Función de varias variables complejas.

Tipo de funciones matemáticas

La teoría de funciones de varias variables complejas es la rama de las matemáticas que se ocupa de funciones definidas en el espacio de coordenadas complejas , es decir, n -tuplas de números complejos . El nombre del campo que trata las propiedades de estas funciones se denomina varias variables complejas (y espacio analítico ), que la Clasificación de Matemáticas tiene como título de nivel superior. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Al igual que en el análisis complejo de funciones de una variable , que es el caso n = 1 , las funciones estudiadas son holomorfas o analíticas complejas de modo que, localmente, son series de potencias en las variables z _i . De manera equivalente, son límites de polinomios localmente uniformes ; o soluciones localmente integrables al cuadrado de las n -dimensionales Ecuaciones de Cauchy-Riemann. ^{[1] [2] [3]} Para una variable compleja, cada dominio ^{[nota 1]} ( ), es el dominio de holomorfia de alguna función, en otras palabras, cada dominio tiene una función para la cual es el dominio de holomorfia. ^{[4] [5]} Para varias variables complejas, este no es el caso; existen dominios ( ) que no son el dominio de holomorfia de ninguna función, por lo que no siempre son el dominio de holomorfia, por lo que el dominio de holomorfia es uno de los temas en este campo. ^[4] Parchear los datos locales de funciones meromorfas , es decir, el problema de crear una función meromorfa global a partir de ceros y polos, se llama problema de Cousin. Además, los fenómenos interesantes que ocurren en varias variables complejas son de fundamental importancia para el estudio de variedades complejas compactas y variedades proyectivas complejas ( ) ^[6] y tienen un sabor diferente a la geometría analítica compleja en o sobre variedades de Stein , estas son muy similares a estudio de variedades algebraicas, es decir, estudio de la geometría algebraica que geometría analítica compleja. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n},\ n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Perspectiva historica

Muchos ejemplos de tales funciones eran familiares en las matemáticas del siglo XIX; funciones abelianas , funciones theta y algunas series hipergeométricas , y también, como ejemplo de problema inverso; El problema de inversión de Jacobi. ^[7] Naturalmente, también es candidata la misma función de una variable que depende de algún parámetro complejo. Sin embargo, durante muchos años la teoría no se convirtió en un campo completo del análisis matemático , ya que sus fenómenos característicos no fueron descubiertos. El teorema de preparación de Weierstrass ahora se clasificaría como álgebra conmutativa ; Justificó la imagen local, la ramificación , que aborda la generalización de los puntos de ramificación de la teoría de superficies de Riemann .

Con el trabajo de Friedrich Hartogs , Pierre Cousin  [fr] , EE Levi y Kiyoshi Oka en la década de 1930, comenzó a surgir una teoría general; Otros que trabajaban en la zona en ese momento eran Heinrich Behnke , Peter Thullen , Karl Stein , Wilhelm Wirtinger y Francesco Severi . Hartogs demostró algunos resultados básicos, como que toda singularidad aislada es removible , para cada función analítica.

$${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$$

n > 1las integrales de contornon = 2 , una integral que rodea un punto debería estar sobre una variedadintegral doblecálculo de residuos

Después de 1945, importantes trabajos en Francia, en el seminario de Henri Cartan , y en Alemania con Hans Grauert y Reinhold Remmert , cambiaron rápidamente el panorama de la teoría. Se aclararon varias cuestiones, en particular la de la continuación analítica . Aquí es evidente una diferencia importante con respecto a la teoría de una variable; mientras que para cada conjunto abierto y conexo D podemos encontrar una función que en ninguna parte continuará analíticamente más allá del límite, eso no se puede decir para n > 1 . De hecho, los D de ese tipo son de naturaleza bastante especial (especialmente en espacios de coordenadas complejos y variedades de Stein, que satisfacen una condición llamada pseudoconvexidad ). Los dominios naturales de definición de funciones, continuados hasta el límite, se denominan variedades de Stein y su naturaleza era hacer desaparecer los grupos de cohomología de gavillas ; por otro lado, el teorema de desaparición de Grauert-Riemenschneider se conoce como un resultado similar para variedades complejas compactas, y la conjetura de Grauert-Riemenschneider es un caso especial de la conjetura de Narasimhan. ^[4] De hecho, fue la necesidad de poner (en particular) el trabajo de Oka sobre una base más clara lo que llevó rápidamente al uso consistente de gavillas para la formulación de la teoría (con importantes repercusiones para la geometría algebraica , en particular a partir de la teoría de Grauert). trabajar). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

A partir de este momento hubo una teoría fundamental, que podría aplicarse a la geometría analítica , ^{[nota 2]} formas automórficas de varias variables y ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la deformación de estructuras complejas y variedades complejas fue descrita en términos generales por Kunihiko Kodaira y DC Spencer . El célebre artículo GAGA de Serre ^[8] precisó el punto de cruce de la géometrie analytique a la géometrie algébrique .

Se escuchó a CL Siegel quejarse de que la nueva teoría de funciones de varias variables complejas contenía pocas funciones , lo que significaba que el lado de funciones especiales de la teoría estaba subordinado a las gavillas. El interés de la teoría de números , ciertamente, está en las generalizaciones específicas de formas modulares . Los candidatos clásicos son las formas modulares de Hilbert y las formas modulares de Siegel . Hoy en día estos están asociados a grupos algebraicos (respectivamente la restricción de Weil de un cuerpo numérico totalmente real de GL (2) y el grupo simpléctico ), por lo que sucede que a partir de funciones analíticas se pueden derivar representaciones automórficas . En cierto sentido, esto no contradice a Siegel; La teoría moderna tiene sus propias direcciones diferentes.

Los desarrollos posteriores incluyeron la teoría de la hiperfunción y el teorema del borde de la cuña , los cuales se inspiraron en cierta medida en la teoría cuántica de campos . Hay otros campos, como la teoría del álgebra de Banach , que se basan en varias variables complejas.

El espacio de coordenadas complejo

El espacio de coordenadas complejo es el producto cartesiano de n copias de , y cuando es un dominio de holomorfia, puede considerarse como una variedad de Stein y un espacio de Stein más generalizado. También se considera una variedad proyectiva compleja , una variedad de Kähler , ^[9] , etc. También es un espacio vectorial n -dimensional sobre números complejos , lo que da su dimensión 2 n sobre . ^{[nota 3]} Por lo tanto, como conjunto y como espacio topológico , puede identificarse con el espacio de coordenadas real y su dimensión topológica es, por tanto, 2 n . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

En lenguaje sin coordenadas, cualquier espacio vectorial sobre números complejos puede considerarse como un espacio vectorial real de dos veces más dimensiones, donde una estructura compleja está especificada por un operador lineal J (tal que J ² = − I ) que define la multiplicación. por la unidad imaginaria i .

Cualquier espacio de este tipo, como espacio real, está orientado . En el plano complejo considerado como plano cartesiano , la multiplicación por un número complejo w = u + iv puede representarse mediante la matriz real

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}},}$

con determinante

${\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}.}$

Asimismo, si se expresa cualquier operador lineal complejo de dimensión finita como una matriz real (que estará compuesta por bloques de 2 × 2 de la forma antes mencionada), entonces su determinante es igual al cuadrado del valor absoluto del determinante complejo correspondiente. Es un número no negativo, lo que implica que un operador complejo nunca invierte la orientación (real) del espacio . Lo mismo se aplica a los jacobianos de funciones holomorfas desde hasta . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Funciones holomorfas

Definición

Una función f definida en un dominio y con valores en se dice holomorfa en un punto si es diferenciable compleja en ese punto, en el sentido de que existe una aplicación lineal compleja tal que ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle L:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z+h)=f(z)+L(h)+o(\lVert h\rVert )}$

Se dice que la función f es holomorfa si es holomorfa en todos los puntos de su dominio de definición D.

Si f es holomorfa, entonces todos los mapas parciales:

${\displaystyle z\mapsto f(z_{1},\dots ,z_{i-1},z,z_{i+1},\dots ,z_{n})}$

son holomorfas como funciones de una variable compleja: decimos que f es holomorfa en cada variable por separado. Por el contrario, si f es holomorfa en cada variable por separado, entonces f es de hecho holomorfa: esto se conoce como teorema de Hartog , o como lema de Osgood bajo la hipótesis adicional de que f es continua .

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

En una variable compleja, una función definida en el plano es holomorfa en un punto si y sólo si su parte real y su parte imaginaria satisfacen las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann en  : ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(p)={\frac {\partial v}{\partial y}}(p)\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}(p)=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(p)}$$

En varias variables, una función es holomorfa si y sólo si es holomorfa en cada variable por separado, y por tanto si y sólo si la parte real y la parte imaginaria de satisfacen las ecuaciones de Cauchy Riemann: ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial v}{\partial y_{i}}}\quad {\text{ and }}\quad {\frac {\partial u}{\partial y_{i}}}=-{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}}$$

Utilizando el formalismo de los derivados de Wirtinger , esto se puede reformular como:

$${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,n\},\quad {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z_{i}}}}}=0,}$$

formas diferenciales complejas

$${\displaystyle {\bar {\partial }}f=0.}$$

Fórmula integral I de Cauchy (versión Polydisc)

Demuestre la suficiencia de dos condiciones (A) y (B). Sea f cumple las condiciones de ser continuo y homórfico por separado en el dominio D. Cada disco tiene una curva rectificable , es de suavidad por partes , curva cerrada de clase Jordan. ( ) Sea el dominio rodeado por cada uno . El cierre del producto cartesiano es . Además, toma el polidisco cerrado para que quede . ( y sea el centro de cada disco). Usando la fórmula integral de Cauchy de una variable repetidamente, ^{[nota 4]} ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ ${\displaystyle \nu =1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle D_{\nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}}$ ${\displaystyle {\overline {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}\in D}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}\subset {D_{1}\times D_{2}\times \cdots \times D_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta }}(z,r)=\left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};\left|\zeta _{\nu }-z_{\nu }\right|\leq r_{\nu }{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \{z\}_{\nu =1}^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\[6pt]&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{\partial D_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{\partial D_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

Debido a que es una curva cerrada jordana rectificable ^{[nota 5]} y f es continua, el orden de los productos y las sumas se puede intercambiar para que la integral iterada se pueda calcular como una integral múltiple . Por lo tanto, ${\displaystyle \partial D}$

Fórmula de evaluación de Cauchy

Debido a que el orden de productos y sumas es intercambiable, de ( 1 ) obtenemos

f es función de clase. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

De (2), si f es holomorfa, en polidisco y , se obtiene la siguiente ecuación de evaluación. ${\displaystyle \left\{\zeta =(\zeta _{1},\zeta _{2},\dots ,\zeta _{n})\in \mathbb {C} ^{n};|\zeta _{\nu }-z_{\nu }|\leq r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle |f|\leq {M}}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{{\partial z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}\right|\leq {\frac {Mk_{1}\cdots k_{n}!}{{r_{1}}^{k_{1}}\cdots {r_{n}}^{k_{n}}}}}$

Por tanto, se cumple el teorema de Liouville .

Expansión en series de potencias de funciones holomorfas en polidiscos.

Si la función f es holomorfa, en polidisco , a partir de la fórmula integral de Cauchy, podemos ver que se puede expandir de forma única a la siguiente serie de potencias. ${\displaystyle \{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,\\&c_{k_{1}\cdots k_{n}}={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D_{1}}\cdots \int _{\partial D_{n}}{\frac {f(\zeta _{1},\dots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-a_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\zeta _{n}-a_{n})^{k_{n}+1}}}\,d\zeta _{1}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

Además, f que satisface las siguientes condiciones se denomina función analítica.

Para cada punto , se expresa como una expansión en serie de potencias que es convergente en D  : ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ ,}$

Ya hemos explicado que las funciones holomorfas en polidiscos son analíticas. Además, del teorema derivado de Weierstrass, podemos ver que la función analítica en polidisco (serie de potencias convergentes) es holomorfa.

Si una secuencia de funciones converge uniformemente en compacta dentro de un dominio D , la función límite f de también uniformemente en compacta dentro de un dominio D . Además, la derivada parcial respectiva de también converge de forma compacta en el dominio D a la derivada correspondiente de f . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}=\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f_{v}}{\partial {z_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial {z_{n}}^{k_{n}}}}}$^[10]

Radio de convergencia de series de potencias.

Es posible definir una combinación de números reales positivos tal que la serie de potencias converja uniformemente en y no converja uniformemente en . ${\displaystyle \{r_{\nu }\ (\nu =1,\dots ,n)\}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|<r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};|z_{\nu }-a_{\nu }|>r_{\nu },{\text{ for all }}\nu =1,\dots ,n\right\}}$

De esta manera es posible tener una combinación similar de radio de convergencia ^{[nota 6]} para una variable compleja. Esta combinación generalmente no es única y existe un número infinito de combinaciones.

Ampliación de la serie Laurent

Sea holomorfo en el anillo y continuo en su circunferencia, entonces existe la siguiente expansión; ${\displaystyle \omega (z)}$ ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n};r_{\nu }<|z|<R_{\nu },{\text{ for all }}\nu +1,\dots ,n\right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|\zeta _{\nu }|=R_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left[{\frac {d^{k}}{dz^{k}}}{\frac {1}{\zeta -z}}\right]_{z=0}df_{\zeta }\cdot z^{k}\\[6pt]&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{|\zeta _{\nu }|=r_{\nu }}\cdots \int \omega (\zeta )\times \left(0,\cdots ,{\sqrt {\frac {k!}{\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!}}}\cdot \zeta _{n}^{\alpha _{1}-1}\cdots \zeta _{n}^{\alpha _{n}-1},\cdots 0\right)df_{\zeta }\cdot {\frac {1}{z^{k}}}\ (\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=k)\end{aligned}}}$

La integral en el segundo término, del lado derecho, se realiza de manera que se vea el cero a la izquierda en cada plano, además esta serie integrada es uniformemente convergente en el anillo , donde y , por lo que es posible integrar el término. . ^[11] ${\displaystyle r'_{\nu }<|z|<R'_{\nu }}$ ${\displaystyle r'_{\nu }>r_{\nu }}$ ${\displaystyle R'_{\nu }<R_{\nu }}$

Fórmula de Bochner-Martinelli (fórmula integral II de Cauchy)

La fórmula integral de Cauchy es válida sólo para polidiscos, y en el dominio de varias variables complejas, los polidiscos son sólo uno de muchos dominios posibles, por lo que introducimos la fórmula de Bochner-Martinelli .

Supongamos que f es una función continuamente diferenciable en el cierre de un dominio D con un límite suave por partes , y dejemos que el símbolo denote el producto exterior o de cuña de formas diferenciales. Entonces, la fórmula de Bochner-Martinelli establece que si z está en el dominio D entonces, para , z en el núcleo de Bochner-Martinelli es una forma diferencial en bigrado , definida por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega (\zeta ,z)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle (n,n-1)}$

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{D}{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

En particular, si f es holomorfa, el segundo término desaparece, por lo que

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{\partial D}f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

Teorema de identidad

Cuando las funciones f,g son analíticas en el dominio D , ^{[nota 7]} incluso para varias variables complejas, el teorema de identidad ^{[nota 8]} se cumple en el dominio D , porque f,g tienen expansiones en series de potencias en la vecindad de cada punto de analiticidad. ^[7] El principio del máximo , el teorema de la función inversa y los teoremas de la función implícita también son válidos. Para obtener una versión generalizada del teorema de la función implícita para variables complejas, consulte el teorema de preparación de Weierstrass .

Biholomorfismo

A partir del establecimiento del teorema de la función inversa, se puede definir el siguiente mapeo.

Para el dominio U , V del espacio complejo de n dimensiones , la función holomorfa biyectiva y el mapeo inverso también son holomorfos. En este momento, también se llama biholomorfismo U , V , decimos que U y V son biholomórficos equivalentes o que son biholomórficos. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \phi :U\to V}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle \phi }$

El teorema de mapeo de Riemann no se cumple

Cuando , las bolas abiertas y los polidiscos abiertos no son biholomórficos equivalentes, es decir, no existe un mapeo biholomórfico entre los dos. ^[13] Esto fue demostrado por Poincaré en 1907 al mostrar que sus grupos de automorfismos tienen dimensiones diferentes a las de los grupos de Lie . ^{[5] [14]} Sin embargo, incluso en el caso de varias variables complejas, hay algunos resultados similares a los resultados de la teoría de la uniformización en una variable compleja. ^[15] ${\displaystyle n>1}$

Continuación analítica

Sean U, V dominio en , tal que y , ( es el conjunto/anillo de funciones holomorfas en U .) supongamos que y es un componente conexo de . Si entonces se dice que f está conectado a V , y se dice que g es una continuación analítica de f . Según el teorema de la identidad, si g existe, para cada forma de elegir W es única. Cuando n > 2, ocurre el siguiente fenómeno dependiendo de la forma de la frontera : existe el dominio U , V , tal que todas las funciones holomorfas sobre el dominio U , tienen una continuación analítica . En otras palabras, puede que no exista una función como la frontera natural. Se llama fenómeno de Hartogs. Por lo tanto, investigar cuándo los límites de un dominio se convierten en límites naturales se ha convertido en uno de los principales temas de investigación de varias variables complejas. Además, cuando , sería que la V anterior tiene una parte de intersección con U distinta de W. Esto contribuyó al avance de la noción de cohomología de gavilla. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle U,\ V,\ U\cap V\neq \varnothing }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\cap V}$ ${\displaystyle f|_{W}=g|_{W}}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle \partial U}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

dominio reinhardt

En los polidiscos, se cumple la fórmula integral de Cauchy y se define la expansión en serie de potencias de funciones holomorfas, pero los polidiscos y las bolas unitarias abiertas no son mapeos biholomórficos porque el teorema de mapeo de Riemann no se cumple, y además, en los polidiscos fue posible la separación de variables, pero no siempre es válido para ningún dominio. Por lo tanto, para estudiar el dominio de convergencia de la serie de potencias, fue necesario hacer una restricción adicional al dominio, este fue el dominio de Reinhardt. Los primeros conocimientos sobre las propiedades del campo de estudio de varias variables complejas, como logarítmicamente convexas, el teorema de extensión de Hartog, etc., se obtuvieron en el dominio de Reinhardt.

Sea ( ) un dominio, con centro en un punto , tal que, junto con cada punto , el dominio también contiene el conjunto ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z^{0}=(z_{1}^{0},\dots ,z_{n}^{0})\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|=\left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Un dominio D se denomina dominio de Reinhardt si satisface las siguientes condiciones: ^{[16] [17]}

Sean números reales arbitrarios, un dominio D es invariante bajo la rotación: . ${\displaystyle \theta _{\nu }\;(\nu =1,\dots ,n)}$ ${\displaystyle \left\{z^{0}-a_{\nu }\right\}\to \left\{e^{i\theta _{\nu }}(z_{\nu }^{0}-a_{\nu })\right\}}$

Los dominios Reinhardt (subclase de los dominios Hartogs ^[18] ) que se definen por la siguiente condición; Junto con todos los puntos de , el dominio contiene el conjunto ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});z=a+\left(z^{0}-a\right)e^{i\theta },\ 0\leq \theta <2\pi \right\}.}$

Un dominio de Reinhardt D se llama dominio de Reinhardt completo con centro en un punto a si junto con todos los puntos también contiene el polidisco. ${\displaystyle z^{0}\in D}$

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n});\left|z_{\nu }-a_{\nu }\right|\leq \left|z_{\nu }^{0}-a_{\nu }\right|,\ \nu =1,\dots ,n\right\}.}$

Un dominio D de Reinhardt completo tiene forma de estrella con respecto a su centro a . Por lo tanto, el dominio de Reinhardt completo es simplemente conexo , además cuando el dominio de Reinhardt completo es la línea límite, hay una manera de probar el teorema de la integral de Cauchy sin usar el teorema de la curva de Jordan .

Logarítmicamente convexo

Un dominio de Reinhardt D se llama logarítmicamente convexo si la imagen del conjunto ${\displaystyle \lambda (D^{*})}$

${\displaystyle D^{*}=\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in D;z_{1},\dots ,z_{n}\neq 0\}}$

bajo el mapeo

${\displaystyle \lambda ;z\rightarrow \lambda (z)=(\ln |z_{1}|,\dots ,\ln |z_{n}|)}$

es un conjunto convexo en el espacio de coordenadas real . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Cada uno de esos dominios en es el interior del conjunto de puntos de convergencia absoluta de alguna serie de potencias en , y viceversa; El dominio de convergencia de cada serie de potencias es un dominio de Reinhardt logarítmicamente convexo con centro . ^{[nota 9]} Pero hay un ejemplo de un dominio de Reinhardt completo D que no es logarítmicamente convexo. ^[19] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\textstyle \sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=0}^{\infty }c_{k_{1},\dots ,k_{n}}(z_{1}-a_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{k_{n}}\ }$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle a=0}$

Algunos resultados

Teorema de extensión de Hartogs y fenómeno de Hartogs

Al examinar el dominio de convergencia en el dominio de Reinhardt, Hartogs encontró el fenómeno de Hartogs en el que las funciones holomorfas en algún dominio estaban todas conectadas a un dominio más grande. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

En el polidisco que consta de dos discos cuando . ${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

Dominio interno de ${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2};|z_{1}|<\varepsilon \ \cup \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}\ (0<\varepsilon <1)}$

Teorema de extensión de Hartogs (1906); ^[21] Sea f una función holomorfa en un conjunto G  \  K , donde G es un dominio acotado (rodeado por una curva de Jordan cerrada rectificable) ^{[nota 10]} en ( n ≥ 2 ) y K es un subconjunto compacto de G . Si el complemento G  \  K es conexo, entonces cada función holomorfa f, independientemente de cómo se elija , puede extenderse a una función holomorfa única en G. ^{[23] [22]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También se le llama teorema de Osgood-Brown y dice que para funciones holomorfas de varias variables complejas, la singularidad es un punto de acumulación, no un punto aislado. Esto significa que las diversas propiedades que se cumplen para funciones holomorfas de variables complejas de una variable no se cumplen para funciones holomorfas de varias variables complejas. La naturaleza de estas singularidades también se deriva del teorema de preparación de Weierstrass . En 2007 se demostró una generalización de este teorema utilizando el mismo método que Hartogs. ^{[24] [25]}

A partir del teorema de extensión de Hartogs, el dominio de convergencia se extiende desde hasta . Mirando esto desde la perspectiva del dominio de Reinhardt, el dominio de Reinhardt contiene el centro z = 0, y el dominio de convergencia de se ha extendido al dominio de Reinhardt completo más pequeño que contiene . ^[26] ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$

Los resultados clásicos de Thullen

El resultado clásico de Thullen ^[27] dice que un dominio de Reinhard acotado bidimensional que contiene el origen es biholomorfo a uno de los siguientes dominios siempre que la órbita del origen por el grupo de automorfismo tenga una dimensión positiva:

1. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|<1,~|w|<1\}}$(polidisco);
2. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{2}<1\}}$(bola unitaria);
3. ${\displaystyle \{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2};~|z|^{2}+|w|^{\frac {2}{p}}<1\}\,(p>0,\neq 1)}$(Dominio Thullen).

Resultados de Sunada

Toshikazu Sunada (1978) ^[28] estableció una generalización del resultado de Thullen:

Dos dominios de Reinhardt acotados de n dimensiones y son mutuamente biholomórficos si y solo si existe una transformación dada por , siendo una permutación de los índices), tal que . ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle z_{i}\mapsto r_{i}z_{\sigma (i)}(r_{i}>0)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varphi (G_{1})=G_{2}}$

Dominio natural de la función holomorfa (dominio de la holomorfia)

Al pasar de la teoría de una variable compleja a la teoría de varias variables complejas, dependiendo del rango del dominio, puede que no sea posible definir una función holomorfa tal que el límite del dominio se convierta en un límite natural. Considerando el dominio donde los límites del dominio son límites naturales (en el espacio de coordenadas complejo se llama dominio de holomorfia), el primer resultado del dominio de holomorfia fue la convexidad holomorfa de H. Cartan y Thullen. ^[29] El problema de Levi muestra que el dominio pseudoconvexo era un dominio de holomorfia. (Primero para , ^[30] luego extendido a . ^{[31] [32]} ) ^[33] La noción de idéal de domaines indéterminés de Kiyoshi Oka ^{[36] [37]} es interpretada como teoría de la cohomología de la gavilla por H. Cartan y más desarrollo Serre. ^{[nota 12] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [6]} En la cohomología de gavilla, el dominio de la holomorfía ha llegado a interpretarse como la teoría de las variedades de Stein. ^[44] La noción del dominio de la holomorfía también se considera en otras variedades complejas, además también en el espacio analítico complejo que es su generalización. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Dominio de la holomorfía

Los conjuntos en la definición. Nota: En esta sección, reemplace en la figura con D ${\displaystyle \Omega }$

Cuando una función f es holomorfa en el dominio y no puede conectarse directamente al dominio fuera de D , incluido el punto del límite del dominio , el dominio D se llama dominio de holomorfia de f y el límite se llama límite natural de f . En otras palabras, el dominio de la holomorfia D es el supremo del dominio donde la función holomorfa f es holomorfa, y el dominio D , que es holomorfa, no puede extenderse más. Para varias variables complejas, es decir, dominio , los límites pueden no ser límites naturales. El teorema de extensión de Hartogs da un ejemplo de un dominio donde los límites no son límites naturales. ^[45] ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial D}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}\ (n\geq 2)}$

Formalmente, un dominio D en el espacio de coordenadas complejo de n dimensiones se denomina dominio de holomorfia si no existe un dominio no vacío y , y tal que para cada función holomorfa f en D existe una función holomorfa g en V con on Ud . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subset D}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle V\not \subset D}$ ${\displaystyle U\subset D\cap V}$ ${\displaystyle f=g}$

Para el caso, el dominio cada ( ) era el dominio de la holomorfía; podemos definir una función holomorfa con ceros acumulándose en todas partes del límite del dominio, que entonces debe ser un límite natural para un dominio de definición de su recíproco. ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$

Propiedades del dominio de la holomorfia.

• Si son dominios de holomorfia, entonces su intersección también es un dominio de holomorfia. ${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$ ${\textstyle D=\bigcap _{\nu =1}^{n}D_{\nu }}$
• Si es una secuencia creciente de dominios de holomorfia, entonces su unión también es un dominio de holomorfia (ver teorema de Behnke-Stein ). ^[46] ${\displaystyle D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq \cdots }$ ${\textstyle D=\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$
• Si y son dominios de holomorfia, entonces es un dominio de holomorfia. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}\times D_{2}}$
• El problema del primo hermano siempre se puede resolver en un dominio de holomorfia; además, Cartan demostró que lo contrario de este resultado era incorrecto para . ^[47] Esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el problema del primo segundo. ${\displaystyle n\geq 3}$

Casco holomorfamente convexo

Sea un dominio o, alternativamente, para una definición más general, sea una variedad analítica compleja dimensional . Además, representemos el conjunto de funciones holomorfas en G. Para un conjunto compacto , la carcasa holomorfamente convexa de K es ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$ ${\displaystyle K\subset G}$

${\displaystyle {\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|{\text{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G).\right\}.}$

Se obtiene un concepto más restringido de casco polinomialmente convexo al tomarlo como el conjunto de funciones polinómicas de valores complejos en G. La carcasa polinomialmente convexa contiene la carcasa holomórficamente convexa. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G)}$

El dominio se llama holomórficamente convexo si para todo subconjunto compacto también es compacto en G . A veces esto se abrevia simplemente como holomorfo-convexo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,{\hat {K}}_{G}}$

Cuando , todo dominio es holomórficamente convexo ya que entonces es la unión de K con las componentes relativamente compactas de . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {K}}_{G}}$ ${\displaystyle G\setminus K\subset G}$

Cuando , si f satisface la convexidad holomorfa anterior en D , tiene las siguientes propiedades. para cada subconjunto compacto K en D , donde denota la distancia entre K y . Además, en este momento, D es un dominio de holomorfia. Por tanto, todo dominio convexo es un dominio de holomorfia. ^[5] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})={\text{dist}}({\hat {K}}_{D},D^{c})}$ ${\displaystyle {\text{dist}}(K,D^{c})}$ ${\displaystyle D^{c}=\mathbb {C} ^{n}\setminus D}$ ${\displaystyle (D\subset \mathbb {C} ^{n})}$

Pseudoconvexidad

Hartogs demostró que

Hartogs (1906): ^[21] Sea D un dominio de Hartogs en y R una función positiva en D tal que el conjunto definido por y sea un dominio de holomorfia. Entonces es una función subarmónica en D . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle z_{1}\in D}$ ${\displaystyle |z_{2}|<R(z_{1})}$ ${\displaystyle -\log {R}(z_{1})}$

Si tales relaciones se mantienen en el dominio de la holomorfia de varias variables complejas, parece una condición más manejable que una holomorfia convexa. ^{[nota 13]} La función subarmónica parece una especie de función convexa , por lo que Levi la nombró dominio pseudoconvexo (pseudoconvexidad de Hartogs). Los dominios pseudoconvexos (límites de pseudoconvexidad) son importantes porque permiten la clasificación de dominios de holomorfia. Un dominio de holomorfia es una propiedad global; por el contrario, la pseudoconvexidad es la propiedad analítica o geométrica local del límite de un dominio. ^[48]

Definición de función plurisubarmónica

Una función

${\displaystyle f\colon D\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$

con dominio ${\displaystyle D\subset {\mathbb {C} }^{n}}$

se llama plurisubarmónico si es semicontinuo superior , y para cada línea compleja

${\displaystyle \{a+bz;z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$con ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} ^{n}}$

la función es una función subarmónica en el conjunto ${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ;a+bz\in D\}.}$

En total generalidad , la noción se puede definir en una variedad compleja arbitraria o incluso en un espacio analítico complejo de la siguiente manera. Una función semicontinua superior ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

se dice que es plurisubarmónico si y sólo si para cualquier mapa holomorfo

${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$la función

${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$

es subarmónico, donde denota el disco unitario. ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} }$

En una variable compleja, la condición necesaria y suficiente de que la función de valor real , que puede ser diferenciable de segundo orden con respecto a z de la función compleja de una variable, sea subarmónica es . Por tanto, si es de clase , entonces es plurisubarmónico si y sólo si la matriz hermitiana es semidefinida positiva. ${\displaystyle u=u(z)}$ ${\displaystyle \Delta =4\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial z\,\partial {\overline {z}}}}\right)\geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle H_{u}=(\lambda _{ij}),\lambda _{ij}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z}}_{j}}}}$

De manera equivalente, una función u es plurisubarmónica si y solo si es una forma positiva (1,1) . ^{[49] : 39–40} ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\bar {\partial }}f}$

Función estrictamente plurisubarmónica

Cuando la matriz hermitiana de u es definida positiva y de clase , llamamos a u una función plurisubarmónica estricta. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

(Débilmente) pseudoconvexo (p-pseudoconvexo)

Pseudoconvexo débil se define como: Sea un dominio. Se dice que X es pseudoconvexo si existe una función plurisubarmónica continua en X tal que el conjunto sea un subconjunto relativamente compacto de X para todos los números reales x . ^{[nota 14]} es decir, existe una función de agotamiento plurisubarmónico suave . A menudo, aquí se utiliza la definición de pseudoconvexo y se escribe como; Sea X una variedad compleja de n dimensiones. Entonces se dice que es pseudoconvexo débil y existe una función de agotamiento plurisubarmónico suave . ^{[49] : 49} ${\displaystyle X\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \{z\in X;\varphi (z)\leq \sup x\}}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$

Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo

Sea X una variedad compleja de n dimensiones. Fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexo si existe una función de agotamiento estrictamente plurisubarmónica suave , es decir, es positiva definida en cada punto. El dominio fuertemente pseudoconvexo es el dominio pseudoconvexo. ^{[49] : 49} Fuertemente pseudoconvexo y estrictamente pseudoconvexo (es decir, 1-convexo y 1-completo ^[50] ) se usan indistintamente; ^[51] consulte Lempert ^[52] para conocer la diferencia técnica. ${\displaystyle \psi \in {\text{Psh}}(X)\cap {\mathcal {C}}^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle H\psi }$

forma leví

(Débilmente) Pseudoconvexidad de Levi(–Krzoska)

Si es límite, se puede demostrar que D tiene una función definitoria; es decir, que existe cuál es tal que , y . Ahora, D es pseudoconvexo si y solo para cada y en el espacio tangente complejo en p, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$ ${\displaystyle D=\{\rho <0\}}$ ${\displaystyle \partial D=\{\rho =0\}}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}$, tenemos

${\displaystyle H(\rho )=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\,\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.}$^{[5] [53]}

Si D no tiene límite, el siguiente resultado de aproximación puede resultar útil. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}}$

Proposición 1 Si D es pseudoconvexo, entonces existen dominios pseudoconvexos acotados y fuertemente de Levi con límite de clase que son relativamente compactos en ${\displaystyle D_{k}\subset D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ D , tales que

${\displaystyle D=\bigcup _{k=1}^{\infty }D_{k}.}$

Esto se debe a que una vez que tenemos un as en la definición, podemos encontrar una función de agotamiento. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

Fuertemente (o estrictamente) Levi (–Krzoska) pseudoconvexo (también conocido como Fuertemente (estrictamente) pseudoconvexo)

Cuando la forma de Levi (–Krzoska) es positiva-definida, se llama fuertemente Levi (–Krzoska) pseudoconvexa o, a menudo, simplemente se llama fuertemente (o estrictamente) pseudoconvexa. ^[5]

Levi total pseudoconvexo

Si para cada punto límite de D existe una variedad analítica que pasa completamente fuera de D en alguna vecindad alrededor de , excepto el punto mismo. El dominio D que satisface estas condiciones se denomina pseudoconvexo total de Levi. ^[54] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Oka pseudoconvexo

Familia del disco de Oka

Sean n funciones continuas en , holomorfas cuando el parámetro t está fijo en [0, 1], y supongamos que no todas son cero en ningún punto de . Entonces, el conjunto se denomina disco analítico dependiendo de un parámetro t y se denomina caparazón. Si y , Q(t) se llama Familia del disco de Oka. ^{[54] [55]} ${\displaystyle \varphi :z_{j}=\varphi _{j}(u,t)}$ ${\displaystyle \Delta :|U|\leq 1,0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial u}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle Q(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|\leq 1\}}$ ${\displaystyle B(t):=\{Z_{j}=\varphi _{j}(u,t);|u|=1\}}$ ${\displaystyle Q(t)\subset D\ (0<t)}$ ${\displaystyle B(0)\subset D}$

Definición

Cuando se encuentra en cualquier familia de discos de Oka, D se llama Oka pseudoconvexo. ^[54] La prueba de Oka del problema de Levi fue que cuando el dominio de Riemann no ramificado sobre ^[56] era un dominio de holomorfia (holomórficamente convexo), se demostró que era necesario y suficiente que cada punto límite del dominio de holomorfia fuera un Oka. pseudoconvexo. ^{[31] [55]} ${\displaystyle Q(0)\subset D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Localmente pseudoconvexo (también conocido como localmente Stein, Cartan pseudoconvexo, propiedad local de Levi)

Para cada punto existe una vecindad U de x y f holomorfa. (es decir, ser holomórficamente convexo), tal que f no puede extenderse a ninguna vecindad de x . es decir, sea un mapa holomórfico, si cada punto tiene una vecindad U tal que admite una función de agotamiento plurisubarmónica (débilmente 1-completa ^[57] ), en esta situación, decimos que X es localmente pseudoconvexo (o localmente Stein) sobre Y. _ Como nombre antiguo, también se le llama Cartan pseudoconvexo. En el dominio localmente pseudoconvexo es en sí mismo un dominio pseudoconvexo y es un dominio de holomorfia. ^{[58] [54]} Por ejemplo, Diederich-Fornæss ^[59] encontró dominios acotados pseudoconvexos locales con límites suaves en variedades que no son de Kähler, de modo que no sean débilmente 1-completos. ^{[60] [nota 15]} ${\displaystyle x\in \partial D}$ ${\displaystyle U\cap D}$ ${\displaystyle \psi :X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

Condiciones equivalentes al dominio de la holomorfia.

Para un dominio las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[nota 16]} ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$

1. D es un dominio de holomorfia.
2. D es holomórficamente convexo.
3. D es la unión de una secuencia creciente de poliedros analíticos en D.
4. D es pseudoconvexo.
5. D es localmente pseudoconvexo.

Las implicaciones , ^{[nota 17]} , ^{[nota 18]} y son resultados estándar. Demostrar , es decir, construir una función holomorfa global que no admite extensión a partir de funciones no extensibles definidas sólo localmente. Esto se llama problema de Levi (en honor a EE Levi ) y fue resuelto para dominios de Riemann no ramificados por Kiyoshi Oka, ^{[nota 19]} pero para dominios de Riemann ramificados, la pseudoconvexidad no caracteriza la convexidad holomorfa, ^[68] y luego por Lars Hörmander usando métodos del análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia del problema (ecuación) con métodos L 2 ). ^{[1] [45] [3] [69]} ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2\Leftrightarrow 3}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 4}$ ${\displaystyle 4\Rightarrow 5}$ ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Gavilla

Idéal de domaines indéterminés (El predecesor de la noción de coherente (gavilla))

Oka introdujo la noción que denominó "idéal de domaines indéterminés" o "ideal de dominios indeterminados". ^{[36] [37]} Específicamente, es un conjunto de pares , holomorfos en un conjunto abierto no vacío , tal que ${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle (f,\delta )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta }$

1. Si y es arbitrario, entonces . ${\displaystyle (f,\delta )\in (I)}$ ${\displaystyle (a,\delta ')}$ ${\displaystyle (af,\delta \cap \delta ')\in (I)}$
2. Para cada uno , entonces ${\displaystyle (f,\delta ),(f',\delta ')\in (I)}$ ${\displaystyle (f+f',\delta \cap \delta ')\in (I).}$

El origen de los dominios indeterminados proviene de que los dominios cambian dependiendo del par . Cartan ^{[38] [39]} tradujo esta noción a la noción de coherente ( gavilla ) (especialmente, gavilla analítica coherente) en cohomología de gavilla. ^{[69] [70]} Este nombre proviene de H. Cartan. ^[71] Además, Serre (1955) ^[72] introdujo la noción de haz coherente en la geometría algebraica, es decir, la noción de haz algebraico coherente. La noción de coherente ( cohomología de gavilla coherente ) ayudó a resolver los problemas en varias variables complejas. ^[41] ${\displaystyle (f,\delta )}$

gavilla coherente

Definición

La definición de gavilla coherente es la siguiente. ^{[72] [73] [74] [75]} [ ^{49] : 83–89} Un haz cuasi coherente en un espacio anillado es un haz de módulos que tiene una presentación local, es decir, cada punto tiene una vecindad abierta. en el que hay una secuencia exacta ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

Un haz coherente en un espacio anillado es un haz que satisface las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es de tipo finito over , es decir, cada punto in tiene una vecindad abierta in tal que existe un morfismo sobreyectivo para algún número natural ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle n}$
2. para cada conjunto abierto , entero y morfismo arbitrario de módulos, el núcleo de es de tipo finito. ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{\oplus n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Los morfismos entre haces (cuasi) coherentes son los mismos que los morfismos de haces de módulos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Además, Jean-Pierre Serre (1955) ^[72] demuestra que

Si en una secuencia exacta de haces de módulos dos de las tres gavillas son coherentes, entonces la tercera también lo es. ${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{2}|_{U}\to {\mathcal {F}}_{3}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}}$

(Oka-Cartan) teorema coherente

(Oka-Cartan) El teorema coherente ^[36] dice que cada haz que cumple las siguientes condiciones es coherente. ^[76]

1. el haz de gérmenes de funciones holomorfas en , o el haz estructural de una subvariedad compleja o cada espacio analítico complejo ^[77] ${\displaystyle {\mathcal {O}}:={\mathcal {O}}_{\mathbb {C} _{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. el haz ideal de un subconjunto analítico A de un subconjunto abierto de . (Cartán 1950 ^[38] ) ^{[78] [79]} ${\displaystyle {\mathcal {I}}\langle A\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{n}}$
3. la normalización de la estructura del haz de un espacio analítico complejo ^[80]

Del teorema de Serre (1955) anterior, se obtiene una gavilla coherente; además, (i) se utiliza para demostrar los teoremas A y B de Cartan . ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}}$

problema primo

En el caso de funciones complejas de una variable, el teorema de Mittag-Leffler pudo crear una función meromorfa global a partir de partes dadas y principales (problema del primo I), y el teorema de factorización de Weierstrass fue capaz de crear una función meromorfa global a partir de ceros o locus cero (problema del primo II). Sin embargo, estos teoremas no se cumplen porque las singularidades de la función analítica en varias variables complejas no son puntos aislados; este problema se llama problema de primos y se formula en términos de cohomología de gavilla. Fueron introducidos en casos especiales por Pierre Cousin en 1895. ^[81] Fue Oka quien mostró ^{[82] [83] [84] [nota 20]} las condiciones para resolver el problema del primer primo para el dominio de la holomorfia ^{[nota 21]} en el espacio de coordenadas complejo, y también la resolución del segundo problema de Cousin con supuestos topológicos adicionales, el problema de Cousin es un problema relacionado con las propiedades analíticas de variedades complejas, pero el único obstáculo para resolver problemas de una propiedad analítica compleja es un topológico puro, ^{[84 ] [41] [33]} y Serre ^[86] llamaron a esto el principio de Oka. Ahora se plantean y resuelven para una variedad compleja arbitraria M , en términos de condiciones en M. M , que satisface estas condiciones, es una forma de definir una variedad de Stein. El estudio del problema del primo nos hizo darnos cuenta de que en el estudio de varias variables complejas, es posible estudiar propiedades globales a partir del parcheo de datos locales, ^[38] es decir, se ha desarrollado la teoría de la cohomología de la gavilla. (por ejemplo, seminario de Cartan. ^[44] ) ^[41]

problema del primo hermano

Definición sin palabras de cohomología de gavilla

Cada diferencia es una función holomorfa, donde está definida. Solicita una función meromorfa f en M tal que sea holomorfa en U _i ; en otras palabras, que f comparte el comportamiento singular de la función local dada. ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ ${\displaystyle f-f_{i}}$

Definición usando palabras de cohomología de gavilla

Sea K el haz de funciones meromorfas y O el haz de funciones holomorfas en M . Si el siguiente mapa es sobreyectivo, el primer problema del primo se puede resolver.

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Por la larga secuencia de cohomología exacta ,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

es exacto, por lo que el problema del primo primero siempre se puede resolver siempre que el primer grupo de cohomología H ¹ ( M , O ) desaparezca. En particular, según el teorema B de Cartan , el problema del primo siempre es solucionable si M es una variedad de Stein.

problema del primo segundo

Definición sin palabras de cohomología de gavilla

Cada proporción es una función holomorfa que no desaparece, donde está definida. Solicita una función meromorfa f en M tal que sea holomorfa y no desaparecida. ${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$ ${\displaystyle f/f_{i}}$

Definición usando palabras de cohomología de gavilla

sea ​​el haz de funciones holomorfas que no desaparecen en ninguna parte, y el haz de funciones meromórficas que no son idénticamente cero. Ambos son entonces haces de grupos abelianos , y el cociente de la gavilla está bien definido. Si el siguiente mapa es sobreyectivo, entonces se puede resolver el problema del primo segundo. ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

La larga secuencia exacta de cohomología de la gavilla asociada al cociente es

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

por lo que el problema del primo segundo es solucionable en todos los casos siempre que ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$

El grupo de cohomología para la estructura multiplicativa se puede comparar con el grupo de cohomología con su estructura aditiva tomando un logaritmo. Es decir, existe una secuencia exacta de gavillas. ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} \xrightarrow {\exp } \mathbf {O} ^{*}\to 0}$

donde la gavilla más a la izquierda es la gavilla localmente constante con fibra . La obstrucción para definir un logaritmo en el nivel de H ¹ está en , de la larga secuencia de cohomología exacta ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Cuando M es una variedad de Stein, la flecha del medio es un isomorfismo porque , en ese caso, una condición necesaria y suficiente para que el problema del primo segundo siempre tenga solución es esa (esta condición se llama principio de Oka). ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Manifolds y variedades analíticas con varias variables complejas.

Colector Stein (colector complejo no compacto)

Dado que una superficie de Riemann no compacta (abierta) ^[87] siempre tiene una función holomorfa de un solo valor no constante, ^[88] y satisface el segundo axioma de contabilidad , la superficie de Riemann abierta es de hecho una variedad compleja unidimensional que posee un mapeo holomorfo en el plano complejo . (De hecho, Gunning y Narasimhan han demostrado (1967) ^[89] que toda superficie de Riemann no compacta en realidad tiene una inmersión holomorfa en el plano complejo. En otras palabras, hay un mapeo holomórfico en el plano complejo cuya derivada nunca desaparece. ) ^[90] El teorema de incrustación de Whitney nos dice que cada variedad suave n -dimensional puede incrustarse como una subvariedad suave de , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en . Por ejemplo, para una variedad compleja conectada compacta arbitraria X , cada función holomorfa en ella es constante según el teorema de Liouville y, por lo tanto, no puede tener ninguna incrustación en el espacio n complejo. Es decir, para varias variables complejas, las variedades complejas arbitrarias no siempre tienen funciones holomorfas que no sean constantes. Entonces, considere las condiciones bajo las cuales una variedad compleja tiene una función holomorfa que no es constante. Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de X en , entonces las funciones de coordenadas de se restringirían a funciones holomorfas no constantes en X , lo que contradice la compacidad, excepto en el caso de que X sea solo un punto. Las variedades complejas en las que se puede incrustar holomorfamente se denominan variedades Stein. Además, las variedades de Stein satisfacen el segundo axioma de contabilidad. ^[91] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas. Fueron introducidos y nombrados en honor a Karl Stein (1951). ^[92] Un espacio Stein es similar a una variedad Stein pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son análogos de variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica. Si el dominio univalente está conectado a una variedad, puede considerarse como una variedad compleja y satisface la condición de separación que se describe más adelante, la condición para convertirse en una variedad de Stein es satisfacer la convexidad holomorfa. Por lo tanto, la variedad de Stein son las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Definición

Supongamos que X es una variedad compleja paracompacta de dimensión compleja y denotemos el anillo de funciones holomorfas en X. Llamamos a X una variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones: ^[93] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

1. X es holomórficamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto , se forma el llamado casco holomórficamente convexo , ${\displaystyle K\subset X}$

   ${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X;|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|,\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right\},}$

   también es un subconjunto compacto de X .
2. X es holomórficamente separable , ^{[nota 22]} es decir, si hay dos puntos en X , entonces existen tales que ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$
3. La vecindad abierta de cada punto de la variedad tiene una carta holomorfa . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$

Tenga en cuenta que la condición (3) se puede derivar de las condiciones (1) y (2). ^[94]

Cada superficie de Riemann no compacta (abierta) es una variedad de Stein

Sea X una superficie de Riemann conexa, no compacta (abierta) . Un teorema profundo de Behnke y Stein (1948) ^[88] afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), afirma además que todo paquete de vectores holomorfos en X es trivial. En particular, cada paquete de líneas es trivial, por lo que . La secuencia exponencial de la gavilla conduce a la siguiente secuencia exacta: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Ahora el teorema B de Cartan muestra que , por lo tanto , . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Esto está relacionado con la solución del problema del primo segundo (multiplicativo) .

Problemas de Levi

Cartan extendió el problema de Levi a las variedades de Stein. ^[95]

Si el subconjunto abierto relativamente compacto de la variedad Stein X es localmente pseudoconvexa, entonces D es una variedad Stein y, a la inversa, si D es localmente pseudoconvexa, entonces X es una variedad Stein. es decir, entonces X es una variedad de Stein si y sólo si D es localmente la variedad de Stein. ^[96] ${\displaystyle D\subset X}$

Esto fue demostrado por Bremermann ^[97] incrustándolo en una dimensión suficientemente alta y reduciéndolo al resultado de Oka. ^[31] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Además, Grauert demostró para variedades complejas arbitrarias M . ^{[nota 23] [100] [33] [98]}

Si el subconjunto relativamente compacto de una variedad compleja arbitraria M es fuertemente pseudoconvexo en M , entonces M es una variedad holomórficamente convexa (es decir, una variedad de Stein). Además, D es en sí misma una variedad de Stein. ${\displaystyle D\subset M}$

Y Narasimhan ^{[101] [102]} extendió el problema de Levi al espacio analítico complejo , un caso generalizado en el caso singular de variedades complejas.

Un espacio analítico complejo que admite una función de agotamiento continua estrictamente plurisubarmónica (es decir, fuertemente pseudoconvexa) es el espacio de Stein. ^[4]

El problema de Levi sigue sin resolverse en los siguientes casos;

Supongamos que X es un espacio de Stein singular, ^{[nota 24]} . Supongamos que para todos hay una vecindad abierta, por lo que ese es el espacio Stein. ¿Es el propio D Stein? ^{[4] [104] [103]} ${\displaystyle D\subset \subset X}$ ${\displaystyle p\in \partial D}$ ${\displaystyle U(p)}$ ${\displaystyle U\cap D}$

más generalizado

Supongamos que N es un espacio de Stein y f un inyectivo, y también un dominio no ramificado de Riemann, de modo que el mapa f es un mapa localmente pseudoconvexo (es decir, morfismo de Stein). ¿ Entonces M es en sí mismo Stein? ^{[103] [105] : 109} ${\displaystyle f:M\to N}$

y también,

Supongamos que X es un espacio de Stein y una unión creciente de conjuntos abiertos de Stein. ¿ Entonces D es en sí mismo Stein? ${\displaystyle D=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }D_{n}}$

Esto significa que el teorema de Behnke-Stein, que es válido para las variedades de Stein, no ha encontrado condiciones para establecerse en el espacio de Stein. ^[103]

K-completo

Grauert introdujo el concepto de K-completo en la prueba del problema de Levi.

Sea X una variedad compleja, X es K-completo si, para cada punto , existen un número finito de mapas holomórficos de X en ,, tal que sea un punto aislado del conjunto . ^[100] Este concepto también se aplica al espacio analítico complejo. ^[106] ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p}}$ ${\displaystyle p=p(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A=\{x\in X;f^{-1}f(x_{0})\ (v=1,\dots ,k)\}}$

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein.

• El espacio complejo estándar ^{[nota 25]} es una variedad de Stein. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Cada dominio de holomorfia es una variedad de Stein. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Se puede demostrar con bastante facilidad que toda subvariedad compleja cerrada de una variedad de Stein también es una variedad de Stein.
• El teorema de incrustación para variedades de Stein establece lo siguiente: Cada variedad de Stein X de dimensión compleja n puede ser incrustada mediante un mapa biholomórfico propio . ^{[107] [108] [109]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada de espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiental (porque la incrustación es biholomórfica).

• Cada variedad Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de n dimensiones. ^[110]
• En una dimensión compleja, la condición de Stein se puede simplificar: una superficie de Riemann conexa es una variedad de Stein si y sólo si no es compacta. Esto se puede demostrar utilizando una versión del teorema de Runge ^[111] para superficies de Riemann, ^{[nota 26]} debida a Behnke y Stein. ^[88]
• Cada variedad de Stein X es holomórficamente extensible, es decir, para cada punto , hay n funciones holomorfas definidas en todo X que forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a alguna vecindad abierta de x . ${\displaystyle x\in X}$
• El problema del primo hermano siempre se puede resolver en una variedad de Stein.
• Ser una variedad Stein equivale a ser una variedad (compleja) fuertemente pseudoconvexa . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), ^{[100] es} decir, una función real suave en X (que se puede suponer que es una función Morse ) con , ^[100] tal que los subconjuntos son compactos en X para cada número real c . Se trata de una solución al llamado problema de Levi , ^[112] que lleva el nombre de EE Levi (1911). La función invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con límite llamado dominio de Stein . ^[113] Un dominio Stein es la preimagen . Algunos autores llaman a estas variedades variedades estrictamente pseudoconvexas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$
• Relacionado con el punto anterior, otra definición equivalente y más topológica en la dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie de Stein es una superficie compleja X con una función Morse de valor real f sobre X tal que, lejos de los puntos críticos de f , la El campo de tangencias complejas a la preimagen es una estructura de contacto que induce una orientación en X _c que coincide con la orientación habitual como límite de Es decir, es un relleno de Stein de X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de tales variedades, que capturan en particular la propiedad de que tienen "muchas" funciones holomorfas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas A y B de Cartan , relacionados con la cohomología de la gavilla .

En el conjunto de analogías GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines . ^[114]

Las variedades de Stein son, en cierto sentido, duales con las variedades elípticas en el análisis complejo que admiten "muchas" funciones holomorfas de los números complejos en sí mismas. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y sólo si es fibrante en el sentido de la llamada "teoría de la homotopía holomorfa".

Variedades proyectivas complejas (variedad compleja compacta)

La función meromorfa en una función compleja de una variable se estudió en una superficie de Riemann compacta (cerrada), porque dado que el teorema de Riemann-Roch ( desigualdad de Riemann ) es válido para superficies de Riemann compactas (por lo tanto, la teoría de la superficie de Riemann compacta puede considerarse como la teoría de ( curva algebraica proyectiva suave (no singular) sobre ^{[115] [116]} ). De hecho, la superficie compacta de Riemann tenía una función meromórfica no constante de un solo valor ^[87] , y también una superficie compacta de Riemann tenía suficientes funciones meromórficas. Una variedad compleja unidimensional compacta era una esfera de Riemann . Sin embargo, la noción abstracta de una superficie compacta de Riemann siempre es algebraizable ( teorema de existencia de Riemann , teorema de incrustación de Kodaira ), ^{[nota 27]} pero no es fácil verificar qué espacios analíticos complejos compactos son algebraizables. ^[117] De hecho, Hopf encontró una clase de variedades complejas compactas sin funciones meromórficas no constantes. ^[58] Sin embargo, existe un resultado de Siegel que proporciona las condiciones necesarias para que variedades complejas compactas sean algebraicas. ^{[118] Kodaira} extendió por primera vez la generalización del teorema de Riemann-Roch a varias variables complejas a superficies analíticas compactas, ^[119] Kodaira también amplió el teorema a variedades de Kähler tridimensionales, ^{[120] y n-dimensionales. [121]} Serre formuló el teorema de Riemann-Roch como un problema de dimensión de cohomología de gavilla coherente , ^[6] y también Serre demostró la dualidad de Serre . ^[122] Cartan-Serre demostró la siguiente propiedad: ^[123] el grupo de cohomología es de dimensión finita para una gavilla coherente en una variedad compleja compacta M. ^[124] Weil demostró Riemann-Roch en una superficie de Riemann para un paquete de vectores en 1938. ^[125] Hirzebruch generalizó el teorema para compactar variedades complejas en 1994 ^[126] y Grothendieck lo generalizó a una versión relativa (declaraciones relativas sobre morfismos ). ^{[127] [128]} A continuación, generalizamos el resultado de que las superficies compactas de Riemann son proyectivas, al caso de alta dimensión, específicamente, consideramos las condiciones que cuando se incrusta la subvariedad compleja compacta X en el espacio proyectivo complejo . ^{[nota 28]} es decir, da las condiciones cuando una variedad compleja compacta es proyectiva. El ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$El teorema de desaparición de Kodaira (1954) y su generalización , el teorema de desaparición de Nakano, etc., dan la condición cuando el grupo de cohomología de la gavilla desaparece, y la condición es satisfacer una especie de positividad . Como ejemplo dado por este teorema, el teorema de incrustación de Kodaira ^[129] dice que en una variedad compacta de Kähler M , con una métrica de Hodge, hay una incrustación analítica compleja de M en un espacio proyectivo complejo de suficiente dimensión N. El teorema de Chow ^[130] muestra que el subespacio analítico complejo (subvariedad) de un espacio proyectivo complejo cerrado es algebraico, es decir, es el cero común de algunos polinomios homogéneos; dicha relación es un ejemplo de lo que se llama GAGA de Serre . principio . ^[8] El subespacio(variedad) analítico complejo del espacio proyectivo complejo tiene propiedades tanto algebraicas como analíticas. Luego, combinado con el resultado de Kodaira, se incorpora una variedad M compacta de Kähler como una variedad algebraica. Esto da un ejemplo de una variedad compleja con suficientes funciones meromórficas. Las similitudes en los problemas de Levi sobre el espacio proyectivo complejo han sido demostradas en algunos patrones, por ejemplo por Takeuchi. ^{[4] [131] [132] [133]} En términos generales, el principio GAGA dice que la geometría de los espacios analíticos complejos proyectivos (o variedades) es equivalente a la geometría de las variedades complejas proyectivas. La combinación de métodos analíticos y algebraicos para variedades proyectivas complejas condujo a áreas como la teoría de Hodge . Además, la teoría de la deformación de variedades complejas compactas se ha desarrollado como teoría de Kodaira-Spencer. Sin embargo, a pesar de ser una variedad compleja compacta, hay contraejemplos que no pueden incrustarse en el espacio proyectivo y no son algebraicos. ^[134] ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Ver también

• número bicomplejo
• Geometría compleja
• colector CR
• Cohomología de Dolbeault
• Mapas armónicos
• Morfismos armónicos
• Holomorfia de dimensión infinita
• Teorema de Oka-Weil

Anotación

1. Ese es un subconjunto abierto y conectado .
2. Un nombre adoptado, de manera confusa, para la geometría de ceros de funciones analíticas ; ésta no es la geometría analítica que se aprende en la escuela. (En otras palabras, en el sentido de GAGA en Serre.) ^[8]
3. El campo de números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre números reales.
4. Tenga en cuenta que esta fórmula solo es válida para polidiscos. Consulte la fórmula de Bochner-Martinelli para conocer la fórmula integral de Cauchy en el dominio más general.
5. Según el teorema de la curva de Jordan, el dominio D es un conjunto cerrado acotado, es decir, cada dominio es compacto. ${\displaystyle D_{\nu }}$
6. Pero hay un punto en el que converge fuera del círculo de convergencia. Por ejemplo, si una de las variables es 0, entonces algunos términos, representados por el producto de esta variable, serán 0 independientemente de los valores tomados por las otras variables. Por lo tanto, incluso si se toma una variable que diverge cuando una variable es distinta de 0, puede converger.
7. Para varias variables, el límite de cada dominio no siempre es el límite natural, por lo que, dependiendo de cómo se tome el dominio, es posible que no exista una función analítica que convierta ese dominio en el límite natural. Consulte dominio de holomorfia para ver un ejemplo de una condición en la que el límite de un dominio es un límite natural.
8. Tenga en cuenta que según el teorema de extensión de Hartogs o el teorema de preparación de Weierstrass , los ceros de funciones analíticas de varias variables no pueden tener singularidades aisladas. ^[12] Por lo tanto, para varias variables no es suficiente que se cumpla en el punto de acumulación. ${\displaystyle f=g}$
9. Cuando se describe utilizando el dominio de holomorfia, que es una generalización del dominio de convergencia, un dominio de Reinhardt es un dominio de holomorfia si y sólo si es logarítmicamente convexo.
10. Este teorema se cumple incluso si la condición no se limita a lo acotado. es decir, el teorema se cumple incluso si esta condición se reemplaza por un conjunto abierto. ^[22]
11. Oka dice que ^[34] el contenido de estos dos artículos es diferente. ^[35]
12. La idea de la gavilla en sí es de Jean Leray .
13. De hecho, esto fue demostrado por Kiyoshi Oka ^[30] con respecto al dominio. Véase el lema de Oka . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
14. Esta es una condición de casco hulomórficamente convexa expresada por una función plurisubarmónica. Por este motivo, también se le llama p-pseudoconvexo o simplemente p-convexo.
15. Definición de débilmente 1-completo. ^[61]
16. En geometría algebraica, existe el problema de si es posible eliminar el punto singular del espacio analítico complejo realizando una operación llamada modificación ^{[62] [63]} en el espacio analítico complejo (cuando n = 2, el resultado de Hirzebruch , ^[64] cuando n = 3 el resultado de Zariski ^[65] para variedad algebraica), pero Grauert y Remmert han informado de un ejemplo de un dominio que no es ni pseudoconvexo ni holomórfico convexo, aunque es un dominio de holomorfia: ^[66]
17. Esta relación se llama teorema de Cartan-Thullen. ^[67]
18. Ver el lema de Oka
19. La prueba de Oka utiliza Oka pseudoconvexo en lugar de Cartan pseudoconvexo.
20. Esto se llama el problema clásico del primo. ^[41]
21. Hay algunos contraejemplos en el dominio de la holomorfidad con respecto al problema del primo segundo. ^{[84] [85]}
22. A partir de esta condición, podemos ver que la variedad Stein no es compacta.
23. El problema de Levi no es válido para dominios en variedades arbitrarias. ^{[33] [98] [99]}
24. En el caso del espacio Stein con singularidades aisladas, Narasimhan ya lo resolvió positivamente. ^{[4] [103]}
25. ( es una variedad compleja proyectiva) no se convierte en una variedad de Stein, incluso si satisface la convexidad holomorfa. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{m}}$
26. El método de prueba utiliza una aproximación por el dominio poliédrico , como en el teorema de Oka-Weil .
27. Tenga en cuenta que el teorema de extensión de Riemann y sus referencias explicadas en el artículo vinculado incluyen una versión generalizada del teorema de extensión de Riemann de Grothendieck que se demostró utilizando el principio GAGA; además, cada variedad compleja compacta unidimensional es una variedad de Hodge.
28. Este es el método estándar para la compactación de , pero no el único método como la esfera de Riemann que fue la compactación de . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Referencias

Citas en línea

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Otras lecturas

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enlaces externos

• Sabrosos trozos de varias variables complejas, libro de código abierto de Jiří Lebl
• Geometría diferencial y analítica compleja (libro OpenContent, ver B2)
• "Henri Cartan et les fonctions holomorphes de plusieurs variables" (PDF) . 2012. S2CID  216151050. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Víctor Guillemin. 18.117 Temas en varias variables complejas. Primavera de 2005. Instituto de Tecnología de Massachusetts: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. Licencia: Creative Commons BY-NC-SA .
• Este artículo incorpora material de los siguientes artículos de PlanetMath , que tienen la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License : dominio Reinhardt, holomórficamente convexo, dominio de holomorfía, polidisco, biholomórficamente equivalente, Levi pseudoconvexo, pseudoconvexo, función de agotamiento.