Función pluriarmónica

En matemáticas , precisamente en la teoría de funciones de varias variables complejas , una función pluriarmónica es una función real que localmente es la parte real de una función holomorfa de varias variables complejas. A veces, dicha función se denomina función n -armónica , donde n ≥ 2 es la dimensión del dominio complejo donde se define la función. ^[1] Sin embargo, en las exposiciones modernas de la teoría de funciones de varias variables complejas ^[2] se prefiere dar una formulación equivalente del concepto, definiendo función pluriarmónica como una función compleja valorada cuya restricción a cada línea compleja es una función armónica. con respecto a la parte real e imaginaria del parámetro de línea compleja.

Definicion formal

Definición 1 . Sea G ⊆ C ⁿ un dominio complejo y f  : G → R una función C ² (dos veces continuamente diferenciable ). La función f se llama pluriarmónica si, para cada recta compleja

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {C} ^{n}}$

formado usando cada par de tuplas complejas a , b ∈ C ⁿ , la función

${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$

es una función armónica en el conjunto

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid a+bz\in G\}\subset \mathbb {C} .}$

Definición 2 . Sea M una variedad compleja y f  : M → R una función C ² . La función f se llama pluriarmónica si

${\displaystyle dd^{c}f=0.}$

Propiedades básicas

Toda función pluriarmónica es una función armónica , pero no al revés. Además, se puede demostrar que para funciones holomorfas de varias variables complejas las partes reales (e imaginarias) son funciones localmente pluriarmónicas. Sin embargo, que una función sea armónica en cada variable por separado no implica que sea pluriarmónica.

Ver también

• Función plurisubarmónica
• Derivados de Wirtinger

Notas

1. Véase, por ejemplo (Severi 1958, p. 196) y (Rizza 1955, p. 202). Poincaré (1899, págs. 111-112) llama a estas funciones " funciones biarmónicas ", independientemente de la dimensión n ≥ 2: su artículo es quizás ^{[ cita requerida ]} el más antiguo en el que el operador pluriarmónico se expresa utilizando el diferencial parcial de primer orden. operadores ahora llamados derivados de Wirtinger .
2. monografía avanzada (aunque un poco anticuada) de Gunning & Rossi (1965, p. 271).

Referencias históricas

• Armado, Robert C .; Rossi, Hugo (1965), Funciones analíticas de varias variables complejas, serie de Prentice-Hall en análisis moderno, Englewood Cliffs , Nueva Jersey: Prentice-Hall , págs. xiv+317, ISBN 9780821869536, SEÑOR  0180696, Zbl  0141.08601.
• Krantz, Steven G. (1992), Teoría de funciones de varias variables complejas , Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series (Segunda ed.), Pacific Grove, California : Wadsworth & Brooks/Cole, págs. xvi+557, ISBN 0-534-17088-9, SEÑOR  1162310, Zbl  0776.32001.
• Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", Acta Mathematica (en francés), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM  29.0370.02.
• Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (en italiano), Padua: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, págs. XIV+255, Zbl  0094.28002. Apuntes de un curso realizado por Francesco Severi en el Istituto Nazionale di Alta Matematica (que actualmente lleva su nombre), que contiene apéndices de Enzo Martinelli , Giovanni Battista Rizza y Mario Benedicty. Una traducción al inglés del título dice: " Conferencias sobre funciones analíticas de varias variables complejas - Conferencia impartida en 1956-1957 en el Istituto Nazionale di Alta Matematica en Roma ".

Referencias

• Amoroso, Luigi (1912), "Sopra un problema al contorno", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo (en italiano), 33 (1): 75–85, doi :10.1007/BF03015289, JFM  43.0453.03, S2CID  122956910. El primer artículo donde se proporciona un conjunto de condiciones necesarias y suficientes (bastante complicadas) para la solubilidad del problema de Dirichlet para funciones holomorfas de varias variables . Una traducción al inglés del título dice: " Acerca de un problema de valores en la frontera ".
• Fichera, Gaetano (1982a), "Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche", Atti del Convegno celebrativo dell'80° anniversario della nascita di Renato Calapso, Messina-Taormina, 1-4 de abril de 1981 (en italiano), Roma: Libreria Eredi Virgilio Veschi, págs. 127-152, SEÑOR  0698973, Zbl  0958.32504" Problemas de valores en la frontera para funciones pluriarmónicas " (traducción al inglés del título) trata problemas de valores en la frontera para funciones pluriarmónicas: Fichera demuestra una condición de traza para la solubilidad del problema y revisa varios resultados anteriores de Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza y Francesco. Severi.
• Fichera, Gaetano (1982b), "Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R ^{2 n} di un teorema di L. Amoroso", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (en italiano), 52 (1): 23– 34, doi :10.1007/BF02924996, SEÑOR  0802991, S2CID  122147246, Zbl  0569.31006. Una traducción al inglés del título dice: " Valores límite de funciones pluriarmónicas: extensión al espacio R ^{2 n} de un teorema de L. Amoroso ".
• Fichera, Gaetano (1982c), "Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (en italiano), 27 : 327–333, MR  0669481, Zbl  0509.31007. Una traducción al inglés del título dice:-" Sobre un teorema de L. Amoroso en la teoría de funciones analíticas de dos variables complejas ".
• Matsugu, Yasuo (1982), "Funciones pluriarmónicas como partes reales de funciones holomorfas", Memorias de la Facultad de Ciencias, Universidad de Kyushu , Serie A, Matemáticas, 36 (2): 157–163, doi : 10.2206/kyushumfs.36.157 , SEÑOR  0676796, Zbl  0501.32008.
• Nikliborc, Ladislas (30 de marzo de 1925), "Sur les fonctions hyperharmoniques", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 180 : 1008–1011, JFM  51.0364.02, disponible en Gallica
• Nikliborc, Ladislas (11 de enero de 1926), "Sur les fonctions hyperharmoniques", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (en francés), 182 : 110–112, JFM  52.0498.02, disponible en Gallica
• Rizza, GB (1955), "Problema de Dirichlet para funciones n-armónicas y problemas geométricos relacionados", Mathematische Annalen , 130 : 202–218, doi :10.1007/BF01343349, MR  0074881, S2CID  121147845, Zbl  0067.33004, disponible en DigiZeitschirften.

enlaces externos

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función pluriarmónica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

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