyle {f'}(a)}$ se puede escribir como una integral de contorno ^[14] utilizando la fórmula de diferenciación de Cauchy :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

para cualquier bucle simple que se enrolle positivamente una vez alrededor de ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , y

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

para bucles positivos infinitesimales ⁠ ⁠ ${\displaystyle \gamma }$ alrededor ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ .

En las regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conformes : preservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas. ^[15]

Toda función holomorfa es analítica . Es decir, una función holomorfa ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ tiene derivadas de cada orden en cada punto ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ de su dominio, y coincide con su propia serie de Taylor en ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ en un entorno de ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ . De hecho, ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ coincide con su serie de Taylor en ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ en cualquier disco centrado en ese punto y que se encuentre dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo . Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un dominio integral si y solo si el conjunto abierto es conexo . ^[7] De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , siendo las seminormas las supremas en subconjuntos compactos . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Desde una perspectiva geométrica, una función ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es holomorfa en ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ si y solo si su derivada exterior ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f}$ en un entorno ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ de ⁠ ⁠ ${\displaystyle z_{0}}$ es igual a ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$ para alguna función continua ⁠ ⁠ ${\displaystyle f'}$ . Se sigue de

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ también es proporcional a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} z}$ , lo que implica que la derivada ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} f'}$ es en sí misma holomorfa y, por lo tanto, que ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ es infinitamente diferenciable. De manera similar, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$ implica que cualquier función ⁠ ⁠ ${\displaystyle f}$ que sea holomorfa en la región simplemente conexa ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ también es integrable en ⁠ ⁠ ${\displaystyle U}$ .

(Para un camino de a ${\displaystyle \gamma }$que se ${\displaystyle z_{0}}$ encuentra completamente en , defina ; a la luz del teorema de la curva de Jordan y el teorema generalizado de Stokes , es independiente de la elección particular del camino y , por lo tanto , es una ${\displaystyle z}$ función bien definida en que tiene o . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F(z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$ ${\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}}$

Ejemplos

Todas las funciones polinómicas en ⁠ ⁠ con ${\displaystyle z}$coeficientes complejos son funciones enteras (holomorfas en todo el plano complejo ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ), y también lo son la función exponencial ⁠ ⁠ ${\displaystyle \exp z}$ y las funciones trigonométricas ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$ (cf. fórmula de Euler ). La rama principal de la función logaritmo compleja ⁠ ⁠ ${\displaystyle \log z}$ es holomorfa en el dominio ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$ . La función raíz cuadrada se puede definir como ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$ y, por lo tanto, es holomorfa dondequiera que esté el logaritmo ⁠ ⁠ ${\displaystyle \log z}$ . La función recíproca ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$ es holomorfa en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$ . (La función recíproca, y cualquier otra función racional , es meromórfica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .)

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , cualquier función holomorfa de valor real debe ser constante . Por lo tanto, el valor absoluto , el argumento , la parte real y la parte imaginaria no son holomorfas . Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomorfa es el conjugado complejo (el conjugado complejo es antiholomorfa ) . ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$ ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Varias variables

La definición de una función holomorfa se generaliza a varias variables complejas de una manera sencilla. Una función en ${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ variables complejas es ${\displaystyle n}$ analítica en un punto si ${\displaystyle p}$ existe un entorno de en el ${\displaystyle p}$ que es igual a una serie de potencias convergentes en variables complejas; [ 16 ^] la función es holomorfa en un subconjunto abierto de si es ${\displaystyle f}$analítica en cada punto de . El lema de Osgood muestra (usando la fórmula integral multivariante de Cauchy) que, para una función continua ⁠ ⁠ , esto es equivalente a ⁠ ⁠ ser holomorfa en cada variable por separado (lo que significa que si alguna de las coordenadas de ⁠ ⁠ es fija, entonces la restricción de ⁠ ⁠ es una función holomorfa de la coordenada restante). El teorema de Hartogs, mucho más profundo, demuestra que el supuesto de continuidad es innecesario: ⁠ ⁠ es holomorfa si y solo si es holomorfa en cada variable por separado. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

De manera más general, una función de varias variables complejas que es integrable al cuadrado sobre cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y sólo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de distribuciones.

Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos básicos, más complicadas que las funciones de una única variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una esfera abierta; estas regiones son dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos , cuyo ejemplo más simple es un polidisco . Sin embargo, también tienen algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una única variable compleja, los posibles dominios en los que hay funciones holomorfas que no se pueden extender a dominios más grandes son muy limitados. Un conjunto de este tipo se denomina dominio de holomorfía .

Una forma diferencial compleja es ${\displaystyle (p,0)}$ holomorfa si y solo si su derivada de Dolbeault antiholomórfica es cero : ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$

Extensión al análisis funcional

El concepto de función holomorfa se puede extender a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional . Por ejemplo, la derivada de Fréchet o de Gateaux se puede utilizar para definir una noción de función holomorfa en un espacio de Banach sobre el cuerpo de números complejos.

Véase también

• Antiderivada (análisis complejo)
• Función antiholomórfica
• Biholomorfía
• Estimación de Cauchy
• Mapas armónicos
• Morfismos armónicos
• Separabilidad holomorfa
• Función meromórfica
• Dominios de cuadratura
• Derivados de Wirtinger

Notas al pie

1. Los términos franceses originales eran holomorphe y méromorphe .

   Cuando una función es continua, monotrópica y una derivada, cuando la variable se mezcla en una cierta parte del plan , nous dirons qu'elle est holomorphe dans esta parte del plan. Nous indiquons par esta denominación qu'elle est semblable aux fonctions entières qui jouissent de ces propriétés dans toute l'étendue du plan. [...]

   Una fracción racional admet comme pôles les racines du dénominateur; Es una función holomorfa en toda parte del plan que no contiene ninguno de sus polos.

   Cuando una función es holomorfa en una parte del plan, excepto en ciertos polos, nous dirons qu'elle est méromorphe dans esta parte del plan, c'est-à-dire semable aux fracciones racionales. — Briot y Bouquet (1875), págs. 14-15 ^[9]

   [Cuando una función es continua, monotrópica y tiene derivada, cuando la variable se mueve en una determinada parte del plano , decimos que es holomorfa en esa parte del plano. Con este nombre queremos decir que se asemeja a funciones enteras que gozan de estas propiedades en toda la extensión del plano. ... ]

   [Una fracción racional admite como polos las raíces del denominador; es una función holomorfa en toda aquella parte del plano que no contiene polos.]

   [Cuando una función es holomorfa en una parte del plano, excepto en ciertos polos, decimos que es meromórfica en esa parte del plano, es decir, se parece a fracciones racionales. — Harkness & Morley (1893), p. 161 ^[10] ]

2. Briot & Bouquet (1859), p. 11, también habían adoptado previamente el término sinéctico de Cauchy ( synectique en francés), en la primera edición de su libro. ^[11]

Referencias

1. "Funciones analíticas de una variable compleja". Enciclopedia de Matemáticas . Sociedad Matemática Europea / Springer. 2015 – vía encyclopediaofmath.org.
2. "Función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994] , consultado el 26 de febrero de 2021
3. Ahlfors, L. , Análisis complejo, 3.ª ed. (McGraw-Hill, 1979).
4. Henrici, P. (1986) [1974, 1977]. Análisis complejo computacional y aplicado . Wiley.Tres volúmenes, publ.: 1974, 1977, 1986.
5. Ebenfelt, Peter; Hungerbühler, Norbert; Kohn, José J.; Mok, Ngaiming; Straube, Emil J. (2011). Análisis complejo. Medios científicos y empresariales. Springer - vía Google.
6. Markushevich, AI (1965). Teoría de funciones de una variable compleja . Prentice-Hall.[En tres volúmenes.]
7. Gunning, Robert C. ; Rossi, Hugo (1965). Funciones analíticas de varias variables complejas. Análisis moderno. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall . ISBN 9780821869536. SEÑOR  0180696. Zbl  0141.08601 - vía Google.
8. Gray, JD; Morris, SA (abril de 1978). "¿Cuándo es analítica una función que satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann?". The American Mathematical Monthly . 85 (4): 246–256. doi :10.2307/2321164. JSTOR  2321164.
9. Briot, California ; Ramo, J.-C. (1875). "§15 funciones holomorfas". Théorie des fonctions elliptiques [ Teoría de las funciones elípticas ] (en francés) (2ª ed.). Gauthier-Villars. págs. 14-15.
10. Harkness, James ; Morley, Frank (1893). "5. Integración". Tratado sobre la teoría de funciones . Macmillan. pág. 161.
11. Briot, California ; Ramo, J.-C. (1859). "§10". Teoría de las funciones periódicas de duplicación . Mallet-Bachelier. pag. 11.
12. Henrici, Peter (1993) [1986]. Análisis complejo computacional y aplicado. Wiley Classics Library. Vol. 3 (edición reimpresa). Nueva York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapur: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-58986-1. SEÑOR  0822470. Zbl  1107.30300 - vía Google.
13. Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Matemática Americana.
14. Lang, Serge (2003). Análisis complejo . Springer Verlag GTM. Springer Verlag .
15. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3.ª ed.). Nueva York: McGraw–Hill Book Co. ISBN 978-0-07-054234-1.Sr. 0924157  .
16. Gunning y Rossi. Funciones analíticas de varias variables complejas . p. 2.

Lectura adicional

• Blakey, Joseph (1958). Matemáticas universitarias (2.ª ed.). Londres, Reino Unido: Blackie and Sons. OCLC  2370110.

Enlaces externos

• "Función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]