Concepto en análisis complejo.
En el análisis complejo de una o varias variables complejas , los derivados de Wirtinger (a veces también llamados operadores de Wirtinger [1] ), llamados así en honor a Wilhelm Wirtinger , quien los introdujo en 1927 en el curso de sus estudios sobre la teoría de funciones de varias variables complejas , son parciales. Operadores diferenciales de primer orden que se comportan de manera muy similar a las derivadas ordinarias con respecto a una variable real , cuando se aplican a funciones holomorfas , funciones antiholomórficas o simplemente funciones diferenciables en dominios complejos . Estos operadores permiten la construcción de un cálculo diferencial para tales funciones que es completamente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales . [2]
Notas historicas
Primeros días (1899-1911): la obra de Henri Poincaré
Los derivados de Wirtinger se utilizaron en análisis complejos al menos tan temprano como en el artículo (Poincaré 1899), como señalaron brevemente Cherry y Ye (2001, p. 31) y Remmert (1991, pp. 66-67). [3] En el tercer párrafo de su artículo de 1899, [4] Henri Poincaré define por primera vez la variable compleja en y su conjugado complejo de la siguiente manera![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{casos}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{casos}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego escribe la ecuación que define las funciones que llama biarmónica , [5] previamente escrita usando derivadas parciales respecto de las variables reales con un rango de 1 a , exactamente de la siguiente manera [6]
![{\displaystyle x_{k},y_{q}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k,q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto implica que implícitamente utilizó la definición 2 siguiente: para ver esto basta comparar las ecuaciones 2 y 2' de (Poincaré 1899, p. 112). Aparentemente, este artículo no fue notado por los primeros investigadores en la teoría de funciones de varias variables complejas : en los artículos de Levi-Civita (1905), Levi (1910) (y Levi 1911) y de Amoroso (1912) todos los diferenciales parciales fundamentales Los operadores de la teoría se expresan directamente mediante el uso de derivadas parciales con respecto a las partes real e imaginaria de las variables complejas involucradas. En el extenso artículo de Osgood (1966) (publicado por primera vez en 1913), [7] las derivadas parciales con respecto a cada variable compleja de una función holomorfa de varias variables complejas parecen ser entendidas como derivadas formales : de hecho, cuando Osgood expresa el operador pluriarmónico [8] y el operador Levi, sigue la práctica establecida de Amoroso , Levi y Levi-Civita .
La obra de Dimitrie Pompeiu en 1912 y 1913: una nueva formulación
Según Henrici (1993, p. 294), Dimitrie Pompeiu dio un nuevo paso en la definición del concepto : en el artículo (Pompeiu 1912), dada una función diferenciable valorada compleja (en el sentido de análisis real ) de una variable compleja definida en la vecindad de un punto dado, define la derivada areolar como el siguiente límite
![{\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _ {r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el límite de un disco de radio enteramente contenido en el dominio de definición de, es decir, su círculo delimitador ? [9] Esta es evidentemente una definición alternativa de la derivada de Wirtinger con respecto a la variable conjugada compleja : [10] es más general, ya que, como señaló Henrici (1993, p. 294), el límite puede existir para funciones que ni siquiera son diferenciables en [11] Según Fichera (1969, p. 28), el primero en identificar la derivada areolar como una derivada débil en el sentido de Sobolev fue Ilia Vekua . [12] En su siguiente artículo, Pompeiu (1913) utiliza este concepto recientemente definido para introducir su generalización de la fórmula integral de Cauchy , la ahora llamada fórmula Cauchy-Pompeiu .![{\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z=z_{0}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La obra de Wilhelm Wirtinger.
La primera introducción sistemática de las derivadas de Wirtinger parece deberse a Wilhelm Wirtinger en el artículo Wirtinger 1927 con el fin de simplificar los cálculos de cantidades que ocurren en la teoría de funciones de varias variables complejas : como resultado de la introducción de estos operadores diferenciales , la forma de Todos los operadores diferenciales comúnmente utilizados en la teoría, como el operador de Levi y el operador de Cauchy-Riemann , se simplifican considerablemente y, en consecuencia, son más fáciles de manejar. El artículo está escrito deliberadamente desde un punto de vista formal, es decir, sin dar una derivación rigurosa de las propiedades deducidas.
Definicion formal
A pesar de su uso ubicuo, [13] parece que no existe ningún texto que enumere todas las propiedades de los derivados de Wirtinger: sin embargo, hay referencias bastante completas en el curso breve sobre análisis complejo multidimensional de Andreotti (1976, págs. 3-5), [14 ] la monografía de Gunning & Rossi (1965, pp. 3-6), [15] y la monografía de Kaup & Kaup (1983, p. 2,4) [16] que se utilizan como referencias generales en este y en los siguientes secciones.
Funciones de una variable compleja
Definición 1. Considere el plano complejo (en el sentido de expresar un número complejo para números reales y ). Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden:![{\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z=x+iy}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}} -i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2} }\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Claramente, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es el espacio de funciones en un dominio pero, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a todos los espacios de funciones generalizadas .
![{\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Funciones de n > 1 variables complejas
Definición 2. Considere el espacio euclidiano en el campo complejo.
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{ 1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n} \bien\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
operadores diferenciales parciales lineales![{\displaystyle {\begin{casos}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_ {1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}} ={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right )\\\end{casos}},\qquad {\begin{casos}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2 }}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\ {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n) }}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{casos}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En cuanto a las derivadas de Wirtinger para funciones de una variable compleja, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es nuevamente el espacio de funciones en un dominio y nuevamente, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , se pueden extender fácilmente a cada espacio de funciones generalizadas .
![{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con diferenciación compleja.
Cuando una función es diferenciable compleja en un punto, la derivada de Wirtinger concuerda con la derivada compleja . Esto se desprende de las ecuaciones de Cauchy-Riemann . Para la función compleja que es diferenciable compleja![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \partial f/\partial z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle df/dz}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x }}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x }}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\ derecha)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{ alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la tercera igualdad utiliza las ecuaciones de Cauchy-Riemann .![{\displaystyle {\frac {\u parcial}{\x parcial}}={\frac {\v parcial}{\y parcial}},{\frac {\u parcial}{\y parcial}}=-{ \frac {\v parcial}{\x parcial}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La segunda derivada de Wirtinger también está relacionada con la diferenciación compleja; es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma compleja.![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades básicas
En la presente sección y en las siguientes se supone que es un vector complejo y que son vectores reales , con n ≥ 1: también se supone que el subconjunto puede pensarse como un dominio en el espacio euclidiano real o en su contraparte compleja isomorfa. Todas las pruebas son consecuencias fáciles de la definición 1 y la definición 2 y de las propiedades correspondientes de las derivadas (ordinarias o parciales ).![{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Linealidad
Lema 1. Si y son números complejos , entonces para las siguientes igualdades se cumplen![{\displaystyle f,g\en C^{1}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha,\beta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i=1,\puntos,n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{ \partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i }}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac { \partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Regla del producto
Lema 2. Si entonces para la regla del producto se cumple![{\displaystyle f,g\en C^{1}(\Omega),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i=1,\puntos,n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}} \cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}( f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial { \bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta propiedad implica que las derivadas de Wirtinger son derivaciones desde el punto de vista del álgebra abstracta , exactamente como lo son las derivadas ordinarias .
Cadena de reglas
Esta propiedad toma dos formas diferentes respectivamente para funciones de una y varias variables complejas : para el caso n > 1, para expresar la regla de la cadena en toda su generalidad es necesario considerar dos dominios y dos aplicaciones con requisitos de suavidad natural . [17]![{\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g:\Omega '\a \Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Funciones de una variable compleja
Lema 3.1 Si y entonces se cumple la regla de la cadena![{\displaystyle f,g\en C^{1}(\Omega),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g \right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({ \frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f }{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Funciones de n > 1 variables complejas
Lema 3.2 Si y entonces para la siguiente forma de la regla de la cadena se cumple![{\displaystyle g\en C^{1}(\Omega ',\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\en C^{1}(\Omega,\Omega ''),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i=1,\puntos,m}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\ left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _ j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g \right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_ {j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}} \end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Conjugación
Lema 4. Si entonces para las siguientes igualdades se cumplen![{\displaystyle f\en C^{1}(\Omega),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i=1,\puntos,n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar { f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i }}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ Ver referencias Fichera 1986, p. 62 y Kracht y Kreyszig 1988, pág. 10.
- ^ Algunas de las propiedades básicas de las derivadas de Wirtinger son las mismas que caracterizan a las derivadas ordinarias (o parciales) y se utilizan para la construcción del cálculo diferencial habitual .
- ↑ Cherry & Ye (2001) hace referencia con precisión a la obra Poincaré 1899 de Henri Poincaré , mientras que Reinhold Remmert no cita ninguna referencia que respalde su afirmación.
- ^ Ver referencia (Poincaré 1899, págs. 111-114)
- ^ Estas funciones son precisamente funciones pluriarmónicas , y el operador diferencial lineal que las define, es decir, el operador en la ecuación 2 de (Poincaré 1899, p. 112), es exactamente el operador pluriarmónico de n dimensiones .
- ^ Ver (Poincaré 1899, p. 112), ecuación 2': tenga en cuenta que, en todo el artículo, el símbolo se utiliza para indicar una diferenciación parcial con respecto a una variable dada , en lugar del símbolo ahora común ∂.
![{\displaystyle d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ↑ La edición corregida de Dover (Osgood 1966) del artículo de Osgood de 1913 contiene mucha información histórica importante sobre el desarrollo temprano de la teoría de funciones de varias variables complejas y, por lo tanto, es una fuente útil.
- ^ Véase Osgood (1966, págs. 23-24): curiosamente, llama ecuaciones de Cauchy-Riemann a este conjunto de ecuaciones.
- ^ Ésta es la definición dada por Henrici (1993, p. 294) en su aproximación a la obra de Pompeiu : como señala Fichera (1969, p. 27), la definición original de Pompeiu (1912) no requiere que el dominio de la integración sea un circulo . Ver la entrada derivado areolar para más información.
- ^ Consulte la sección "Definición formal" de esta entrada.
- ^ Véase el problema 2 en Henrici 1993, p. 294 para ver un ejemplo de tal función.
- ↑ Véase también el excelente libro de Vekua (1962, p. 55), Teorema 1.31: Si la derivada generalizada , p > 1, entonces la función tiene casi en todas partes una derivada en el sentido de Pompeiu , siendo esta última igual a la Generalizada. derivado en el sentido de Sobolev
![{\displaystyle \partial _ {\bar {z}}w\in }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{p}(\Omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle w(z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. - ^ Con o sin atribución del concepto a Wilhelm Wirtinger : véase, por ejemplo, la conocida monografía Hörmander 1990, p. 1,23.
- ^ En las conferencias de este curso, Aldo Andreotti utiliza las propiedades de las derivadas de Wirtinger para demostrar el cierre del álgebra de funciones holomorfas bajo ciertas operaciones : este propósito es común a todas las referencias citadas en esta sección.
- ^ Este es un trabajo clásico sobre la teoría de funciones de varias variables complejas que trata principalmente de sus aspectos teóricos de la gavilla : sin embargo, en las secciones introductorias, se introducen las derivadas de Wirtinger y algunas otras herramientas analíticas y se describe su aplicación a la teoría.
- ^ En este trabajo, los autores prueban algunas de las propiedades de las derivadas de Wirtinger también para el caso general de funciones : en este único aspecto, su enfoque es diferente del adoptado por los otros autores citados en esta sección, y quizás más completo.
- ^ Véase Kaup y Kaup 1983, p. 4 y también Gunning 1990, p. 5: Gunning considera el caso general de funciones pero sólo para p = 1. Referencias Andreotti 1976, p. 5 y Gunning y Rossi 1965, pág. 6, como ya se señaló, considera sólo mapas holomórficos con p = 1: sin embargo, las fórmulas resultantes son formalmente muy similares.
![{\displaystyle C^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
Referencias históricas
- Amoroso, Luigi (1912), "Sopra un problema al contorno", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano), 33 (1): 75–85, doi :10.1007/BF03015289, JFM 43.0453.03, S2CID 122956910. " On a border value problem " (traducción libre del título) es el primer artículo donde se proporciona un conjunto de condiciones (bastante complicadas) necesarias y suficientes para la solubilidad del problema de Dirichlet para funciones holomorfas de varias variables .
- Cereza, W.; Ye, Z. (2001), Teoría de la distribución del valor de Nevanlinna: el segundo teorema principal y sus términos de error, Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer Verlag , págs. XII+202, ISBN 978-3-540-66416-1, SEÑOR 1831783, Zbl 0981.30001.
- Fichera, Gaetano (1969), "Derivata areolare e funzioni a variazione limitata", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (en italiano), XIV (1): 27–37, MR 0265616, Zbl 0201.10002. " Derivada areolar y funciones de variación acotada " (traducción gratuita del título al inglés) es un importante artículo de referencia en la teoría de las derivadas areolares.
- Levi, Eugenio Elia (1910), "Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (en italiano), XVII (1): 61–87, doi :10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01, S2CID 122678686. " Estudios sobre puntos singulares esenciales de funciones analíticas de dos o más variables complejas " (traducción al inglés del título) es un artículo importante en la teoría de funciones de varias variables complejas , donde se resuelve el problema de determinar qué tipo de hipersuperficie puede ser la frontera. de un dominio de holomorfia .
- Levi, Eugenio Elia (1911), "Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (en italiano), XVIII (1): 69–79, doi :10.1007/BF02420535, JFM 42.0449.02, S2CID 120133326. " Sobre las hipersuperficies del espacio de 4 dimensiones que pueden ser el límite del dominio de existencia de una función analítica de dos variables complejas " (traducción al inglés del título) es otro artículo importante en la teoría de funciones de varias variables complejas . investigando más a fondo la teoría iniciada en (Levi 1910).
- Levi-Civita, Tullio (1905), "Sulle funzioni di due o più variabili complesse", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 5 (en italiano), XIV (2): 492–499 , JFM 36.0482.01. " Sobre las funciones de dos o más variables complejas " (traducción gratuita al inglés del título) es el primer artículo donde se da una condición suficiente para la solucion del problema de Cauchy para funciones holomorfas de varias variables complejas .
- Osgood, William Fogg (1966) [1913], Temas de la teoría de funciones de varias variables complejas (edición íntegra y corregida), Nueva York: Dover , págs. IV+120, JFM 45.0661.02, MR 0201668, Zbl 0138.30901.
- Peschl, Ernst (1932), "Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammenhängender Gebiete auf das Innere eines Kreises. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von E. Study.", Mathematische Annalen (en alemán), 106 : 574–594, doi :10.1007/BF01455902, JFM 58.1096.05, SEÑOR 1512774, S2CID 127138808, Zbl 0004.30001, disponible en DigiZeitschriften.
- Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (en francés), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM 29.0370.02.
- Pompeiu, D. (1912), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en francés), 33 (1): 108–113, doi :10.1007/BF03015292, JFM 43.0481. 01, S2CID 120717465.
- Pompeiu, D. (1913), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe et sur sures équations intégrales", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en francés), 35 (1): 277–281, doi :10.1007/ BF03015607, S2CID 121616964.
- Vekua, IN (1962), Funciones analíticas generalizadas , Serie internacional de monografías en matemáticas puras y aplicadas, vol. 25, Londres-París-Frankfurt: Pergamon Press , págs. xxx+668, MR 0150320, Zbl 0100.07603
- Wirtinger, Wilhelm (1927), "Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen (en alemán), 97 : 357–375, doi :10.1007/BF01447872, JFM 52.0342.03, S2CID 121149132, disponible en DigiZeitschriften. En este importante artículo, Wirtinger introduce varios conceptos importantes en la teoría de funciones de varias variables complejas , a saber, las derivadas de Wirtinger y la condición tangencial de Cauchy-Riemann.
Referencias científicas
- Andreotti, Aldo (1976), Introduzione all'analisi complessa (Lezioni tenute nel febbraio 1972), Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (en italiano), vol. 24, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , p. 34, archivado desde el original el 7 de marzo de 2012 , consultado el 28 de agosto de 2010. Introducción al análisis complejo es un curso breve de teoría de funciones de varias variables complejas, celebrado en febrero de 1972 en el Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni "Beniamino Segre".
- Fichera, Gaetano (1986), "Unificación de teoremas de existencia global y local para funciones holomorfas de varias variables complejas", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8, 18 (3): 61–83 , SEÑOR 0917525, Zbl 0705.32006.
- Armado, Robert C .; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas, serie de Prentice-Hall en análisis moderno, Englewood Cliffs , Nueva Jersey: Prentice-Hall , págs. xiv+317, ISBN 9780821869536, SEÑOR 0180696, Zbl 0141.08601.
- Gunning, Robert C. (1990), Introducción a las funciones holomorfas de varias variables. Volumen I: Teoría de funciones , Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Belmont, California : Wadsworth & Brooks/Cole, págs. xx+203, ISBN 0-534-13308-8, SEÑOR 1052649, Zbl 0699.32001.
- Henrici, Peter (1993) [1986], Análisis complejo computacional y aplicado Volumen 3, Wiley Classics Library (Reimpresión ed.), Nueva York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapur: John Wiley & Sons , págs. X+637, ISBN 0-471-58986-1, SEÑOR 0822470, Zbl 1107.30300.
- Hörmander, Lars (1990) [1966], Introducción al análisis complejo en varias variables , Biblioteca de Matemáticas de Holanda Septentrional, vol. 7 (3.ª ed. (revisada)), Ámsterdam – Londres – Nueva York – Tokio: Holanda Septentrional , ISBN 0-444-88446-7, SEÑOR 1045639, Zbl 0685.32001.
- Kaup, Ludger; Kaup, Burchard (1983), Funciones holomorfas de varias variables, Estudios de Matemáticas de Gruyter, vol. 3, Berlín-Nueva York: Walter de Gruyter , págs. XV+349, ISBN 978-3-11-004150-7, SEÑOR 0716497, Zbl 0528.32001.
- Kracht, Manfred; Kreyszig, Erwin (1988), Métodos de análisis complejo en aplicaciones y ecuaciones diferenciales parciales, Serie de monografías y textos avanzados de la Sociedad Matemática Canadiense , Nueva York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapur: John Wiley & Sons , págs. xiv+394, ISBN 0-471-83091-7, SEÑOR 0941372, Zbl 0644.35005.
- Martinelli, Enzo (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali, Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (en italiano), vol. 67, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 236+II, archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011 , consultado el 24 de agosto de 2010. " Introducción elemental a la teoría de funciones de variables complejas con especial atención a las representaciones integrales " (traducción inglesa del título) son las notas de un curso, publicado por la Accademia Nazionale dei Lincei , impartido por Martinelli cuando era " Profesor Linceo " .
- Remmert, Reinhold (1991), Teoría de funciones complejas, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 122 (Cuarta edición impresa corregida de 1998), Nueva York–Berlín–Heidelberg–Barcelona–Hong Kong–Londres–Milán–París–Singapur–Tokio: Springer Verlag , págs. xx+453, ISBN 0-387-97195-5, SEÑOR 1084167, Zbl 0780.30001 ISBN 978-0-387-97195-7 . Un libro de texto sobre análisis complejo que incluye muchas notas históricas sobre el tema.
- Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (en italiano), Padua: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, págs. XIV+255, Zbl 0094.28002. Apuntes de un curso impartido por Francesco Severi en el Istituto Nazionale di Alta Matematica (que actualmente lleva su nombre), que contiene apéndices de Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza y Mario Benedicty. Una traducción al inglés del título dice: " Conferencias sobre funciones analíticas de varias variables complejas - Conferencia impartida en 1956-1957 en el Istituto Nazionale di Alta Matematica en Roma ".