Ecuación de Biryukov

Ecuación diferencial no lineal de segundo orden

Oscilaciones sinusoidales F = 0,01

En el estudio de sistemas dinámicos , la ecuación de Biryukov (u oscilador de Biryukov ), llamada así en honor a Vadim Biryukov (1946), es una ecuación diferencial de segundo orden no lineal utilizada para modelar osciladores amortiguados . ^[1]

La ecuación está dada por $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(y){\frac {dy}{dt}}+y=0,\qquad \qquad (1)}$$

donde ƒ ( y ) es una función constante por partes que es positiva, excepto para y pequeñas como

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y)={\begin{cases}-F,&|y|\leq Y_{0};\\[4pt]F,&|y|>Y_{0}.\end{cases}}\\[6pt]&F={\text{const.}}>0,\quad Y_{0}={\text{const.}}>0.\end{aligned}}}$$

La ecuación (1) es un caso especial de la ecuación de Lienard ; describe las autooscilaciones.

La solución (1) en intervalos de tiempo separados cuando f(y) es constante viene dada por ^[2]

$${\displaystyle y_{k}(t)=A_{1,k}\exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\exp(s_{2,k}t)\qquad \qquad (2)}$$

donde exp denota la función exponencial . Aquí la expresión (2) se puede utilizar para valores reales y complejos de s _k . $${\displaystyle s_{k}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {F}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {F}{2}}\right)^{2}-1}},&|y|<Y_{0};\\[2pt]\displaystyle -{\frac {F}{2}}\mp {\sqrt {\left({\frac {F}{2}}\right)^{2}-1}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

La solución del primer medio período es ${\displaystyle y(0)=\pm Y_{0}}$

Oscilaciones de relajación F = 4

$${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\begin{cases}y_{1}(t),&0\leq t<T_{0};\\[4pt]y_{2}(t),&\displaystyle T_{0}\leq t<{\frac {T}{2}}.\end{cases}}\\[4pt]y_{1}(t)&=A_{1,k}\cdot \exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\cdot \exp(s_{2,k}t),\\[2pt]y_{2}(t)&=A_{3,k}\cdot \exp(s_{3,k}t)+A_{4,k}\cdot \exp(s_{4,k}t).\end{aligned}}}$$

La solución del segundo medio período es

$${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\displaystyle -y_{1}\left(t-{\frac {T}{2}}\right),&\displaystyle {\frac {T}{2}}\leq t<{\frac {T}{2}}+T_{0};\\[4pt]\displaystyle -y_{2}\left(t-{\frac {T}{2}}\right),&\displaystyle {\frac {T}{2}}+T_{0}\leq t<T.\end{cases}}}$$

La solución contiene cuatro constantes de integración A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , se debe encontrar el período T y el límite T ₀ entre y ₁ ( t ) e y ₂ ( t ) . Se deriva una condición de contorno a partir de la continuidad de y ( t ) y dy / dt . ^[3]

La solución de (1) en el modo estacionario se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas como

$${\displaystyle {\begin{array}{ll}&y_{1}(0)=-Y_{0}&y_{1}(T_{0})=Y_{0}\\[6pt]&y_{2}(T_{0})=Y_{0}&y_{2}\!\left({\tfrac {T}{2}}\right)=Y_{0}\\[6pt]&\displaystyle \left.{\frac {dy_{1}}{dt}}\right|_{T_{0}}=\left.{\frac {dy_{2}}{dt}}\right|_{T_{0}}\qquad &\displaystyle \left.{\frac {dy_{1}}{dt}}\right|_{0}=-\left.{\frac {dy_{2}}{dt}}\right|_{\frac {T}{2}}\end{array}}}$$

Las constantes de integración se obtienen mediante el algoritmo de Levenberg–Marquardt . Con , la ecuación (1) se denomina oscilador de Van der Pol . Su solución no puede expresarse mediante funciones elementales en forma cerrada. ${\displaystyle f(y)=\mu (-1+y^{2})}$ ${\displaystyle \mu ={\text{const.}}>0,}$

Referencias

1. HP Gavin, El método Levenberg-Marquardt para problemas de ajuste de curvas de mínimos cuadrados no lineales (implementación de MATLAB incluida)
2. Arrowsmith DK, Place CM Sistemas dinámicos. Ecuaciones diferenciales, mapas y comportamiento caótico. Chapman & Hall, (1992)
3. Pilipenko AM y Biryukov VN «Investigación de métodos de análisis numérico modernos de la eficiencia de circuitos autooscilatorios», Journal of Radio Electronics, n.º 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html