Ecuación de Liénard

Familia de ecuaciones diferenciales de segundo orden

En matemáticas , más específicamente en el estudio de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales , una ecuación de Liénard ^[1] es un tipo de ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que lleva el nombre del físico francés Alfred-Marie Liénard .

Durante el desarrollo de la tecnología de radio y de tubos de vacío , las ecuaciones de Liénard se estudiaron intensamente, ya que pueden utilizarse para modelar circuitos oscilantes . Bajo ciertas suposiciones adicionales, el teorema de Liénard garantiza la unicidad y la existencia de un ciclo límite para un sistema de este tipo. Un sistema de Liénard con funciones lineales por partes también puede contener órbitas homoclínicas . ^[2]

Definición

Sean f y g dos funciones continuamente diferenciables en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ con f una función par y g una función impar . Entonces la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de la forma se llama ecuación de Liénard . $${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$$

Sistema de Liénard

La ecuación se puede transformar en un sistema bidimensional equivalente de ecuaciones diferenciales ordinarias . Definimos

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

entonces

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

se llama sistema de Liénard .

Alternativamente, dado que la ecuación de Liénard en sí misma también es una ecuación diferencial autónoma , la sustitución lleva a que la ecuación de Liénard se convierta en una ecuación diferencial de primer orden : ${\displaystyle v={dx \over dt}}$

${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

que es una ecuación de Abel de segundo tipo . ^{[3] [4]}

Ejemplo

El oscilador de Van der Pol

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

es una ecuación de Liénard. La solución de un oscilador de Van der Pol tiene un ciclo límite. Dicho ciclo tiene una solución de una ecuación de Liénard con valores negativos en valores pequeños y positivos en caso contrario. La ecuación de Van der Pol no tiene una solución analítica exacta. Dicha solución para un ciclo límite existe si es una función constante por partes. ^[5] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Teorema de Liénard

Un sistema de Liénard tiene un ciclo límite único y estable que rodea el origen si satisface las siguientes propiedades adicionales: ^[6]

• g ( x ) > 0 para todo x > 0;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;}$
• F ( x ) tiene exactamente una raíz positiva en algún valor p , donde F ( x ) < 0 para 0 < x < p y F ( x ) > 0 y monótona para x > p .

Véase también

• Ecuación de Biryukov

Notas al pie

1. Liénard, A. (1928) "Etude des oscilations entretenues", Revue générale de l'électricité 23 , págs. 901–912 y 946–954.
2. Curva de fase y campo vectorial para sistemas lineales por partes
3. Ecuación de Liénard en eqworld .
4. Ecuación de Abel del segundo tipo en eqworld .
5. Pilipenko AM y Biryukov VN «Investigación de métodos de análisis numérico modernos de la eficiencia de circuitos autooscilatorios», Journal of Radio Electronics, n.º 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html
6. Para una demostración, véase Perko, Lawrence (1991). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos (tercera edición). Nueva York: Springer. pp. 254-257. ISBN. 0-387-97443-1.

Enlaces externos

• "Ecuación de Liénard", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Sistema Lienard en PlanetMath .