Método de Poincaré-Lindstedt

Técnica utilizada en la teoría de perturbaciones

En la teoría de perturbaciones , el método de Poincaré-Lindstedt o método Lindstedt-Poincaré es una técnica para aproximar uniformemente soluciones periódicas a ecuaciones diferenciales ordinarias , cuando fallan los enfoques de perturbaciones regulares. El método elimina los términos seculares (términos que crecen sin límite) que surgen en la aplicación directa de la teoría de perturbaciones a problemas débilmente no lineales con soluciones oscilatorias finitas. ^{[1] [2]}

El método recibe su nombre de Henri Poincaré , ^[3] y Anders Lindstedt . ^[4]

Todos los esfuerzos de los geómetras en la segunda mitad de este siglo han tenido como objetivo principal la eliminación de términos seculares.

—  Henri Poincaré , Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, prefacio al volumen I

El artículo ofrece varios ejemplos. La teoría se puede encontrar en el capítulo 10 de Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos de Verhulst. ^[5]

Ejemplo: la ecuación de Duffing

La ecuación de Duffing no amortiguada y no forzada viene dada por

${\displaystyle {\ddot {x}}+x+\varepsilon \,x^{3}=0\,}$

para t  > 0, con 0 <  ε  ≪ 1. ^[6]

Considere las condiciones iniciales

${\displaystyle x(0)=1,\,}$   ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0.\,}$

Se busca una solución de serie de perturbaciones de la forma x ( t ) =  x ₀ ( t ) +  ε  x ₁ ( t ) + ... Los dos primeros términos de la serie son

${\displaystyle x(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3t)-\cos(t)\right)-{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)\right]+\cdots .\,}$

Esta aproximación crece sin límite en el tiempo, lo cual es incompatible con el sistema físico que modela la ecuación . ^[7] El término responsable de este crecimiento ilimitado, llamado término secular , es . El método de Poincaré-Lindstedt permite la creación de una aproximación que es precisa para todo el tiempo, como sigue. ${\displaystyle t\sin(t)}$

Además de expresar la solución misma como una serie asintótica , forme otra serie con la que escalar el tiempo t :

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$  dónde  ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\varepsilon \omega _{1}+\cdots .\,}$

Tenemos el orden principal ω ₀  = 1, porque cuando , la ecuación tiene solución . Entonces el problema original se convierte en ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle x=\cos(t)}$

${\displaystyle \omega ^{2}\,x''(\tau )+x(\tau )+\varepsilon \,x^{3}(\tau )=0\,}$

Ahora busque una solución de la forma x ( τ ) =  x ₀ ( τ ) +  ε  x ₁ ( τ ) + ... . Se obtienen las siguientes soluciones para el problema de orden cero y primer orden en ε :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos(\tau )\\{\text{and }}x_{1}&={\tfrac {1}{32}}\,\left(\cos(3\tau )-\cos(\tau )\right)+\left(\omega _{1}-{\tfrac {3}{8}}\right)\,\tau \,\sin(\tau ).\end{aligned}}}$

Así, el término secular puede eliminarse mediante la elección: ω ₁  =  ⁠3/8⁠ . Se pueden obtener órdenes de precisión más altos continuando el análisis de perturbaciones por este camino. Hasta ahora, la aproximación, correcta hasta el primer orden en ε , es

${\displaystyle x(t)\approx \cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \right)\,t{\Bigr )}+{\tfrac {1}{32}}\,\varepsilon \,\left[\cos {\Bigl (}3\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}-\cos {\Bigl (}\left(1+{\tfrac {3}{8}}\,\varepsilon \,\right)\,t{\Bigr )}\right].\,}$

Ejemplo: el oscilador de van der Pol

Resolvemos el oscilador de van der Pol solo hasta el orden 2. Este método puede continuar indefinidamente de la misma manera, donde el término de orden n consiste en un término armónico , más algunos términos superarmónicos . Los coeficientes de los términos superarmónicos se resuelven directamente, y los coeficientes del término armónico se determinan expandiendo hasta el orden (n+1), y eliminando su término secular. ${\displaystyle \epsilon ^{n}x_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}\cos(t)+b_{n}\cos(t)}$ ${\displaystyle a_{n,2}\cos(2t)+b_{n,2}\cos(2t)+\cdots }$

Consulte el capítulo 10 de ^[5] para una derivación hasta el orden 3, y ^[8] para una derivación de computadora hasta el orden 164.

Consideremos el oscilador de van der Pol con ecuación donde es un número positivo pequeño. Realicemos la sustitución hasta el segundo orden: $${\displaystyle {\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}$$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \tau =\omega t,\,}$  dónde  ${\displaystyle \omega =1+\epsilon \omega _{1}+\epsilon ^{2}\omega _{2}+O(\epsilon ^{3})}$

que produce la ecuación Ahora sustituimos , y tenemos tres ecuaciones, para los órdenes respectivamente: La primera ecuación tiene solución general . Elija origen del tiempo tal que . Luego sustituyémoslo en la segunda ecuación para obtener (después de algunas identidades trigonométricas) Para eliminar el término secular, debemos establecer ambos coeficientes en cero, por lo tanto tenemos produciendo . En particular, encontramos que cuando aumenta de cero a una pequeña constante positiva, todas las órbitas circulares en el espacio de fase se destruyen, excepto la de radio 2. Ahora resolviendo obtenemos . Siempre podemos absorber término en , por lo que podemos WLOG tener solo . $${\displaystyle \omega ^{2}{\ddot {x}}+\omega \epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=0}$$ ${\displaystyle x=x_{0}+\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+O(\epsilon ^{3})}$ ${\displaystyle 1,\epsilon ,\epsilon ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {x}}_{0}+x_{0}=0\\{\ddot {x}}_{1}+x_{1}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{0}+(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}=0\\{\ddot {x}}_{2}+x_{2}+(\omega _{1}^{2}+2\omega _{2}){\ddot {x}}_{0}+2\omega _{1}{\ddot {x}}_{1}+2x_{0}x_{1}{\dot {x}}_{0}+\omega _{1}(x_{0}^{2}-1){\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{1}(x_{0}^{2}-1)=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle x_{0}=A\cos(\tau +\phi )}$ ${\displaystyle \phi =0}$ $${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}+(A-A^{3}/4)\sin \tau -2\omega _{1}A\cos \tau -(A^{3}/4)\sin(3\tau )=0}$$ ${\displaystyle \sin \tau ,\cos \tau }$ $${\displaystyle {\begin{cases}A=A^{3}/4\\2\omega _{1}A=0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A=2,\omega _{1}=0}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}+x_{1}=2\sin(3\tau )}$ ${\displaystyle x_{1}=B\cos(\tau +\phi )-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}$ ${\displaystyle \epsilon B\cos(\tau +\phi )}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}=-{\frac {1}{4}}\sin(3\tau )}$

Ahora sustituimos en la segunda ecuación para obtener Para eliminar el término secular, establecemos . $${\displaystyle {\ddot {x}}_{2}+x_{2}-(4\omega _{2}+1/4)\cos \tau -{\frac {3}{4}}\cos 3\tau -{\frac {5}{4}}\cos 5\tau =0}$$ ${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{16}}}$

Así pues, encontramos que . ${\displaystyle \omega =1-{\frac {1}{16}}\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$

Ejemplo: ecuación de Mathieu

Este es un ejemplo de resonancia paramétrica .

Considere la ecuación de Mathieu , donde es una constante y es pequeña. La solución de la ecuación tendría dos escalas de tiempo, una que varía rápidamente en el orden de , y otra que varía lentamente en el orden de . Por lo tanto, expanda la solución como Ahora sustituya en la ecuación de Mathieu y expanda para obtener Como antes, tenemos las soluciones Los coeficientes de los términos seculares en la tercera ecuación son Al ponerlos a cero, encontramos las ecuaciones de movimiento: ${\displaystyle {\ddot {x}}+(1+b\epsilon ^{2}+\epsilon \cos(t))x=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=\epsilon ^{2}t}$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}(t,T)+\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+O(\epsilon ^{3})}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}^{2}x_{0}+x_{0}=0\\\partial _{t}^{2}x_{1}+x_{1}=-\cos(t)x_{0}\\\partial _{t}^{2}x_{2}+x_{2}=-bx_{0}-2\partial _{tT}x_{0}-\cos(t)x_{1}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=A\cos(t)+B\sin(t)\\x_{1}=-{\frac {A}{2}}+{\frac {A}{6}}\cos(2t)+{\frac {B}{6}}\sin(2t)\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{12}}\left(-12bA+5A-24B'\right)\\{\frac {1}{12}}\left(24A'-12bB-B\right)\end{cases}}}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dT}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{2}}({\frac {1}{12}}+b)\\{\frac {1}{2}}({\frac {5}{12}}-b)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}}}$

Su determinante es , y por lo tanto, cuando , el origen es un punto de silla, por lo que la amplitud de la oscilación crece ilimitadamente. ${\displaystyle {\frac {1}{4}}(b-5/12)(b+1/12)}$ ${\displaystyle b\in (-1/12,5/12)}$ ${\displaystyle {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

En otras palabras, cuando la frecuencia angular (en este caso, ) en el parámetro es suficientemente cercana a la frecuencia angular (en este caso, ) del oscilador original, la oscilación crece ilimitadamente, como un niño que se balancea en un columpio y bombea hasta la luna. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+b\epsilon ^{2}}}}$

Expansión de Shohat

^[9]

Para el oscilador de van der Pol, tenemos para α grande , de modo que a medida que α se hace grande, la expansión serial de en términos de diverge y necesitaríamos mantener cada vez más términos de la misma para mantenerla acotada. Esto nos sugiere una parametrización que está acotada: Entonces, utilizando las expansiones seriales y , y utilizando el mismo método de eliminación de los términos seculares, encontramos . ${\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle r:={\frac {\epsilon }{1+\epsilon }}}$$ ${\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }$ ${\displaystyle x=x_{0}+rx_{1}+r^{2}x_{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c_{2}=1,c_{3}={\frac {15}{16}},c_{4}={\frac {13}{16}}}$

Debido a que , la expansión nos permite tomar un número finito de términos para la serie de la derecha, y convergería a un valor finito en el límite. Entonces tendríamos , que es exactamente el comportamiento asintótico deseado. Esta es la idea detrás de la expansión de Shohat. ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to \infty }r=1}$ ${\displaystyle \epsilon \omega =r+c_{2}r^{2}+c_{3}r^{3}+c_{4}r^{4}+\cdots }$ ${\displaystyle \epsilon \to \infty }$ ${\displaystyle \omega \sim 1/\epsilon }$

La constante asintótica exacta es , que como podemos ver se aproxima mediante . ${\displaystyle \epsilon \omega \to {\frac {2\pi }{3-2\ln 2}}=3.8936\cdots }$ ${\displaystyle 1+c_{2}+c_{3}+c_{4}=3.75}$

Referencias y notas

1. Drazin, PG (1992), Sistemas no lineales , Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4, págs. 181–186.
2. Strogatz, Steven (2019). "Ejercicio 7.6.19, 7.6.21". Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería (2.ª ed.). Boca Raton. ISBN 978-0-367-09206-1.OCLC 1112373147  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste , vol. II, Nueva York: Dover Publ., §123–§128.
4. A. Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. San Petersburgo 31, n.º 4 (1882)
5. Verhulst, Ferdinand (1996). Ecuaciones diferenciales no lineales y sistemas dinámicos. Universitext. Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi :10.1007/978-3-642-61453-8. ISBN 978-3-540-60934-6.
6. J. David Logan. Matemáticas Aplicadas , Segunda Edición, John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0-471-16513-1 . 
7. La ecuación de Duffing tiene una energía invariante  = constante, como se puede ver al multiplicar la ecuación de Duffing por e integrar con respecto al tiempo  t . Para el ejemplo considerado, a partir de sus condiciones iniciales, se encuentra: E  =  ⁠ ${\displaystyle \scriptstyle E={\tfrac {1}{2}}\,{\dot {x}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,x^{2}+{\tfrac {1}{4}}\,\varepsilon \,x^{4}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\dot {x}}}$1/2⁠  +  ⁠1/4⁠  ε .
8. Andersen, CM; Geer, James F. (junio de 1982). "Expansiones de series de potencias para la frecuencia y el período del ciclo límite de la ecuación de Van Der Pol". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 42 (3): 678–693. doi :10.1137/0142047. ISSN  0036-1399.
9. Bellman, Richard (2003). "2.5. La expansión de Shohat". Técnicas de perturbación en matemáticas, ingeniería y física. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-43258-0.OCLC 51942387  .