Dualidad de Lefschetz

Dualidad topológica

En matemáticas , la dualidad de Lefschetz es una versión de la dualidad de Poincaré en topología geométrica , que se aplica a una variedad con borde . Esta formulación fue introducida por Solomon Lefschetz  (1926), al mismo tiempo que introdujo la homología relativa , para su aplicación al teorema de punto fijo de Lefschetz . ^[1] En la actualidad existen numerosas formulaciones de la dualidad de Lefschetz o dualidad de Poincaré–Lefschetz , o dualidad de Alexander–Lefschetz .

Formulaciones

Sea M una variedad compacta orientable de dimensión n , con borde , y sea la clase fundamental de la variedad M . Entonces el producto de cohomología con z (o su clase dual en cohomología) induce un emparejamiento de los grupos de (co)homología de M y la (co)homología relativa del par . Además, esto da lugar a isomorfismos de con , y de con para todo . ^[2] ${\displaystyle \partial (M)}$ ${\displaystyle z\in H_{n}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (M,\partial (M))}$ ${\displaystyle H^{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{k}(M,\partial (M);\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k}$

De hecho, aquí puede estar vacío, por lo que la dualidad de Poincaré aparece como un caso especial de la dualidad de Lefschetz. ${\displaystyle \partial (M)}$

Existe una versión para ternas. Descompongamos en subespacios A y B , que son variedades orientables compactas con un límite común Z , que es la intersección de A y B . Entonces, para cada , existe un isomorfismo ^[3] ${\displaystyle \partial (M)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle D_{M}\colon H^{k}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M,B;\mathbb {Z} ).}$

Notas

1. Memorias biográficas del personal del Consejo Nacional de Investigación (1992), pág. 297.
2. Vick, James W. (1994). Teoría de la homología: una introducción a la topología algebraica . pág. 171.
3. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge: Cambridge University Press . pág. 254. ISBN. 0-521-79160-X.

Referencias

• "Lefschetz_duality", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Lefschetz, Solomon (1926), "Transformaciones de variedades con un límite", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 12 (12), National Academy of Sciences: 737–739, Bibcode :1926PNAS...12..737L, doi : 10.1073/pnas.12.12.737 , ISSN  0027-8424, JSTOR  84764, PMC  1084792 , PMID  16587146