Jules Henri Poincaré ( Reino Unido : / ˈpwæ̃kɑːr eɪ / , Estados Unidos : / ˌpwæ̃kɑːˈr eɪ / ; francés : [ ɑ̃ʁi pwɛ̃kaʁe ] ;[1][2][3]29 de abril de 1854 – 17 de julio de 1912) fue unmatemático,físico teórico, ingeniero yfilósofo de la ciencia. A menudo se lo describe como unpolímatay, en matemáticas, como "el último universalista",[4]ya que se destacó en todos los campos de la disciplina tal como existía durante su vida. Debido a su éxito científico, su influencia y sus descubrimientos, ha sido considerado "el filósofo por excelencia de la ciencia moderna".[5]
Como matemático y físico , realizó muchas contribuciones fundamentales originales a las matemáticas puras y aplicadas , la física matemática y la mecánica celeste . [6] En su investigación sobre el problema de los tres cuerpos , Poincaré se convirtió en la primera persona en descubrir un sistema determinista caótico que sentó las bases de la teoría del caos moderna . También se le considera uno de los fundadores del campo de la topología .
Poincaré dejó en claro la importancia de prestar atención a la invariancia de las leyes de la física bajo diferentes transformaciones, y fue el primero en presentar las transformaciones de Lorentz en su forma simétrica moderna. Poincaré descubrió las transformaciones de velocidad relativistas restantes y las registró en una carta a Hendrik Lorentz en 1905. De esta manera obtuvo la invariancia perfecta de todas las ecuaciones de Maxwell , un paso importante en la formulación de la teoría de la relatividad especial . En 1905, Poincaré propuso por primera vez las ondas gravitacionales ( ondes gravifiques ) que emanan de un cuerpo y se propagan a la velocidad de la luz como requeridas por las transformaciones de Lorentz. [7] En 1912, escribió un artículo influyente que proporcionó un argumento matemático para la mecánica cuántica . [8] [9]
El grupo de Poincaré, utilizado en física y matemáticas, recibió su nombre.
A principios del siglo XX formuló la conjetura de Poincaré , que se convirtió, con el tiempo, en uno de los famosos problemas sin resolver de las matemáticas . Fue resuelta en 2002-2003 por Grigori Perelman .
Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en el barrio de la Cité Ducale, Nancy, Meurthe-et-Moselle , en una influyente familia francesa. [10] Su padre Léon Poincaré (1828-1892) fue profesor de medicina en la Universidad de Nancy . [11] Su hermana menor, Aline, se casó con el filósofo espiritual Émile Boutroux . Otro miembro notable de la familia de Henri fue su primo, Raymond Poincaré , un miembro de la Academia Francesa , que fue presidente de Francia de 1913 a 1920, y tres veces primer ministro de Francia entre 1913 y 1929. [12]
Durante su infancia enfermó gravemente de difteria y recibió instrucción especial de su madre, Eugénie Launois (1830-1897).
En 1862, Henri entró en el Liceo de Nancy (ahora rebautizado como Liceo Henri-Poincaré en su honor, junto con la Universidad Henri Poincaré , también en Nancy). Pasó once años en el Liceo y durante este tiempo demostró ser uno de los mejores estudiantes en cada materia que estudió. Se destacó en la composición escrita. Su profesor de matemáticas lo describió como un "monstruo de las matemáticas" y ganó primeros premios en el concurso general , una competición entre los mejores alumnos de todos los Liceos de Francia. Sus peores materias fueron música y educación física, donde fue descrito como "promedio en el mejor de los casos". [13] Sin embargo, la mala vista y una tendencia a la distracción pueden explicar estas dificultades. [14] Se graduó del Liceo en 1871 con un bachillerato en letras y ciencias.
Durante la guerra franco-prusiana de 1870, sirvió junto a su padre en el Cuerpo de Ambulancias .
Poincaré ingresó en la École Polytechnique como el mejor calificado en 1873 y se graduó en 1875. Allí estudió matemáticas como alumno de Charles Hermite , continuando sobresaliendo y publicando su primer artículo ( Demostración nueva de las propiedades de la indicatrice d'une surface ) en 1874. De noviembre de 1875 a junio de 1878 estudió en la École des Mines , mientras continuaba el estudio de matemáticas además del programa de ingeniería de minas , y recibió el título de ingeniero de minas ordinario en marzo de 1879. [15]
Tras graduarse en la Escuela de Minas, se incorporó al Cuerpo de Minas como inspector de la región de Vesoul , en el noreste de Francia. En agosto de 1879, estuvo en el lugar de un desastre minero en Magny en el que murieron 18 mineros. Llevó a cabo la investigación oficial del accidente con la minuciosidad y la humanidad que le caracterizaban.
Al mismo tiempo, Poincaré estaba preparando su doctorado en ciencias matemáticas bajo la supervisión de Charles Hermite. Su tesis doctoral se centró en el campo de las ecuaciones diferenciales . Se tituló Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles . Poincaré ideó una nueva forma de estudiar las propiedades de estas ecuaciones. No solo se enfrentó a la cuestión de determinar la integral de tales ecuaciones, sino que también fue la primera persona en estudiar sus propiedades geométricas generales. Se dio cuenta de que podían usarse para modelar el comportamiento de múltiples cuerpos en movimiento libre dentro del Sistema Solar . Poincaré se graduó en la Universidad de París en 1879.
Después de recibir su título, Poincaré comenzó a enseñar como profesor adjunto de matemáticas en la Universidad de Caen en Normandía (en diciembre de 1879). Al mismo tiempo, publicó su primer artículo importante sobre el tratamiento de una clase de funciones automorfas .
Allí, en Caen , conoció a su futura esposa, Louise Poulain d'Andecy (1857-1934), nieta de Isidore Geoffroy Saint-Hilaire y bisnieta de Étienne Geoffroy Saint-Hilaire y el 20 de abril de 1881 se casaron. [16] Juntos tuvieron cuatro hijos: Jeanne (nacida en 1887), Yvonne (nacida en 1889), Henriette (nacida en 1891) y Léon (nacido en 1893).
Poincaré se estableció inmediatamente entre los matemáticos más grandes de Europa, atrayendo la atención de muchos matemáticos prominentes. En 1881, Poincaré fue invitado a ocupar un puesto de profesor en la Facultad de Ciencias de la Universidad de París ; aceptó la invitación. Durante los años 1883 a 1897, enseñó análisis matemático en la Escuela Politécnica .
En 1881-1882, Poincaré creó una nueva rama de las matemáticas: la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales . Demostró que es posible derivar la información más importante sobre el comportamiento de una familia de soluciones sin tener que resolver la ecuación (ya que esto no siempre es posible). Utilizó con éxito este enfoque para resolver problemas de mecánica celeste y física matemática .
Nunca abandonó del todo su carrera en la administración minera para dedicarse a las matemáticas. Trabajó en el Ministerio de Servicios Públicos como ingeniero encargado del desarrollo del ferrocarril del norte entre 1881 y 1885. Finalmente, se convirtió en ingeniero jefe del Cuerpo de Minas en 1893 e inspector general en 1910.
A partir de 1881 y durante el resto de su carrera, enseñó en la Universidad de París (la Sorbona ). Inicialmente fue nombrado maestro de conferencias de análisis (profesor asociado de análisis). [17] Finalmente, ocupó las cátedras de Mecánica física y experimental, Física matemática y teoría de la probabilidad, [18] y Mecánica celeste y astronomía.
En 1887, a la temprana edad de 32 años, Poincaré fue elegido miembro de la Academia Francesa de Ciencias . Se convirtió en su presidente en 1906 y fue elegido miembro de la Academia Francesa el 5 de marzo de 1908.
En 1887, ganó el concurso matemático de Oscar II, rey de Suecia , por la resolución del problema de los tres cuerpos relativo al movimiento libre de múltiples cuerpos en órbita (véase la sección sobre el problema de los tres cuerpos más abajo).
En 1893, Poincaré se unió a la Oficina de Longitudes de Francia , que lo contrató para sincronizar el tiempo en todo el mundo. En 1897, Poincaré respaldó una propuesta fallida para la decimalización de la medida circular y, por lo tanto, del tiempo y la longitud . [19] Fue este puesto el que lo llevó a considerar la cuestión de establecer zonas horarias internacionales y la sincronización del tiempo entre cuerpos en movimiento relativo. (Véase la sección de trabajo sobre la relatividad a continuación).
En 1904, intervino en los juicios de Alfred Dreyfus , atacando las afirmaciones científicas espurias sobre las pruebas presentadas contra Dreyfus.
Poincaré fue presidente de la Société Astronomique de France (SAF) , la sociedad astronómica francesa, de 1901 a 1903. [20]
Poincaré tuvo dos notables estudiantes de doctorado en la Universidad de París, Louis Bachelier (1900) y Dimitrie Pompeiu (1905). [21]
En 1912, Poincaré fue sometido a una operación por un problema de próstata y murió a causa de una embolia el 17 de julio de 1912, en París. Tenía 58 años. Está enterrado en el panteón familiar de Poincaré, en el cementerio de Montparnasse , en París, en el número 16, cerca de la puerta de la calle Émile-Richard.
En 2004, un ex ministro de Educación francés, Claude Allègre , propuso que Poincaré fuera enterrado nuevamente en el Panteón de París, lugar reservado para los ciudadanos franceses del más alto honor. [22]
Poincaré hizo muchas contribuciones a diferentes campos de la matemática pura y aplicada como: mecánica celeste , mecánica de fluidos , óptica , electricidad , telegrafía , capilaridad , elasticidad , termodinámica , teoría del potencial , teoría cuántica , teoría de la relatividad y cosmología física .
Fue también un divulgador de las matemáticas y la física y escribió varios libros para el público lego.
Entre los temas específicos en los que contribuyó se encuentran los siguientes:
El problema de encontrar la solución general al movimiento de más de dos cuerpos en órbita en el Sistema Solar había eludido a los matemáticos desde la época de Newton . Esto se conoció originalmente como el problema de los tres cuerpos y más tarde como el problema de los n cuerpos , donde n es cualquier número de más de dos cuerpos en órbita. La solución de los n cuerpos se consideró muy importante y desafiante a finales del siglo XIX. De hecho, en 1887, en honor a su 60 cumpleaños, Oscar II, rey de Suecia , asesorado por Gösta Mittag-Leffler , estableció un premio para quien pudiera encontrar la solución al problema. El anuncio fue bastante específico:
Dado un sistema de un número arbitrario de puntos de masa que se atraen entre sí según la ley de Newton , bajo el supuesto de que nunca chocan dos puntos, trate de encontrar una representación de las coordenadas de cada punto como una serie en una variable que sea una función conocida del tiempo y para todos cuyos valores la serie converge uniformemente .
En caso de que el problema no pudiera resolverse, cualquier otra contribución importante a la mecánica clásica sería considerada digna de premio. El premio fue finalmente otorgado a Poincaré, a pesar de que no resolvió el problema original. Uno de los jueces, el distinguido Karl Weierstrass , dijo: "Este trabajo no puede considerarse de hecho como la solución completa de la cuestión propuesta, pero es, sin embargo, de tal importancia que su publicación inaugurará una nueva era en la historia de la mecánica celeste". (La primera versión de su contribución incluso contenía un grave error; para más detalles, véase el artículo de Diacu [24] y el libro de Barrow-Green [25] ). La versión finalmente impresa [26] contenía muchas ideas importantes que llevaron a la teoría del caos . El problema tal como se planteó originalmente fue finalmente resuelto por Karl F. Sundman para n = 3 en 1912 y fue generalizado al caso de n > 3 cuerpos por Qiudong Wang en la década de 1990. Las soluciones en serie tienen una convergencia muy lenta. Se necesitarían millones de términos para determinar el movimiento de las partículas incluso durante intervalos de tiempo muy cortos, por lo que son inutilizables en el trabajo numérico. [24]
El trabajo de Poincaré en la Oficina de Longitudes para establecer zonas horarias internacionales lo llevó a considerar cómo se podrían sincronizar los relojes en reposo en la Tierra, que se moverían a diferentes velocidades en relación con el espacio absoluto (o el " éter luminífero "). Al mismo tiempo, el teórico holandés Hendrik Lorentz estaba desarrollando la teoría de Maxwell en una teoría del movimiento de partículas cargadas ("electrones" o "iones") y su interacción con la radiación. En 1895, Lorentz había introducido una cantidad auxiliar (sin interpretación física) llamada "tiempo local" [27] e introdujo la hipótesis de la contracción de la longitud para explicar el fracaso de los experimentos ópticos y eléctricos para detectar el movimiento relativo al éter (véase el experimento de Michelson-Morley ). [28] Poincaré fue un intérprete constante (y a veces un crítico amistoso) de la teoría de Lorentz. Poincaré como filósofo estaba interesado en el "significado más profundo". De esta manera, interpretó la teoría de Lorentz y, al hacerlo, llegó a muchas conclusiones que ahora se asocian con la relatividad especial. En La medida del tiempo (1898), Poincaré dijo: "Basta con una pequeña reflexión para comprender que todas estas afirmaciones no tienen sentido por sí mismas. Sólo pueden tenerlo como resultado de una convención". También sostuvo que los científicos tienen que establecer la constancia de la velocidad de la luz como postulado para dar a las teorías físicas la forma más simple. [29] Basándose en estas suposiciones, en 1900 analizó la "maravillosa invención" de Lorentz del tiempo local y observó que surgió cuando los relojes en movimiento se sincronizan mediante el intercambio de señales de luz que se supone viajan a la misma velocidad en ambas direcciones en un marco en movimiento. [30]
En 1881 Poincaré describió la geometría hiperbólica en términos del modelo hiperboloide , formulando transformaciones que dejan invariante el intervalo de Lorentz , lo que las hace matemáticamente equivalentes a las transformaciones de Lorentz en 2+1 dimensiones. [31] [32] Además, otros modelos de geometría hiperbólica de Poincaré ( modelo de disco de Poincaré , modelo de semiplano de Poincaré ) así como el modelo de Beltrami-Klein pueden relacionarse con el espacio de velocidad relativista (véase espacio girovectorial ).
En 1892, Poincaré desarrolló una teoría matemática de la luz que incluía la polarización . Su visión de la acción de los polarizadores y retardadores, actuando sobre una esfera que representa estados polarizados, se denomina esfera de Poincaré . [33] Se demostró que la esfera de Poincaré posee una simetría lorentziana subyacente, por la cual puede usarse como una representación geométrica de las transformaciones de Lorentz y las adiciones de velocidad. [34]
En 1900, Poincaré discutió el "principio de movimiento relativo" en dos artículos [30] [35] y lo denominó principio de relatividad en 1904, según el cual ningún experimento físico puede discriminar entre un estado de movimiento uniforme y un estado de reposo. [36] En 1905, Poincaré le escribió a Lorentz sobre el artículo de Lorentz de 1904, que Poincaré describió como un "artículo de suprema importancia". En esta carta, señaló un error que Lorentz había cometido cuando había aplicado su transformación a una de las ecuaciones de Maxwell, la del espacio ocupado por carga, y también cuestionó el factor de dilatación del tiempo dado por Lorentz. [37] En una segunda carta a Lorentz, Poincaré dio su propia razón por la que el factor de dilatación del tiempo de Lorentz era correcto después de todo (era necesario hacer que la transformación de Lorentz formara un grupo) y dio lo que ahora se conoce como la ley relativista de adición de velocidad. [38] Más tarde, Poincaré presentó un documento en la reunión de la Academia de Ciencias de París el 5 de junio de 1905 en el que se abordaron estas cuestiones. En la versión publicada de dicho documento escribió: [39]
El punto esencial, establecido por Lorentz, es que las ecuaciones del campo electromagnético no se alteran por una determinada transformación (que llamaré con el nombre de Lorentz) de la forma:
y demostró que la función arbitraria debe ser la unidad para todos (Lorentz había establecido mediante un argumento diferente) para hacer que las transformaciones formen un grupo. En una versión ampliada del artículo que apareció en 1906, Poincaré señaló que la combinación es invariante . Observó que una transformación de Lorentz es simplemente una rotación en el espacio de cuatro dimensiones alrededor del origen introduciendo como cuarta coordenada imaginaria, y utilizó una forma temprana de cuatro vectores . [40] Poincaré expresó su falta de interés en una reformulación de cuatro dimensiones de su nueva mecánica en 1907, porque en su opinión la traducción de la física al lenguaje de la geometría de cuatro dimensiones implicaría demasiado esfuerzo para un beneficio limitado. [41] Así que fue Hermann Minkowski quien elaboró las consecuencias de esta noción en 1907. [41] [42]
Al igual que otros antes, Poincaré (1900) descubrió una relación entre la masa y la energía electromagnética . Mientras estudiaba el conflicto entre el principio de acción/reacción y la teoría del éter de Lorentz , intentó determinar si el centro de gravedad todavía se mueve con una velocidad uniforme cuando se incluyen los campos electromagnéticos. [30] Observó que el principio de acción/reacción no se cumple solo para la materia, sino que el campo electromagnético tiene su propio momento. Poincaré concluyó que la energía del campo electromagnético de una onda electromagnética se comporta como un fluido ficticio ( fluide fictif ) con una densidad de masa de E / c 2 . Si el marco del centro de masa está definido tanto por la masa de la materia como por la masa del fluido ficticio, y si el fluido ficticio es indestructible ( no se crea ni se destruye ), entonces el movimiento del marco del centro de masa permanece uniforme. Pero la energía electromagnética se puede convertir en otras formas de energía. Poincaré supuso que en cada punto del espacio existe un fluido energético no eléctrico en el que se puede transformar la energía electromagnética y que además lleva una masa proporcional a la energía. De esta manera, el movimiento del centro de masas permanece uniforme. Poincaré dijo que no hay que sorprenderse demasiado por estas suposiciones, ya que son sólo ficciones matemáticas.
Sin embargo, la resolución de Poincaré condujo a una paradoja al cambiar de marcos: si un oscilador hertziano irradia en una dirección determinada, sufrirá un retroceso por la inercia del fluido ficticio. Poincaré realizó un impulso de Lorentz (al orden v / c ) al marco de la fuente en movimiento. Observó que la conservación de la energía se cumple en ambos marcos, pero que se viola la ley de conservación del momento . Esto permitiría el movimiento perpetuo , una noción que aborrecía. Las leyes de la naturaleza tendrían que ser diferentes en los marcos de referencia , y el principio de relatividad no se cumpliría. Por lo tanto, argumentó que también en este caso tiene que haber otro mecanismo de compensación en el éter .
El propio Poincaré volvió a tratar este tema en su conferencia de San Luis (1904). [36] Rechazó [43] la posibilidad de que la energía transporte masa y criticó su propia solución para compensar los problemas mencionados anteriormente:
El aparato retrocederá como si fuera un cañón y la energía proyectada una bala, y esto contradice el principio de Newton, ya que nuestro proyectil actual no tiene masa; no es materia, es energía. [...] ¿Diremos que el espacio que separa el oscilador del receptor y que la perturbación debe recorrer para pasar de uno a otro no está vacío, sino que está lleno no sólo de éter, sino de aire, o incluso en el espacio interplanetario de algún fluido sutil, pero ponderable; que esta materia recibe el choque, como el receptor, en el momento en que la energía lo alcanza, y retrocede, cuando la perturbación lo abandona? Esto salvaría el principio de Newton, pero no es cierto. Si la energía durante su propagación permaneciera siempre unida a algún sustrato material, esta materia llevaría consigo la luz y Fizeau ha demostrado, al menos para el aire, que no hay nada de eso. Michelson y Morley lo han confirmado después. Podríamos suponer también que los movimientos de la materia propiamente dicha se compensaran exactamente con los del éter, pero eso nos llevaría a las mismas consideraciones que las que hemos hecho hace un momento. El principio, así interpretado, podría explicarlo todo, pues cualesquiera que sean los movimientos visibles podríamos imaginar movimientos hipotéticos para compensarlos. Pero si puede explicar algo, no nos permitirá predecir nada; no nos permitirá elegir entre las diversas hipótesis posibles, puesto que lo explica todo de antemano. Por lo tanto, se vuelve inútil.
En la cita anterior, se refiere a la hipótesis de Hertz sobre el arrastre total del éter, que fue refutada por el experimento de Fizeau, pero que, en efecto, ese experimento demuestra que la luz es parcialmente "arrastrada" por una sustancia. Finalmente, en 1908 [44], vuelve a abordar el problema y termina abandonando por completo el principio de reacción en favor de una solución basada en la inercia del propio éter.
Pero hemos visto más arriba que la experiencia de Fizeau no permite conservar la teoría de Hertz; es necesario, pues, adoptar la teoría de Lorentz y, en consecuencia, renunciar al principio de la reacción.
También analizó otros dos efectos inexplicables: (1) la no conservación de la masa implicada en la masa variable de Lorentz , la teoría de la masa variable de Abraham y los experimentos de Kaufmann sobre la masa de los electrones en rápido movimiento y (2) la no conservación de la energía en los experimentos con radio de Marie Curie .
Fue el concepto de equivalencia masa-energía de Albert Einstein (1905) que, al perder energía en forma de radiación o calor, perdía masa en una cantidad m = E / c 2 , lo que resolvió [45] la paradoja de Poincaré, sin utilizar ningún mecanismo de compensación dentro del éter. [46] El oscilador hertziano pierde masa en el proceso de emisión y el momento se conserva en cualquier sistema. Sin embargo, en relación con la solución de Poincaré del problema del centro de gravedad, Einstein señaló que la formulación de Poincaré y la suya propia de 1906 eran matemáticamente equivalentes. [47]
En 1905, Poincaré propuso por primera vez las ondas gravitacionales ( ondes gravifiques ) que emanan de un cuerpo y se propagan a la velocidad de la luz. Escribió:
Se ha vuelto importante examinar esta hipótesis más de cerca y, en particular, preguntar de qué manera requeriría que modificáramos las leyes de la gravitación. Eso es lo que he tratado de determinar; al principio me vi obligado a suponer que la propagación de la gravitación no es instantánea, sino que se produce a la velocidad de la luz. [48] [39]
El primer artículo de Einstein sobre la relatividad se publicó tres meses después del artículo corto de Poincaré, [39] pero antes de la versión más larga de Poincaré. [40] Einstein se basó en el principio de relatividad para derivar las transformaciones de Lorentz y utilizó un procedimiento de sincronización de relojes similar ( sincronización de Einstein ) al que había descrito Poincaré (1900), pero el artículo de Einstein era notable porque no contenía ninguna referencia. Poincaré nunca reconoció el trabajo de Einstein sobre la relatividad especial . Sin embargo, Einstein expresó su simpatía por la perspectiva de Poincaré de manera oblicua en una carta a Hans Vaihinger el 3 de mayo de 1919, cuando Einstein consideró que la perspectiva general de Vaihinger era cercana a la suya y la de Poincaré era cercana a la de Vaihinger. [49] En público, Einstein reconoció a Poincaré póstumamente en el texto de una conferencia en 1921 titulada " Geometrie und Erfahrung (Geometría y experiencia)" en relación con la geometría no euclidiana , pero no en relación con la relatividad especial. Unos años antes de su muerte, Einstein comentó sobre Poincaré como uno de los pioneros de la relatividad, diciendo "Lorentz ya había reconocido que la transformación que lleva su nombre es esencial para el análisis de las ecuaciones de Maxwell, y Poincaré profundizó aún más esta idea...". [50]
El trabajo de Poincaré en el desarrollo de la relatividad especial es bien reconocido, [45] aunque la mayoría de los historiadores subrayan que a pesar de muchas similitudes con el trabajo de Einstein, los dos tenían agendas de investigación e interpretaciones de la obra muy diferentes. [51] Poincaré desarrolló una interpretación física similar del tiempo local y notó la conexión con la velocidad de la señal, pero a diferencia de Einstein, continuó usando el concepto de éter en sus artículos y argumentó que los relojes en reposo en el éter muestran el tiempo "verdadero", y los relojes en movimiento muestran el tiempo local. De modo que Poincaré intentó mantener el principio de relatividad de acuerdo con los conceptos clásicos, mientras que Einstein desarrolló una cinemática matemáticamente equivalente basada en los nuevos conceptos físicos de la relatividad del espacio y el tiempo. [52] [53] [54] [55] [56]
Si bien esta es la opinión de la mayoría de los historiadores, una minoría va mucho más allá, como E.T. Whittaker , quien sostuvo que Poincaré y Lorentz fueron los verdaderos descubridores de la relatividad. [57]
Poincaré introdujo la teoría de grupos en la física y fue el primero en estudiar el grupo de transformaciones de Lorentz . [58] [59] También hizo importantes contribuciones a la teoría de grupos discretos y sus representaciones.
El tema está claramente definido por Felix Klein en su "Programa de Erlangen" (1872): los invariantes geométricos de cualquier transformación continua, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido, como lo sugirió Johann Benedict Listing , en lugar del término "análisis del sitio" utilizado anteriormente. Algunos conceptos importantes fueron introducidos por Enrico Betti y Bernhard Riemann . Pero el fundamento de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creado por Poincaré. Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894. [60]
Sus investigaciones en geometría condujeron a la definición topológica abstracta de homotopía y homología . También fue el primero en introducir los conceptos básicos e invariantes de la topología combinatoria, como los números de Betti y el grupo fundamental . Poincaré demostró una fórmula que relaciona el número de aristas, vértices y caras de un poliedro n -dimensional (el teorema de Euler-Poincaré ) y dio la primera formulación precisa de la noción intuitiva de dimensión. [61]
Poincaré publicó dos monografías que hoy son clásicas, "Nuevos métodos de mecánica celeste" (1892-1899) y "Conferencias sobre mecánica celeste" (1905-1910). En ellas aplicó con éxito los resultados de sus investigaciones al problema del movimiento de tres cuerpos y estudió en detalle el comportamiento de las soluciones (frecuencia, estabilidad, asintótica, etc.). Introdujo el método de los pequeños parámetros, los puntos fijos, los invariantes integrales, las ecuaciones variacionales y la convergencia de las expansiones asintóticas. Generalizando una teoría de Bruns (1887), Poincaré demostró que el problema de los tres cuerpos no es integrable. En otras palabras, la solución general del problema de los tres cuerpos no puede expresarse en términos de funciones algebraicas y trascendentales a través de coordenadas y velocidades unívocas de los cuerpos. Su trabajo en esta área fue el primer logro importante en mecánica celeste desde Isaac Newton . [62]
Estas monografías incluyen una idea de Poincaré, que más tarde se convirtió en la base de la « teoría del caos » matemática (véase, en particular, el teorema de recurrencia de Poincaré ) y la teoría general de los sistemas dinámicos . Poincaré fue autor de importantes trabajos sobre astronomía para las figuras de equilibrio de un fluido giratorio gravitacional . Introdujo el importante concepto de puntos de bifurcación y demostró la existencia de figuras de equilibrio como los no elipsoides, incluidas las figuras con forma de anillo y de pera, y su estabilidad. Por este descubrimiento, Poincaré recibió la Medalla de Oro de la Royal Astronomical Society (1900). [63]
Después de defender su tesis doctoral sobre el estudio de los puntos singulares del sistema de ecuaciones diferenciales , Poincaré escribió una serie de memorias bajo el título "Sobre las curvas definidas por ecuaciones diferenciales" (1881-1882). [64] En estos artículos, construyó una nueva rama de las matemáticas, llamada " teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales ". Poincaré demostró que incluso si la ecuación diferencial no puede resolverse en términos de funciones conocidas, sin embargo, a partir de la forma misma de la ecuación, se puede encontrar una gran cantidad de información sobre las propiedades y el comportamiento de las soluciones. En particular, Poincaré investigó la naturaleza de las trayectorias de las curvas integrales en el plano, dio una clasificación de puntos singulares ( silla , foco , centro , nodo ), introdujo el concepto de ciclo límite y el índice de bucle , y mostró que el número de ciclos límite es siempre finito, excepto algunos casos especiales. Poincaré también desarrolló una teoría general de invariantes integrales y soluciones de las ecuaciones variacionales. Para las ecuaciones de diferencias finitas creó una nueva dirección: el análisis asintótico de las soluciones. Aplicó todos estos logros al estudio de problemas prácticos de física matemática y mecánica celeste , y los métodos utilizados fueron la base de sus trabajos topológicos. [65]
Los hábitos de trabajo de Poincaré han sido comparados con una abeja que vuela de flor en flor. Poincaré estaba interesado en el modo en que funcionaba su mente ; estudió sus hábitos y dio una charla sobre sus observaciones en 1908 en el Instituto de Psicología General de París . Relacionó su forma de pensar con la forma en que hizo varios descubrimientos.
El matemático Darboux afirmó que no era intuitivo , argumentando que esto se demostraba por el hecho de que trabajaba tan a menudo mediante representaciones visuales. Jacques Hadamard escribió que la investigación de Poincaré demostró una claridad maravillosa [66] y el propio Poincaré escribió que creía que la lógica no era una forma de inventar sino una forma de estructurar ideas y que la lógica limita las ideas.
La organización mental de Poincaré no sólo era interesante para él mismo, sino también para Édouard Toulouse , psicólogo del Laboratorio de Psicología de la Escuela de Altos Estudios de París. Toulouse escribió un libro titulado Henri Poincaré (1910). [67] [68] En él, analizaba la agenda regular de Poincaré:
Estas habilidades se vieron contrarrestadas en cierta medida por sus defectos:
Además, Toulouse afirmó que la mayoría de los matemáticos trabajaban a partir de principios ya establecidos, mientras que Poincaré partía cada vez de principios básicos (O'Connor et al., 2002).
Su método de pensamiento se resume bien así:
Habitué à négliger les details et à ne respecter que les cimes, il passait de l'une à l'otre con una prontitud sorprendente y les faits qu'il decouvrait se groupant d'eux-mêmes autour de leur centre étaient instantanément et automatiquement classés dans sa mémoire (acostumbrado a descuidar los detalles y a mirar sólo las cimas de las montañas, iba de una cima a otra con sorprendente rapidez, y los hechos que iba descubriendo, agrupándose en torno a su centro, quedaban instantánea y automáticamente encasillados en su memoria).
—Belliver (1956)
Premios
Lleva su nombre
Henri Poincaré no recibió el Premio Nobel de Física , pero tuvo defensores influyentes como Henri Becquerel o el miembro del comité Gösta Mittag-Leffler . [70] [71] El archivo de nominaciones revela que Poincaré recibió un total de 51 nominaciones entre 1904 y 1912, el año de su muerte. [72] De las 58 nominaciones para el Premio Nobel de 1910, 34 nombraron a Poincaré. [72] Los nominadores incluyeron a los premios Nobel Hendrik Lorentz y Pieter Zeeman (ambos de 1902), Marie Curie (de 1903), Albert Michelson (de 1907), Gabriel Lippmann (de 1908) y Guglielmo Marconi (de 1909). [72]
El hecho de que físicos teóricos de renombre como Poincaré, Boltzmann o Gibbs no recibieran el Premio Nobel se considera una prueba de que el comité del Nobel tenía más en cuenta la experimentación que la teoría. [73] [74] En el caso de Poincaré, varios de los que lo nominaron señalaron que el mayor problema era nombrar un descubrimiento, una invención o una técnica específicos. [70]
Poincaré tenía opiniones filosóficas opuestas a las de Bertrand Russell y Gottlob Frege , quienes creían que las matemáticas eran una rama de la lógica . Poincaré estaba en total desacuerdo, afirmando que la intuición era la vida de las matemáticas. Poincaré ofrece un punto de vista interesante en su libro de 1902 Ciencia e hipótesis :
Para un observador superficial, la verdad científica está más allá de toda posibilidad de duda; la lógica de la ciencia es infalible, y si los científicos a veces se equivocan, es sólo porque confunden sus reglas.
Poincaré creía que la aritmética es sintética . Argumentó que los axiomas de Peano no pueden probarse de manera no circular con el principio de inducción (Murzi, 1998), por lo que concluyó que la aritmética es sintética a priori y no analítica . Poincaré luego continuó diciendo que las matemáticas no pueden deducirse de la lógica ya que no es analítica. Sus puntos de vista eran similares a los de Immanuel Kant (Kolak, 2001, Folina 1992). Se opuso firmemente a la teoría de conjuntos cantoriana , objetando su uso de definiciones impredicativas [ cita requerida ] .
Sin embargo, Poincaré no compartía las opiniones kantianas en todas las ramas de la filosofía y las matemáticas. Por ejemplo, en geometría, Poincaré creía que la estructura del espacio no euclidiano se puede conocer analíticamente. Poincaré sostuvo que la convención juega un papel importante en la física. Su punto de vista (y algunas versiones posteriores, más extremas de él) llegaron a ser conocidas como " convencionalismo ". [75] Poincaré creía que la primera ley de Newton no era empírica sino que es un supuesto marco convencional para la mecánica (Gargani, 2012). [76] También creía que la geometría del espacio físico es convencional. Consideró ejemplos en los que se puede cambiar la geometría de los campos físicos o los gradientes de temperatura, ya sea describiendo un espacio como no euclidiano medido por reglas rígidas, o como un espacio euclidiano donde las reglas se expanden o encogen por una distribución de calor variable . Sin embargo, Poincaré pensó que estábamos tan acostumbrados a la geometría euclidiana que preferiríamos cambiar las leyes físicas para salvar la geometría euclidiana en lugar de cambiar a una geometría física no euclidiana. [77]
Las famosas conferencias de Poincaré ante la Société de Psychologie en París (publicadas como Ciencia e hipótesis , El valor de la ciencia y Ciencia y método ) fueron citadas por Jacques Hadamard como fuente de la idea de que la creatividad y la invención consisten en dos etapas mentales, primero combinaciones aleatorias de posibles soluciones a un problema, seguidas de una evaluación crítica . [78]
Aunque Poincaré hablaba con mayor frecuencia de un universo determinista , decía que la generación subconsciente de nuevas posibilidades implica azar .
Es cierto que las combinaciones que se presentan al espíritu en una especie de iluminación repentina después de un período algo prolongado de trabajo inconsciente son generalmente combinaciones útiles y fructíferas... todas las combinaciones se forman como resultado de la acción automática del ego subliminal, pero sólo aquellas que son interesantes encuentran su camino hacia el campo de la conciencia... Sólo unas pocas son armoniosas y, en consecuencia, a la vez útiles y bellas, y serán capaces de afectar la sensibilidad especial del geómetra de la que he estado hablando; la cual, una vez despertada, dirigirá nuestra atención sobre ellas y les dará así la oportunidad de hacerse conscientes... En el ego subliminal, por el contrario, reina lo que yo llamaría libertad, si se pudiera dar este nombre a la mera ausencia de disciplina y al desorden nacido del azar. [79]
Las dos etapas de Poincaré (combinaciones aleatorias seguidas de selección) se convirtieron en la base del modelo de dos etapas del libre albedrío de Daniel Dennett . [80]
Escritos populares sobre la filosofía de la ciencia :
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Sobre la filosofía de las matemáticas :
Otro:
Bibliografía exhaustiva de traducciones al inglés:
A continuación se muestra una lista de teoremas demostrados por Poincaré:
{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)Disponible en línea en el capítulo del libro de 1913{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link){{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
