Angulo de Hannay

Análogo mecánico de la fase geométrica

En mecánica clásica , el ángulo de Hannay es un análogo mecánico de la fase geométrica (o fase de Berry). Recibe su nombre en honor a John Hannay, de la Universidad de Bristol (Reino Unido). Hannay describió el ángulo por primera vez en 1985, ampliando las ideas de la recientemente formalizada fase de Berry a la mecánica clásica. ^[1]

Consideremos un sistema unidimensional que se mueve en un ciclo, como un péndulo. Ahora varíemos lentamente un parámetro lento , como si tiráramos y empujáramos la cuerda de un péndulo. Podemos imaginar el movimiento del sistema como si tuviera una oscilación rápida y una oscilación lenta. La oscilación rápida es el movimiento del péndulo y la oscilación lenta es el movimiento que hacemos al tirar de su cuerda. Si imaginamos el sistema en el espacio de fases, su movimiento barre un toro. ${\displaystyle \lambda }$

El teorema adiabático de la mecánica clásica establece que la variable de acción, que corresponde al área del espacio de fases encerrada por la órbita del sistema, permanece aproximadamente constante. Por lo tanto, después de un período de oscilación lenta, la oscilación rápida vuelve al mismo ciclo, pero su fase en el ciclo ha cambiado durante el tiempo. El cambio de fase tiene dos órdenes principales.

El primer orden es el "ángulo dinámico", que es simplemente . Este ángulo depende de los detalles precisos del movimiento y es de orden . ${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (\lambda ){\dot {\lambda }}dt}$ ${\displaystyle O(T)}$

El segundo orden es el ángulo de Hannay, que sorprendentemente es independiente de los detalles precisos de . Depende de la trayectoria de , pero no de lo rápido o lento que recorra la trayectoria. Es de orden . ^[2] ${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle O(1)}$

Ángulo de Hannay en mecánica clásica

El ángulo de Hannay se define en el contexto de las coordenadas del ángulo de acción . En un sistema inicialmente invariante en el tiempo, una variable de acción es una constante. Después de introducir una perturbación periódica , la variable de acción se convierte en un invariante adiabático, y el ángulo de Hannay para su variable de ángulo correspondiente se puede calcular de acuerdo con la integral de trayectoria que representa una evolución en la que la perturbación vuelve al valor original ^[3] donde y son variables canónicas del hamiltoniano , y es la 2-forma simpléctica del hamiltoniano. ${\displaystyle I_{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle I_{\alpha }}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}}$ ${\displaystyle \lambda (t)}$ $${\displaystyle \theta _{\alpha }^{H}=-{\frac {\partial }{\partial I_{\alpha }}}\oint \!{\boldsymbol {p}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {q}}}{\partial \lambda }}\mathrm {d} \lambda =-\partial _{I_{\alpha }}\iint \omega }$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle \omega }$

Ejemplo

Péndulo de Foucault

El péndulo de Foucault es un ejemplo de la mecánica clásica que a veces también se utiliza para ilustrar la fase de Berry. A continuación, estudiamos el péndulo de Foucault utilizando variables de ángulo de acción. Para simplificar, evitaremos utilizar la ecuación de Hamilton-Jacobi , que se emplea en el protocolo general. ^[4]

Consideramos un péndulo plano con frecuencia bajo el efecto de la rotación de la Tierra cuya velocidad angular es con amplitud denotada como . Aquí, la dirección apunta desde el centro de la Tierra al péndulo. El lagrangiano para el péndulo es La ecuación de movimiento correspondiente es Luego introducimos una variable auxiliar que es de hecho una variable angular. Ahora tenemos una ecuación para : De su ecuación característica obtenemos su raíz característica (observamos que ) La solución es entonces Después de que la Tierra gira una rotación completa es decir , tenemos el cambio de fase para El primer término se debe al efecto dinámico del péndulo y se denomina fase dinámica, mientras que el segundo término representa una fase geométrica que es esencialmente el ángulo de Hannay ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\vec {\Omega }}=(\Omega _{x},\Omega _{y},\Omega _{z})}$ ${\displaystyle \Omega =|{\vec {\Omega }}|}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(x^{2}+y^{2})+m\Omega _{z}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})}$$ $${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega ^{2}x=2\Omega _{z}{\dot {y}}}$$ $${\displaystyle {\ddot {y}}+\omega ^{2}y=-2\Omega _{z}{\dot {x}}}$$ ${\displaystyle \varpi =x+iy}$ ${\displaystyle \varpi }$ $${\displaystyle {\ddot {\varpi }}+\omega ^{2}\varpi =-2i\Omega _{z}{\dot {\varpi }}}$$ $${\displaystyle \lambda ^{2}+\omega ^{2}=-2i\Omega _{z}\lambda }$$ ${\displaystyle \Omega \ll \omega }$ $${\displaystyle \lambda =-i\Omega _{z}\pm i{\sqrt {\Omega _{z}^{2}+\omega ^{2}}}\approx -i\Omega _{z}\pm i\omega }$$ $${\displaystyle \varpi =e^{-i\Omega _{z}t}(Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t})}$$ ${\displaystyle T=2\pi /\Omega \approx 24h}$ ${\displaystyle \varpi }$ $${\displaystyle \Delta \varphi =2\pi {\frac {\omega }{\Omega }}+2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}}$$ $${\displaystyle \theta ^{H}=2\pi {\frac {\Omega _{z}}{\Omega }}}$$

Rotación de un cuerpo rígido

En el marco del cuerpo rígido, la dirección del momento angular se mueve a lo largo de una de las curvas dibujadas aquí y retorna periódicamente a su dirección inicial.

Un cuerpo rígido libre que gira en el espacio libre tiene dos magnitudes conservadas: energía y vector de momento angular . Visto desde dentro del marco del cuerpo rígido, la dirección del momento angular se mueve, pero su longitud se conserva. Después de un cierto tiempo , la dirección del momento angular volvería a su punto de partida. ${\displaystyle E,{\vec {L}}}$ ${\displaystyle T}$

Visto en el marco inercial, el cuerpo ha experimentado una rotación (ya que todos los elementos en SO(3) son rotaciones). Un resultado clásico establece que durante el tiempo , el cuerpo ha girado un ángulo ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle 2ET/\|{\vec {L}}\|-\Omega }$$

donde es el ángulo sólido barrido por la dirección del momento angular visto desde dentro del marco del cuerpo rígido. ^[5] ${\displaystyle \Omega }$

Otros ejemplos

La parte superior pesada. ^[6] La órbita de la Tierra, perturbada periódicamente por la órbita de Júpiter. ^[7] La ​​transformación rotacional asociada con las superficies magnéticas de un campo magnético toroidal con un eje no plano. ^[8]

Referencias

1. Hannay, JH (1985-02-01). "Holonomía de la variable angular en la excursión adiabática de un hamiltoniano integrable". Journal of Physics A: Mathematical and General . 18 (2): 221–230. doi :10.1088/0305-4470/18/2/011. ISSN  0305-4470.
2. Robbins, JM (28 de octubre de 2016). "El ángulo de Hannay, treinta años después". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 49 (43): 431002. doi :10.1088/1751-8113/49/43/431002. hdl : 1983/2992186e-5dde-4a3f-a2a9-67377afcadf9 . ISSN  1751-8113.
3. Toshikaze Kariyado; Yasuhiro Hatsugai (2016). "Ángulo de Hannay: otro parámetro de orden topológico protegido por simetría en mecánica clásica". J. Phys. Soc. Jpn . 85 (4): 043001. arXiv : 1508.06946 . Código Bibliográfico :2016JPSJ...85d3001K. doi :10.7566/JPSJ.85.043001. S2CID  119297582.
4. Khein, Alexander; Nelson, DF (1993-02-01). "Estudio del ángulo de Hannay del péndulo de Foucault en variables de ángulo de acción". American Journal of Physics . 61 (2): 170–174. doi :10.1119/1.17332. ISSN  0002-9505.
5. Montgomery, Richard (1 de mayo de 1991). "¿Cuánto gira el cuerpo rígido? Una fase de Berry del siglo XVIII". American Journal of Physics . 59 (5): 394–398. doi :10.1119/1.16514. ISSN  0002-9505.
6. Park, Changsoo (1 de mayo de 2023). "Cimas simétricas pesadas y el ángulo de Hannay". American Journal of Physics . 91 (5): 357. doi :10.1119/5.0101149. ISSN  0002-9505.
7. Berry, MV; Morgan, MA (1996-05-01). "Ángulo geométrico para rotadores rotados y el ángulo de Hannay del mundo". No linealidad . 9 (3): 787–799. doi :10.1088/0951-7715/9/3/009. ISSN  0951-7715.
8. Bhattacharjee, A.; Schreiber, GM; Taylor, JB (1992). "Fase geométrica, transformadas rotacionales e invariantes adiabáticos en campos magnéticos toroidales". Phys. Fluids B . 4 (9): 2737–2739. doi :10.1063/1.860145.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Marsden, Jerrold E .; Montgomery, Richard; Ratiu, Tudor S. (1990). Reducción, simetría y fases en mecánica. Librería AMS. pág. 69. ISBN 0-8218-2498-8.
• C. Pisani (1994). Cálculo ab-initio mecánico-cuántico de las propiedades de materiales cristalinos (Actas de la IV Escuela de Química Computacional de la Sociedad Química Italiana ed.). Springer. p. 282. ISBN 3-540-61645-4.
• Karin M Rabe ; Jean-Marc Triscone; Charles H Ahn (2007). Física de los ferroeléctricos: una perspectiva moderna. Springer. p. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

Enlaces externos

• Profesor John H. Hannay: aspectos destacados de la investigación. Departamento de Física, Universidad de Bristol .