Oscilador de Van der Pol

Sistema dinámico oscilante con amortiguamiento no lineal

En el estudio de sistemas dinámicos , el oscilador de van der Pol (llamado así por el físico holandés Balthasar van der Pol ) es un sistema oscilante no conservativo con amortiguamiento no lineal . Evoluciona en el tiempo según la ecuación diferencial de segundo orden donde x es la coordenada de posición —que es una función del tiempo t— y μ es un parámetro escalar que indica la no linealidad y la fuerza del amortiguamiento. $${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0,}$$

Diagrama de fase del oscilador de van der Pol , con μ que varía de 0,1 a 3,0. Las líneas verdes son las líneas nulas de x .

El mismo gráfico de fase del oscilador, pero con la transformada de Liénard .

El oscilador de Van der Pol simulado con Brain Dynamics Toolbox ^[1]

Evolución del ciclo límite en el plano de fases . El ciclo límite comienza como un círculo y, al variar μ , se vuelve cada vez más agudo. Ejemplo de oscilador de relajación .

Historia

El oscilador de Van der Pol fue propuesto originalmente por el ingeniero eléctrico y físico holandés Balthasar van der Pol mientras trabajaba en Philips . ^[2] Van der Pol encontró oscilaciones estables, ^[3] que posteriormente llamó oscilaciones de relajación ^[4] y que ahora se conocen como un tipo de ciclo límite , en circuitos eléctricos que emplean tubos de vacío . Cuando estos circuitos se activan cerca del ciclo límite , se arrastran , es decir, la señal de activación arrastra la corriente junto con ella. Van der Pol y su colega, van der Mark, informaron en la edición de septiembre de 1927 de Nature que a ciertas frecuencias de activación se escuchaba un ruido irregular , ^[5] que luego se descubrió que era el resultado del caos determinista . ^[6]

La ecuación de Van der Pol tiene una larga historia de uso tanto en las ciencias físicas como en las biológicas . Por ejemplo, en biología, Fitzhugh ^[7] y Nagumo ^[8] extendieron la ecuación en un campo plano como modelo para los potenciales de acción de las neuronas . La ecuación también se ha utilizado en sismología para modelar las dos placas en una falla geológica [ ^9] y en estudios de fonación para modelar los osciladores de las cuerdas vocales derecha e izquierda ^[10] .

Forma bidimensional

El teorema de Liénard se puede utilizar para demostrar que el sistema tiene un ciclo límite. Aplicando la transformación de Liénard , donde el punto indica la derivada temporal, el oscilador de Van der Pol se puede escribir en su forma bidimensional: ^[11] ${\displaystyle y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x}$.

Otra forma comúnmente utilizada basada en la transformación conduce a: ${\displaystyle y={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=y}$

${\displaystyle {\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x}$.

Resultados para el oscilador no forzado

Oscilación de relajación en el oscilador de Van der Pol sin forzamiento externo. El parámetro de amortiguamiento no lineal es igual a μ = 5 .

^[12]

• Cuando μ = 0 , es decir, no hay función de amortiguamiento, la ecuación se convierte en Esta es una forma del oscilador armónico simple y siempre hay conservación de energía . $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0.}$$

• Cuando μ > 0 , todas las condiciones iniciales convergen a un ciclo límite globalmente único. Cerca del origen, el sistema es inestable y, lejos del origen, el sistema está amortiguado. ${\displaystyle x={\tfrac {dx}{dt}}=0,}$
• El oscilador de Van der Pol no tiene una solución analítica exacta. ^[13] Sin embargo, sí existe una solución para el ciclo límite si f ( x ) en la ecuación de Lienard es una función constante por partes.
• El período en μ pequeño tiene expansión serial . Véase el método de Poincaré–Lindstedt para una derivación hasta el orden 2. Véase el capítulo 10 de ^[14] para una derivación hasta el orden 3, y ^[15] para una derivación numérica hasta el orden 164. $${\displaystyle T={\frac {2\pi }{1-\mu ^{2}/16+17\mu ^{4}/3072+O(\mu ^{6})}}.}$$
• Para valores grandes de μ , el comportamiento del oscilador tiene un ciclo de acumulación lenta y liberación rápida (un ciclo de acumulación de tensión y liberación de tensión, por lo tanto, una oscilación de relajación ). Esto se ve más fácilmente en la forma En esta forma, el oscilador completa un ciclo de la siguiente manera: $${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\!,\quad {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$$
  • Ascendiendo lentamente la rama derecha de la curva cúbica desde (2, –2/3) a (1, 2/3) . ${\displaystyle y=x-{\tfrac {x^{3}}{3}},}$
  • Moviéndose rápidamente hacia la rama izquierda de la curva cúbica, de (1, 2/3) a (–2, 2/3) .
  • Repita los dos pasos en la rama izquierda.
• El término principal en el período del ciclo se debe al lento ascenso y descenso, que se puede calcular como: Los órdenes superiores del período del ciclo son donde α ≈ 2.338 es la raíz más pequeña de Ai(– α ) = 0 , donde Ai es la función de Airy . (Sección 9.7 ^[16] ) ( ^[17] contiene una derivación, pero tiene un error de imprenta de 3 α a 2 α .) Esto fue derivado por Anatoly Dorodnitsyn . ^{[18] [19]} $${\displaystyle T=2\int dt=2\int \mu {\frac {dy}{x}}=2\mu \int _{2}^{1}{\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{x}}=(3-2\ln 2)\mu }$$ $${\displaystyle T=(3-2\ln 2)\mu +3\alpha \mu ^{-1/3}-{\frac {22}{9\mu }}\ln \mu +{\frac {0.0087\cdots }{\mu }}+O(\mu ^{-4/3}).}$$
• La amplitud del ciclo es ^[20] $${\displaystyle 2+{\frac {\alpha }{3}}\mu ^{-4/3}-{\frac {16}{27}}\mu ^{-2}\ln \mu +O(\mu ^{-2})}$$

Bifurcación de Hopf

A medida que μ pasa de menos de cero a más de cero, el sumidero espiral en el origen se convierte en una fuente espiral y aparece "de la nada" un ciclo límite con un radio de dos. Esto se debe a que la transición no es genérica: cuando ε = 0 , tanto la ecuación diferencial se vuelve lineal como el origen se convierte en un nodo circular.

Sabiendo que en una bifurcación de Hopf , el ciclo límite debe tener tamaño , podemos intentar convertir esto en una bifurcación de Hopf usando el cambio de variables que da Esto de hecho es una bifurcación de Hopf. ^[21] ${\displaystyle \propto \varepsilon ^{1/2},}$ ${\displaystyle u=\varepsilon ^{1/2}x,}$ $${\displaystyle {\ddot {u}}+u+u^{2}{\dot {u}}-\varepsilon {\dot {u}}=0}$$

Hamiltoniano para oscilador de Van der Pol

Las condiciones iniciales elegidas aleatoriamente son atraídas hacia una órbita estable.

También se puede escribir un formalismo hamiltoniano independiente del tiempo para el oscilador de Van der Pol ampliándolo a un sistema dinámico autónomo de cuatro dimensiones utilizando una ecuación diferencial no lineal auxiliar de segundo orden de la siguiente manera:

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0,}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\mu (1-x^{2}){\dot {y}}+y=0.}$

Obsérvese que la dinámica del oscilador Van der Pol original no se ve afectada debido al acoplamiento unidireccional entre las evoluciones temporales de las variables x e y . Se puede demostrar que un hamiltoniano H para este sistema de ecuaciones es ^[22]

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})=p_{x}p_{y}+xy-\mu (1-x^{2})yp_{y},}$

donde y son los momentos conjugados correspondientes a x e y , respectivamente. Esto puede, en principio, conducir a la cuantificación del oscilador de Van der Pol. Un hamiltoniano de este tipo también conecta ^[23] la fase geométrica del sistema de ciclo límite que tiene parámetros dependientes del tiempo con el ángulo de Hannay del sistema hamiltoniano correspondiente. ${\displaystyle p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y}$ ${\displaystyle p_{y}={\dot {x}}}$

Oscilador cuántico

El oscilador cuántico de van der Pol, que es la versión mecánico cuántica del oscilador clásico de van der Pol, se ha propuesto utilizando una ecuación de Lindblad para estudiar su dinámica cuántica y sincronización cuántica. ^[24] Nótese que el enfoque hamiltoniano anterior con una ecuación auxiliar de segundo orden produce trayectorias ilimitadas en el espacio de fases y, por lo tanto, no se puede utilizar para cuantificar el oscilador de van der Pol. En el límite de no linealidad débil (es decir, μ→ 0), el oscilador de van der Pol se reduce a la ecuación de Stuart-Landau . De hecho, la ecuación de Stuart-Landau describe una clase completa de osciladores de ciclo límite en el límite débilmente no lineal. La forma de la ecuación clásica de Stuart-Landau es mucho más simple y, tal vez no sea sorprendente, se puede cuantificar mediante una ecuación de Lindblad que también es más simple que la ecuación de Lindblad para el oscilador de van der Pol. El modelo cuántico de Stuart-Landau ha desempeñado un papel importante en el estudio de la sincronización cuántica ^{[25] [26]} (donde a menudo se lo ha denominado oscilador de van der Pol, aunque no se lo puede asociar únicamente con el oscilador de van der Pol). La relación entre el modelo clásico de Stuart-Landau ( μ→ 0) y osciladores de ciclo límite más generales ( μ arbitrario ) también se ha demostrado numéricamente en los modelos cuánticos correspondientes. ^[24]

Oscilador de Van der Pol forzado

Comportamiento caótico en el oscilador de Van der Pol con forzamiento sinusoidal. El parámetro de amortiguamiento no lineal es igual a μ = 8,53 , mientras que el forzamiento tiene amplitud A = 1,2 y frecuencia angular ω = 2π/10 .

El oscilador de Van der Pol forzado, o impulsado, toma la función "original" y agrega una función impulsora A sin( ωt ) para dar una ecuación diferencial de la forma:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

donde A es la amplitud , o desplazamiento , de la función de onda y ω es su velocidad angular .

Cultura popular

Circuito eléctrico que involucra un triodo , lo que resulta en un oscilador de Van der Pol forzado. ^[27] El circuito contiene: un triodo, una resistencia R , un capacitor C , un conjunto de inductores acoplados con autoinductancia L e inductancia mutua M. En el circuito RLC en serie hay una corriente i , y hacia el ánodo ("placa") del triodo una corriente i _a , mientras que hay un voltaje u _g en la rejilla de control del triodo. El oscilador de Van der Pol es forzado por una fuente de voltaje de CA E _s .

El autor James Gleick describió un oscilador de Van der Pol de tubo de vacío en su libro de 1987 Chaos: Making a New Science . ^[28] Según un artículo del New York Times ^{, [29]} Gleick recibió un oscilador electrónico moderno de Van der Pol de un lector en 1988.

Véase también

• Mary Cartwright , matemática británica, una de las primeras en estudiar la teoría del caos determinista, particularmente aplicada a este oscilador. ^[30]

Referencias

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Enlaces externos

• "Ecuación de Van der Pol", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Oscilador de Van der Pol en Scholarpedia
• Demostraciones interactivas del oscilador Van Der Pol Archivado el 14 de febrero de 2017 en Wayback Machine