Retrato de fase

Gráfico de las trayectorias de un sistema dinámico en el espacio de fases

Energía potencial y representación de fase de un péndulo simple . Nótese que el eje x, al ser angular, se envuelve sobre sí mismo cada 2π radianes.

Representación de fase de un oscilador amortiguado, con una fuerza de amortiguamiento creciente. La ecuación de movimiento es ${\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega ^{2}x=0.}$

En matemáticas , un retrato de fase es una representación geométrica de las órbitas de un sistema dinámico en el plano de fase . Cada conjunto de condiciones iniciales se representa mediante un punto o curva diferente .

Los retratos de fase son una herramienta invaluable para estudiar sistemas dinámicos. Consisten en un gráfico de trayectorias típicas en el espacio de fases . Esto revela información como si hay un atractor , un repelente o un ciclo límite para el valor del parámetro elegido. El concepto de equivalencia topológica es importante para clasificar el comportamiento de los sistemas al especificar cuándo dos retratos de fase diferentes representan el mismo comportamiento dinámico cualitativo. Un atractor es un punto estable que también se denomina "sumidero". El repelente se considera un punto inestable, que también se conoce como "fuente".

Un gráfico de retrato de fase de un sistema dinámico representa las trayectorias del sistema (con flechas) y los estados estables (con puntos) e inestables (con círculos) en un espacio de fases. Los ejes son de variables de estado .

Ejemplos

Ilustración de cómo se construiría un retrato de fase para el movimiento de un péndulo simple.

Retrato de fase de la ecuación de van der Pol ,. ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\mu (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0}$

• Péndulo simple , ver imagen (derecha).
• Oscilador armónico simple donde el retrato de fase está formado por elipses centradas en el origen, que es un punto fijo.
• Movimiento armónico amortiguado , ver animación (derecha).
• Oscilador de Van der Pol, ver imagen (abajo a la derecha).

Visualizando el comportamiento de ecuaciones diferenciales ordinarias

Un retrato de fase representa el comportamiento direccional de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). El retrato de fase puede indicar la estabilidad del sistema. ^[1]

El comportamiento del retrato de fase de un sistema de EDO se puede determinar mediante los valores propios o la traza y el determinante (traza = λ ₁ + λ ₂ , determinante = λ ₁ x λ ₂ ) del sistema. ^[1]

Véase también

• Espacio de fases
• Plano de fase

Referencias

1. Haynes Miller y Arthur Mattuck. 18.03 Ecuaciones diferenciales. Primavera de 2010. Instituto Tecnológico de Massachusetts: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licencia: Creative Commons BY-NC-SA. (Notas complementarias 26 de Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)

• Jordan, DW; Smith, P. (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (cuarta edición). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1.Capítulo 1.
• Steven Strogatz (2001). Dinámica no lineal y caos: con aplicaciones a la física, la biología, la química y la ingeniería . ISBN 9780738204536.

Enlaces externos

• Retratos de fase lineal, un MIT Mathlet.